II. Caực vớ dú: 1.Vớ dú 1: Giaỷi Pt
CHUYÊN ẹỀ 16 – VEế ẹệễỉNG THẲNG SONG SONG ẹỂ TAẽO THAỉNH CÁC CAậP ẹOAẽN THẲNG TỶ LỆ
CÁC CAậP ẹOAẽN THẲNG TỶ LỆ
Ngaứy soán:31 – 3 - 2010
A.Phửụng phaựp:
ủửụứng thaỳng song song vụựi moọt ủửụứng thaỳng cho trửụực,. ẹãy laứ moọt caựch veừ ủửụứng phú ùhay duứng, vỡ nhụứ ủoự maứ táo thaứnh ủửụùc caực caởp ủoán thaỳng tổ leọ
B. Caực vớ dú: 1) Vớ dú 1:
Trẽn caực cánh BC, CA, AB cuỷa tam giaực ABC, laỏy tửụng ửựng caực ủieồm P, Q, R sao cho ba ủửụứng thaỳng AP, BQ, CR caột nhau tái moọt ủieồm.
Chửựng minh: AR BP CQ. . 1
RB PC QA = (ẹũnh lớ Cẽ – va) Giaỷi
Qua A keỷ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC caột caực ủửụứng thaỳng CR, BQ tái E, F. Gói O laứ giao ủieồm cuỷa AP, BQ, CR
∆ARE ∆BRC ⇒ AR = AERB BC (a) RB BC (a) ∆BOP ∆FOA ⇒ BP = OP FA OA (1) ∆POC ∆AOE ⇒ PC = PO AE AO= (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra: BP = PC BP FA
FA AE⇒PC= AE (b) ∆AQF ∆CQB ⇒ CQ = BC
AQ FA (c)
Nhãn (a), (b), (c) veỏ theo veỏ ta coự: AR BP CQ. . AE FA BC. . 1 RB PC QA =BC AE FA = * ẹaỷo lái: Neỏu AR BP CQ. . 1
RB PC QA = thỡ bai ủửụứng thaỳng AP, BQ, CR ủồng quy
2) Vớ dú 2:
Moọt ủửụứng thaờng baỏt kyứ caột caực cánh( phần keựo daứi cuỷa caực cánh) cuỷa tam giaực ABC tái P, Q, R.
Chửựng minh raống: RB.QA.PC 1
RA.CQ.BP = (ẹũnh lớ Mẽ-nẽ-la-uyựt) Giaỷi:
Qua A keỷ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC caột PR tái E. Ta coự ∆RAE ∆RBP ⇒ RB = BP
RA AE (a) ∆AQE ∆CQP ⇒ QA = AE
QC CP (b)
Nhãn veỏ theo veỏ caực ủaỳng thửực (a) vaứ (b) ta coự RB QA BP AE . = . RA QC AE CP (1) O F E R Q C P B A
Nhãn hai veỏ ủaỳng thửực (1) vụựi PCBP ta coự: RB PC QA BP AE PC
. . = . . 1RA BP QC AE CP BP= RA BP QC AE CP BP= ẹaỷo lái: Neỏu RB.QA.PC 1
RA.CQ.BP= thỡ ba ủieồm P, Q, R thaỳng haứng 3) Vớ dú 3:
Cho tam giaực ABC, trung tuyeỏn AM. Gói I laứ ủieồm baỏt kyứ trẽn cánh BC. ẹửụứng thaỳng qua I song song vụựi AC caột AB ụỷ
K; ủửụứng thaỳng qua I song song vụựi AB caột AC, AM theo thửự tửù ụỷ D, E. Chửựng minh DE = BK
Giaỷi
Qua M keỷ MN // IE (N∈ AC).Ta coự:
DE AE DE MN = MN AN⇒ AE = AN (1) MN // IE, maứ MB = MC ⇒ AN = CN (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra DEAE =MNCN (3) Ta lái coự MNAB =CNAC⇒MNCN =ACAB(4) Tửứ (4) vaứ (5) suy ra DEAE =ABAC (a) Tửụng tửù ta coự: BKKI =ABAC (6)
Vỡ KI // AC, IE // AC nẽn tửự giaực AKIE laứ hỡnh bỡnh haứnh nẽn KI = AE (7)
Tửứ (6) vaứ (7) suy ra BKKI =BKAE = ABAC (b) Tửứ (a) vaứ (b) suy ra DEAE =BKAE ⇒ DE = BK
4) Vớ dú 4:
ẹửụứng thaỳng qua trung ủieồm cuỷa cánh ủoỏi AB, CD cuỷa tửự giaực ABCD caột caực ủửụứng thaỳng AD, BC theo thửự tửù ụỷ I, K. Chửựng minh: IA . KC = ID. KB
Giaỷi
Gói M, N theo thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa AB, CD Ta coự AM = BM; DN = CN
Veừ AE, BF lần lửụùt song song vụựi CD ∆AME = ∆BMF (g.c.g) ⇒ AE = BF F E I K M N D C B A N D I M E K C B A E R Q C P B A
Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: IA = AE BF ID DN =CN (1) Cuỷng theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: KB = BF
KC CN (2)Tửứ (1) vaứ (2) suy ra IA =KB Tửứ (1) vaứ (2) suy ra IA =KB
ID KC ⇒ IA . KC = ID. KB
5) Vớ dú 5:
Cho xOyã , caực ủieồm A, B theo thửự tửù chuyeồn ủoọng trẽn caực tia Ox, Oy sao cho
1 1 1
+
OA OB=k (k laứ haống soỏ). Chửựng minh raống AB luõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh Giaỷi
Veừ tia phãn giaực Oz cuỷa xOyã caột AB ụỷ C. veừ CD // OA (D ∈ OB) ⇒ DOC = DCO = AOC ã ã ã
⇒ ∆COD cãn tái D ⇒ DO = DC
Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự CD = BD CD OB - CD OA OB⇒OA = OB
⇒ CD CD 1 1 1 1
OA OB+ = ⇒OA OB+ =CD (1)Theo giaỷ thieỏt thỡ 1 + 1 1 Theo giaỷ thieỏt thỡ 1 + 1 1
OA OB=k (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra CD = k , khõng ủoồi
Vaọy AB luõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh laứ C sao cho CD = k vaứ CD // Ox , D ∈ OB
6) Vớ dú 6:
Cho ủieồm M di ủoọng trẽn ủaựy nhoỷ AB cuỷa hỡnh thang ABCD, Gói O laứ giao ủieồm cuỷa hai cánh bẽn DA, CB. Gói G laứ giao ủieồm cuỷa OA vaứ CM,
H laứ giao ủieồm cuỷa OB vaứ DM. Chửựng minh raống: Khi M di ủoọng trẽn AB thỡ toồng OG + OH
GD HC khõng ủoồi Giaỷi
Qua O keỷ ủửụứng thaỳng song vụựi AB caột CM, DM theo thửự tửù ụỷ I vaứ K. Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự:
OG OIGD =CD; OHHC =OKCD ⇒ OG + OH OI OK IK GD =CD; OHHC =OKCD ⇒ OG + OH OI OK IK GD HC = CD CD+ =CD OG OH IK + GD HC CD ⇒ = (1)
Qua M veừ ủửụứng thaỳng vuõng goực vụựi AB caột IK, CD
theo thửự tửù ụỷ P vaứ Q, ta coự: CDIK =MQMP =MQFO khõng ủoồi vỡ FO laứ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn AB, MQ laứ ủửụứng cao cuỷa hỡnh thang nẽn khõng ủoồi (2)
QP P F K I H G M O D C B A z O y x D C B A
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra OG + OH FO
GD HC =MQ khõng ủoồi
7) Vớ dú 7:
Cho tam giaực ABC (AB < AC), phãn giaực AD. Trẽn AB laỏy ủieồm M, trẽn AC laỏy ủieồm N sao cho BM = CN, gói giao ủieồm cuỷa CM vaứ BN laứ O, Tửứ O veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AD caột AC, AB tái E vaứ F.
Chửựng minh raống: AB = CF; BE = CA Giaỷi.
AD laứ phãn giaực nẽn BAD = DAF ã ã EI // AD ⇒ BAD = AEF ã ã (goực ủồng vũ)
Maứ DAF OFCã =ã (ủồng vũ); AFE = OFC ã ã (ủoỏi ủổnh) Suy ra AEF AFEã =ã ⇒ ∆AFE cãn tái A ⇒ AE =AF (a) Aựp dúng ủũnh lớ Taleựt vaứo ∆ACD , vụựi I laứ giao ủieồm cuỷa EF vụựi BC ta coự CF = CI CF CA
CA CD⇒ CI =CD (1)AD laứ phãn giaực cuỷa BACã nẽn CACD =BABD (2) AD laứ phãn giaực cuỷa BACã nẽn CACD =BABD (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra CFCI =BABD (3)
Keỷ ủửụứng cao AG cuỷa ∆AFE . BP // AG (P ∈AD); CQ // AG (Q∈ OI) thỡ BPD = CQIã ã = 900
Gói trung ủieồm cuỷa BC laứ K, ta coự ∆BPK = ∆CQK (g.c.g) ⇒ CQ = BP ⇒ ∆BPD = ∆CQI (g.c.g) ⇒ CI = BD (4)
Thay (4) vaứo (3) ta coự BDCF =BABD ⇒ CF = BA (b) Tửứ (a) vaứ (b) suy ra BE = CA
Baứi taọp về nhaứ
1) Cho tam giaực ABC. ẹieồm D chia trong BC theo tổ soỏ 1 : 2, ủieồm O chia trong AD theo tổ soỏ 3 : 2. gói K laứ giao ủieồm cuỷa BO vaứ AC. Chửựng minh raống KAKC khõng ủoồi
2) Cho tam giaực ABC (AB > AC). Laỏy caực ủieồm D, E tuyứ yự thửự tửù thuoọc caực cánh AB, AC sao cho BD = CE. Gói giao ủieồm cuỷa DE, BC laứ K, chửựng minh raống :
Tổ soỏ KDKE khõng ủoồi khi D, E thay ủoồi trẽn AB, AC (HD: Veừ DG // EC (G ∈ BC).
CHUYÊN ẹỀ 19 – BỔ ẹỀ HèNH THANG VAỉ CHUỉM ẹệễỉNG THẲNG ẹỒNG QUY Ngaứy soán: 03 – 4 - 2010 G P O K I N D Q C B M A F E