C. Vaọn dúng vaứo caực baứi toaựn khaực
A.ẹũnh nghúa:
Neỏu hai soỏ nguyẽn a vaứ b coự cuứng soỏ dử trong pheựp chia cho moọt soỏ tửù nhiẽn m ≠ 0 thỡ ta noựi a ủồng dử vụựi b theo mõủun m, vaứ coự ủồng dử thửực: a ≡ b (mod m)
Vớ dú:7 ≡ 10 (mod 3) , 12 ≡ 22 (mod 10) + Chuự yự: a ≡ b (mod m) ⇔ a – b M m B. Tớnh chaỏt cuỷa ủồng dử thửực:
1. Tớnh chaỏt phaỷn xá: a ≡ a (mod m)
2. Tớnh chaỏt ủoĩi xửựng: a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)
3. Tớnh chaỏt baộc cầu: a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m) thỡ a ≡ c (mod m) 4. Coọng , trửứ tửứng veỏ: a b (mod m) a c b d (mod m)
c d (mod m) ≡ ⇒ ± ≡ ± ≡ Heọ quaỷ: a) a ≡ b (mod m) ⇒ a + c ≡ b + c (mod m) b) a + b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c - b (mod m) c) a ≡ b (mod m) ⇒ a + km ≡ b (mod m)
5. Nhãn tửứng veỏ : a b (mod m) ac bd (mod m) c d (mod m) ≡ ⇒ ≡ ≡ Heọ quaỷ: a) a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod m) (c ∈ Z) b) a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m)
6. Coự theồ nhãn (chia) hai veỏ vaứ mõủun cuỷa moọt ủồng dử thửực vụựi moọt soỏ nguyẽn dửụng a ≡ b (mod m) ⇔ ac ≡ bc (mod mc)
Chaỳng hán: 11 ≡ 3 (mod 4) ⇔ 22 ≡ 6 (mod 8) 7. ac bc (mod m) a b (mod m) (c, m) = 1 ≡ ⇒ ≡
Chaỳng hán : 16 2 (mod 7) 8 1 (mod 7) (2, 7) = 1 ≡ ⇒ ≡ C. Caực vớ dú: 1. Vớ dú 1:
Tỡm soỏ dử khi chia 9294 cho 15 Giaỷi
Lái coự 24 ≡ 1 (mod 15) ⇒ (24)23. 22 ≡ 4 (mod 15) hay 294 ≡ 4 (mod 15) (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 9294 ≡ 4 (mod 15) tửực laứ 9294 chia 15 thỡ dử 4
2. Vớ dú 2:
Chửựng minh: trong caực soỏ coự dáng 2n – 4(n ∈ N), coự võ soỏ soỏ chia heỏt cho 5 Thaọt vaọy:
Tửứ 24 ≡ 1 (mod 5) ⇒24k ≡ 1 (mod 5) (1) Lái coự 22 ≡ 4 (mod 5) (2)
Nhãn (1) vụựi (2), veỏ theo veỏ ta coự: 24k + 2 ≡ 4 (mod 5) ⇒ 24k + 2 - 4 ≡ 0 (mod 5) Hay 24k + 2 - 4 chia heỏt cho 5 vụựi mói k = 0, 1, 2, ... hay ta ủửụùc võ soỏ soỏ dáng 2n – 4 (n ∈ N) chia heỏt cho 5
Chuự yự: khi giaỷi caực baứi toaựn về ủồng dử, ta thửụứng quan tãm ủeỏn a ≡ ± 1 (mod m) a ≡ 1 (mod m) ⇒ an ≡ 1 (mod m)
a ≡ -1 (mod m) ⇒ an ≡ (-1)n (mod m) 3. Vớ dú 3: Chửựng minh raống
a) 2015 – 1 chia heỏt cho 11 b) 230 + 330 chi heỏt cho 13 c) 555222 + 222555 chia heỏt cho 7
Giaỷi
a) 25 ≡ - 1 (mod 11) (1); 10 ≡ - 1 (mod 11) ⇒ 105 ≡ - 1 (mod 11) (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra 25. 105 ≡ 1 (mod 11) ⇒ 205 ≡ 1 (mod 11) ⇒205 – 1 ≡ 0 (mod 11) b) 26 ≡ - 1 (mod 13) ⇒ 230 ≡ - 1 (mod 13) (3)
33 ≡ 1 (mod 13) ⇒ 330 ≡ 1 (mod 13) (4)
Tửứ (3) vaứ (4) suy ra 230 + 330 ≡ - 1 + 1 (mod 13) ⇒ 230 + 330 ≡ 0 (mod 13) Vaọy: 230 + 330 chi heỏt cho 13
c) 555 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 2222 (mod 7) (5)
23 ≡ 1 (mod 7) ⇒ (23)74 ≡ 1 (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 1 (mod 7) (6) 222 ≡ - 2 (mod 7) ⇒ 222555 ≡ (-2)555 (mod 7)
Lái coự (-2)3 ≡ - 1 (mod 7) ⇒ [(-2)3]185 ≡ - 1 (mod 7) ⇒ 222555 ≡ - 1 (mod 7) Ta suy ra 555222 + 222555 ≡ 1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia heỏt cho 7
4. Vớ dú 4: Chửựng minh raống soỏ 224n + 1 + 7 chia heỏt cho 11 vụựi mói soỏ tửù nhiẽn n Thaọt vaọy:Ta coự: 25 ≡ - 1 (mod 11) ⇒ 210 ≡ 1 (mod 11)
Xeựt soỏ dử khi chia 24n + 1 cho 10. Ta coự: 24 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 24n ≡ 1 (mod 5) ⇒ 2.24n ≡ 2 (mod 10) ⇒ 24n + 1 ≡ 2 (mod 10) ⇒ 24n + 1 = 10 k + 2
Nẽn 24n + 1
2 + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7 = BS 11 + 11 chia heỏt cho 11 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Baứi taọp về nhaứ:
Baứi 1: CMR:
b)Trong caực soỏ coự dáng2n – 3 coự võ soỏ soỏ chia heỏt cho 13 Baứi 2: Tỡm soỏ dử khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7.