Di.nh ngh˜ıa

L´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K bao gˆo`m 1) C´ac k´y hiˆe.u:

- ¬, → l`a 2 ph´ep to´an nguyˆen thuy’, - C˘a.p dˆa´u ngo˘a.c: (,)

- Mˆo.t tˆa.p dˆe´m du.o..c c´ac biˆe´nx1, x2, . . . , xn, . . .

- Mˆo.t tˆa.p h˜u.u ha.n ho˘a.c dˆe´m du.o..c c´ac tˆan t`u. An

j (n, j ≥ 1) v`a tˆa.p n`ay pha’i kh´ac rˆo˜ng.

- Mˆo.t tˆa.p h˜u.u ha.n (c´o thˆe’ rˆo˜ng) ho˘a.c dˆe´m du.o..c c´ac biˆe´n h`am

fn

j (n, j ≥1)

- Mˆo.t tˆa.p h˜u.u ha.n (c´o thˆe’ rˆo˜ng) ho˘a.c dˆe´m du.o..c c´ac h˘a`ng tu.’ai (i≥1) 2) C´ac tiˆen dˆ` : 2 loa.ie

(i)Tiˆen dˆ` logice : v´o.i cˆong th´u.cA,B,C tu`y ´y trong K

(A1) (A →(B → A))

(A2) (A →(B → C))→((A → B)→(A → C)) (A3) (¬B → ¬A)→((¬B → A)→ B)

(A4) ∀xi A(xi) → A(t), trong d´o term t l`a tu.. do dˆo´i v´o.i biˆe´n

xi trong A(xi)

(A5) ∀xi (A → B)→(A → ∀xiB), trong d´oA khˆong ch´u.a c´ac vi. tr´ı tu. do cu’a biˆ. e´n xi

(ii) Tiˆen dˆ` riˆe eng:

C´ac tiˆen dˆ` n`e ao d´o, nhu.ng khˆong mˆo ta’ cu. thˆe’, tu`y thuˆo.c v`ao t`u.ng hˆe. riˆeng biˆe.t.

3) Qui t˘a´c dˆa˜n xuˆa´t: 2 qui t˘a´c

(i) Modus Ponens (Kˆe´t luˆa. n) Nˆe´uA v`aA → B th`ıB

(ii) GEN (Tˆo’ng qu´at ho´a):

T`u.A k´eo theo ∀xiA

Ch´u ´y

(1) L´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K khˆong ch´u.a c´ac tiˆen dˆ` riˆe eng du.o.. c go. i l`a Hˆe. to´an tˆan t`u. cˆa´p 1 (viˆe´t t˘a´t l`a PP)

(2) Dˆo´i v´o.i mˆo. t mˆo h`ınh cu’a l´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K, ta hiˆe’u l`a mˆo. t minh hoa. m`a trong d´o mo. i tiˆen dˆ` dˆe ` u dˆe o`ng nhˆa´t d´ung.

(3) Nˆe´u ta ´ap du. ng qui t˘a´c Modus Ponens v`a Tˆo’ng qu´at ho´a dˆo´i v´o.i c´ac cˆong th´u.c dˆo`ng nhˆa´t d´ung trong mˆo. t minh hoa. d˜a cho th`ı kˆe´t qua’ ta nhˆa. n du.o..c c˜ung l`a mˆo.t cˆong th´u.c dˆo`ng nhˆa´t d´ung trong minh hoa. d´o.

(4) Dˆo´i v´o.i hai tiˆen dˆ` (A4) v`e a (A5), ngu.`o.i ta du.a ra mˆo. t sˆo´ ha. n chˆe´ cˆ` na thiˆe´t, nˆe´u khˆong s˜e dˆa˜n dˆe´n sai, ch˘a’ng ha. n:

∗ Gia’ su.’ A(x1) = ¬∀x2A2

1(x1, x2) v`a gia’ su.’ term t l`a x2. Khi d´o r˜o r`ang termt=x2 l`a khˆong tu.. do dˆo´i v´o.i biˆe´n x1 trong cˆong th´u.c A(x1). X´et cˆong th´u.c sau:

∀x1(¬∀x2A21(x1, x2))→ ¬∀x2A21(x2, x2)

Cˆong th´u.c n`ay c´o da. ng cu’a tiˆen dˆ` (A4):e

∀x1A(x1)→ A(t),

nhu.ng term t=x2 l`a khˆong tu.. do dˆo´i v´o.i x1 trong A(x1). Ta xˆay du.. ng minh hoa. nhu. sau:

- Tru.`o.ng minh hoa. D ={1,2,3, . . .}

- Tˆan t`u.A21 l`a “=” Khi d´o ta c´o:

A=∀x1(¬∀x2A21(x1, x2)) =∀x1∃x2(x1 6=x2) =True nhu.ng cˆong th´u.c B=¬∀x2A2

1(x2, x2)nhˆa. n gi´a tri. False.

Vˆa. y tiˆen dˆ` (A4) l`e a sai trong tru.`o.ng ho.. p term t l`a khˆong tu.. do dˆo´i v´o.i xi.

∗ Dˆo´i v´o.i tiˆen dˆ` (A5), nˆe e´u ha. n chˆe´ bi. vi pha.m, t´u.c l`a x1 l`a biˆe´n tu.. do trong cˆong th´u.c A, th`ı khi d´o kˆe´t qua’ c˜ung dˆa˜n dˆe´n sai, ch˘a’ng ha. n: gia’ su.’ hai cˆong th´u.c A v`a B dˆ` u l`e a A1

1(x1). Khi d´o x1 l`a biˆe´n tu.. do trong A.

Ta x´et da. ng tiˆen dˆ` (A5) sau dˆe ay:

∀x1(A11(x1)→A11(x1))→(A11(x1)→ ∀x1A11(x1))

Khi d´o r˜o r`ang phˆ` n gia’ thiˆa e´t: ∀x1(A11(x1) → A11(x1)) nhˆa. n gi´a tri. True, nhu.ng phˆ` n kˆa e´t luˆa. n: (A1

1(x1)→ ∀x1A1

ch˘a’ng ha. n nˆe´u ta cho. n tru.`o.ng minh hoa.: D ={1,2,3, . . .} v`a tˆan t`u.

A1 1 l`a

A11(x) =def “xl`a ch˘a˜n”

khi d´o ta c´o phˆ` n kˆa e´t luˆa. n: ∀x1A1

1(x1) nhˆa. n gi´a tri. False, c`on phˆa` n gia’ thiˆe´t: A11(x1), trong d´o x1 l`a biˆe´n tu.. do, nˆen n´o nhˆa. n gi´a tri. True v´o.i

x1 l`a sˆo´ ch˘a˜n, v`a ta c´o kˆe´t qua’ l`a False. Do d´o trong tru.`o.ng ho.. p, nˆe´u

xi l`a biˆe´n tu.. do trong cˆong th´u.c A th`ı tiˆen dˆ` (A5) s˜e e nhˆa. n gi´a tri. False.

3.4.2 Mˆo. t v`ai th´ı du. vˆ` L´e y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K

1) L´y thuyˆe´t s˘a´p th´u. tu.. bˆo. phˆa.n

Gia’ su.’ K ch´u.a duy nhˆa´t mˆo.t tˆan t`u.A2 1:

A21(y, z) =def “y < z” v`a khˆong ch´u.a c´ac biˆe´n h`am v`a h˘a`ng.

Ta k´y hiˆe.u

A2

1(x1, x2) tu.o.ng ´u.ng l`a “x1 < x2”

¬A2

1(x1, x2) tu.o.ng ´u.ng l`a “x1 6< x2” C´ac tiˆen dˆ` riˆeng gˆe o`m c´o:

(1) ∀x1(x1 6< x2) (khˆong pha’n xa.) (2) ∀x1∀x2∀x3(x1 < x2∧x2 < x3 →x1 < x3) (b˘a´c cˆ` ua ) Khi d´o mˆo˜i mˆo.t mˆo h`ınh cu’a l´y thuyˆe´t n`ay ngu.`o.i ta go.i l`a mˆo. t cˆa´u tr´uc s˘a´p th´u. tu.. bˆo. phˆa. n.

2) L´y thuyˆe´t nh´om

Gia’ su.’ K c´o mˆo.t tˆan t`u.A2 1:

mˆo.t biˆe´n h`am f2 1 :f2

1(t, s) =def “t+s”, v`a mˆo.t h˘a`ng tu’.a1 = 0. C´ac tiˆen dˆ` riˆeng gˆe o`m c´o:

(1) ∀x1∀x2∀x3(x1+ (x2+x3) = (x1+x2) +x3) (kˆe´t ho.. p)

(2) ∀x1(0 +x1 =x1) (tˆo`n ta. i phˆ` n tu.a ’ do.n vi.)

(3) ∀x1∃x2(x2 +x1 = 0) (tˆo`n ta. i phˆ` n tu.a ’ dˆo´i)

(4) ∀x1(x1 =x1) (pha’n xa. )

(5) ∀x1∀x2(x1 =x2 →x2 =x1) (dˆo´i x´u.ng)

(6) ∀x1∀x2∀x3(x1 =x2 →(x2 =x3 →x1 =x3)) (b˘a´c cˆ` u)a

(7) ∀x1∀x2∀x3(x2 =x3 →(x1+x2 =x1+x3∧x2+x1 =x3+x1))

(ph´ep thˆe´ cu’a d˘a’ng th´u.c)

Khi d´o mˆo˜i mˆo.t mˆo h`ınh cu’a l´y thuyˆe´t n`ay ngu.`o.i ta go.i l`a mˆo. t nh´om. Ngo`ai ra nˆe´u n´o thoa’ m˜an tiˆen dˆ` sau:e

(8) ∀x1∀x2(x1 +x2 =x2+x1) (giao ho´an)

th`ı nh´om d´o du.o.. c go.i l`anh´om giao ho´an hay nh´om Abel.

3.5 Di.nh l´y suy diˆ˜n trong logic tˆe an t`u.

Dˆo´i v´o.i di.nh l´y suy diˆe˜n trong logic mˆe.nh dˆe` ta khˆong thˆe’ chuyˆe’n tu.o.ng tu.. sang di.nh l´y suy diˆe˜n trong logic tˆan t`u. mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang, ch˘a’ng ha.n: V´o.i cˆong th´u.c A n`ao d´o, A `K ∀x1A, ta suy ra: `K A → ∀x1A, t´u.c l`a cˆong th´u.c (A → ∀x1A) l`a mˆo.t di.nh l´y trong l´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K. Diˆe` u n`ay l`a sai. Ta x´et cˆong th´u.c A c´o da.ng sau dˆay: A=A1

1(x1) v`a minh hoa. du.o..c xˆay du.. ng nhu. sau:

- Tru.`o.ng minh hoa. D ={1,2, 3, . . .}

- Tˆan t`u.A11 : A11(x) =def “xl`a ch˘a˜n” Khi d´o dˆe˜ d`ang ta c´o:

X´et mˆo.t d˜ay s = (b1, b1, . . .) ∈ . Ta thˆa´y r˘a`ng: A1

1(x1) = True(2), khi v`a chı’ khi b1 l`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n cu’aD.

Do d´o t`u. (1) v`a (2) ta t´ınh du.o.. c cˆong th´u.c B = (A1

1(x1) → ∀x1A1 1(x1)) nhˆa.n gi´a tri. False trˆen d˜ay s = (b1, b2, . . .). V`ıs = (b1, b2, . . .) du.o.. c cho.n tu`y ´y, nˆen cˆong th´u.c B khˆong logic dˆo`ng nhˆa´t d´ung. Ho.n n˜u.a, ta dˆ˜ d`ange thˆa´y r˘a`ng mˆo˜i mˆo.t di.nh l´y cu’a l´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K l`a logic dˆo`ng nhˆa´t d´ung (di.nh l´y 3.6.7).

Vˆa.y cˆong th´u.c (A1

1(x1)→ ∀x1A1

1(x1)) - l`a khˆong di.nh l´y trong K.

Diˆ` u n`e ay buˆo.c ta pha’i c´o nh˜u.ng thay dˆo’i th´ıch ho..p, dˆe’ nhˆa.n du.o..c di.nh l´y suy diˆe˜n mˆo.t c´ach d´ung d˘a´n trong logic tˆan t`u..

Di.nh ngh˜ıa 3.5.1 Gia’ su.’ Γ l`a mˆo.t tˆa.p c´ac cˆong th´u.c, v`a A l`a mˆo.t cˆong th´u.c cu’a Γ. Gia’ su.’ B1,B2, . . . ,Bn l`a mˆo.t dˆa˜n xuˆa´t t`u. Γ. Khi d´o ta n´oi r˘a`ng cˆong th´u.c Bi l`a phu. thuˆo. c v`ao A trong dˆa˜n xuˆa´t trˆen, khi v`a chı’ khi:

(i) Bi ho˘a.c l`a A ho˘a.c

(ii) Bi l`a dˆa˜n du.o..c tru..c tiˆe´p t`u. c´ac cˆong th´u.c d´u.ng tru.´o.c n´o nh`o. qui t˘a´c dˆa˜n xuˆa´t Modus Ponens ho˘a.c GEN, trong d´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t trong c´ac cˆong th´u.c d´o phu. thuˆo.c v`ao A.

Th´ı du. 3.5.1 A,∀x1A → C ` ∀x1C

(B1) A (gia’ thiˆe´t)

(B2) ∀x1A (B1, GEN)

(B3) ∀x1A → C (gia’ thiˆe´t)

(B4) C (B2,B3, MP)

(B5) ∀x1C (B4, GEN)

O’ dˆay.

B2 phu. thuˆo.c v`ao A;

B3 phu. thuˆo.c v`ao ∀x1A → C;

B4 phu. thuˆo.c v`ao A v`a∀x1A → C;

B5 phu. thuˆo.c v`ao A v`a∀x1A → C.

Di.nh l´y 3.5.1 Nˆe´u B khˆong phu. thuˆo. c v`ao A trong suy diˆe˜n

Γ,A ` B th`ı Γ ` B. Nˆe´u B khˆong phu. thuˆo. c v`ao A trong suy diˆe˜n

Γ,A ` B th`ıΓ` B. Ch´u.ng minh

Gia’ su.’ B1,B2, . . . ,Bn l`a mˆo.t dˆa˜n xuˆa´t t`u. Γ∪ {A}, trong d´o B khˆong phu. thuˆo.c v`ao A. Ch´u.ng minh b˘a`ng qui na.p theo dˆo. d`ai cu’a dˆa˜n xuˆa´t

i: i = 1, 2, . . . , n.

Gia’ thiˆe´t mˆe.nh dˆe` d˜a d´ung dˆo´i v´o.i mo.i dˆa˜n xuˆa´t c´o dˆo. d`ai < n. Ta cˆ` na ch´u.ng minh mˆe.nh dˆe` c˜ung d´ung v´o.i i=n. Ta x´et c´ac tru.`o.ng ho.. p sau:

- Nˆe´u B thuˆo.c v`ao Γ ho˘a.c B l`a mˆo.t tiˆen dˆe` th`ı ta du.o.. c Γ` B (theo ch´u ´

y 2 chu.o.ng 2 trang 29).

- Nˆe´uB l`a dˆa˜n du.o..c tru..c tiˆe´p t`u. mˆo.t ho˘a.c hai cˆong th´u.c d´u.ng tru.´o.c n´o th`ı khi d´o, v`ıB khˆong phu. thuˆo.c v`ao A, nˆen c´ac cˆong th´u.c d´u.ng tru.´o.c n´o c˜ung khˆong phu. thuˆo.c v`ao A. Do d´o theo gia’ thiˆe´t qui na.p c´ac cˆong th´u.c n`ay d´u.ng tru.´o.c n´o dˆ` u dˆe a˜n du.o..c t`u. Γ mˆo.t c´ach do.n phu.o.ng. V`ı vˆa.y suy ra

r˘a`ng B c˜ung dˆa˜n du.o..c t`u. Γ.

Di.nh l´y 3.5.2 (di.nh l´y suy diˆe˜n trong logic tˆan t`u.) Gia’ su.’Γ, A ` B v`a c´o mˆo. t suy diˆe˜n cu’a B t`u. Γ v`a A, trong d´o khˆong su.’ du.ng qui t˘a´c GEN cho mˆo. t cˆong th´u.c n`ao phu. thuˆo. c v`aoA v´o.i biˆe´n lu.o.. ng t`u. l`a mˆo. t biˆe´n tu.. do cu’a cˆong th´u.c A. Khi d´o

Γ` A → B

Gia’ su.’ B1,B2, ...,Bn=B l`a dˆa˜n xuˆa´t cu’a Bt`u. Γ∪ {A}thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a di.nh l´y d˜a cho. Ta s˜e ch´u.ng minh b˘a`ng qui na.p theo dˆo. d`ai dˆa˜n xuˆa´ti = 1...n: Γ` A → Bi.

- Nˆe´u Bi l`a mˆo.t tiˆen dˆe` ho˘a.c l`a phˆa` n tu.’ cu’a Γ th`ı Γ ` A → Bi, v`ı

Bi →(A → Bi) l`a tiˆen dˆ` .e

- Nˆe´u Bi l`a A th`ı Γ ` A → Bi, v`ı theo bˆo’ dˆ` :e ` A → A.

- Nˆe´u tˆo`n ta.i j, k < i sao cho Bk = Bj → Bi th`ı theo gia’ thiˆe´t qui na.p Γ ` A → Bj v`a Γ ` A → (Bj → Bi). Do d´o ta c´o Γ ` A → Bi b˘a`ng c´ach ´

ap du.ng tiˆen dˆe` A2 v`a qui t˘a´c MP. Cuˆo´i c`ung, gia’ su.’ tˆo`n ta.i j < i sao cho

Bi =∀xkBj. Khi d´o theo gia’ thiˆe´t qui na.p Γ` A → Bj v`a ho˘a.c l`a Bj khˆong phu. thuˆo.c v`ao A ho˘a.c xk khˆong pha’i l`a biˆe´n tu.. do cu’a A.

∗ Nˆe´u Bj khˆong phu. thuˆo.c v`ao A th`ı khi d´o theo di.nh l´y 3.5.1 ta c´o: Γ ` Bj, v`a tiˆe´p theo su.’ du.ng qui t˘a´c GEN ta du.o..c: Γ` ∀xkBj. Do d´o ta c´o: Γ ` Bi.

Theo tiˆen dˆ` A1:e ` Bi →(A → Bi). Vˆa.y ta c´o ngay kˆe´t qua’ Γ` A → Bi

nh`o. qui t˘a´c MP.

∗ Nˆe´u xk khˆong pha’i l`a biˆe´n tu.. do trong A th`ı khi d´o theo tiˆen dˆ` A5:e

` ∀xk(A → Bj)→(A → ∀xkBj)

V`ı r˘a`ng Γ ` A → Bj, nˆen theo qui t˘a´c GEN: Γ ` ∀xj(A → Bj), v`a do vˆa.y ta c´o kˆe´t qua’: Γ` A → ∀xkBj nh`o. qui t˘a´c MP, t´u.c l`a

Γ` A → Bi.

Vˆa.y ta d˜a ch´u.ng minh xong cˆong th´u.c: Γ` A → Bi ∀i= 1...n

Trong tru.`o.ng ho.. p d˘a.c biˆe.t i=n, ta c´o:

Γ` A → Bnhay Γ ` A → B

Hˆe. qua’ 3.5.1

a) Nˆe´u Γ, A ` B khˆong su.’ du.ng qui t˘a´c GEN v´o.i biˆe´n tu.. do c´o m˘a. t trong

A th`ıΓ` A → B.

b) Nˆe´u A l`a mˆo. t cˆong th´u.c d´ong v`a Γ, A ` B th`ıΓ` A → B.

Th´ı du. 3.5.2

a) Ch´u.ng minh r˘a`ng: ` ∀x1∀x2A → ∀x2∀x1A.

Ch´u.ng minh:

1. ∀x1∀x2A (gia’ thiˆe´t)

2. ∀x1∀x2A → ∀x2A (A4) 3. ∀x2A (1, 2, MP) 4. ∀x2A → A (A4) 5. A (3, 4, MP) 6. ∀x1A (5, GEN) 7. ∀x2∀x1A (6, GEN)

T`u. 1 - 7 ta c´o ∀x1∀x2A ` ∀x2∀x1A, trong d´o khˆong su.’ du.ng qui t˘a´c GEN dˆo´i v´o.i biˆe´n tu.. do c´o m˘a.t trong ∀x1∀x2A. Do d´o theo hˆe. qua’ 3.5.1(a) ta c´o:

` ∀x1∀x2A → ∀x2∀x1A.

b) Nˆe´u termt l`a tu.. do dˆo´i v´o.i biˆe´n xi trongA(xi) th`ı∀xiA(xi)` A(t) v`a

A(t)` ∃xiA(xi).

Ch´u.ng minh :

(1) ∀xiA(xi)` A(t)

Xˆay du.. ng dˆa˜n xuˆa´t nhu. sau:

2. A(xi) (1, A4, MP)

3. A(t) (2, thˆe´{xi/t})

Vˆa.y t`u. 1-3 ta c´o:

∀xiA(xi)` A(t)

Dˆe´n dˆay ´ap du.ng thˆem hˆe. qua’ 3.5.1(a), ta thu du.o..c di.nh l´y sau dˆay:

` ∀xiA(xi)→ A(t).

(2) A(t)` ∃xiA(xi)

Xˆay du.. ng dˆa˜n xuˆa´t nhu. sau:

1. A(t) (gia’ thiˆe´t)

2. ∀xi¬A(xi)→ ¬A(t) (A4)

3. (∀xi¬A(xi)→ ¬A(t))→(A(t)→ ¬∀xi¬A(xi)) (A3)

4. A(t)→ ¬∀xi¬A(xi) (2, 3, MP)

5. ¬∀xi¬A(xi) (1, 4, MP)

6. ∃xiA(xi) (∃xiA(xi)≡ ¬∀xi¬A(xi)) Vˆa.y t`u. 1 – 6 ta c´o:

A(t)` ∃xiA(xi)

´

Ap du.ng thˆem hˆe. qua’ 3.5.1(a) ta c´o di.nh l´y sau:

3.6 T´ınh phi mˆau thuˆa˜n v`a dˆ` y du’ cu’a logica tˆan t`u.

3.6.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh ngh˜ıa

Kh´ai niˆe.m l´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1 du.o..c x´ac di.nh kh´a rˆo.ng r˜ai nh˘a`m bao h`am mˆo.t pha.m vi rˆo.ng c´ac l´y thuyˆe´t logic v`a l´y thuyˆe´t to´an ho.c m`a ta thu.`o.ng g˘a.p. Hˆe. to´an tˆan t`u. cˆa´p 1 (viˆe´t t˘a´t l`a PP) l`a mˆo.t l´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1, trong d´o n´o ch´u.a c´ac tˆa.p dˆe´m du.o..c nhu. c´ac k´y hiˆe.u h˘a`ng dˆo´i tu.o..ng, k´y hiˆe.u biˆe´n h`am, v`a k´y hiˆe.u tˆan t`u., nhu.ng khˆong ch´u.a c´ac tiˆen dˆe` riˆeng. C´ac l´y thuyˆe´t to´an ho.c thu.`o.ng ch´u.a c´ac k´y hiˆe.u h˘a`ng, k´y hiˆe.u biˆe´n h`am, k´y hiˆe.u tˆan t`u. co. ba’n (t´u.c l`a c´ac thuˆo.c t´ınh ho˘a.c c´ac quan hˆe. riˆeng cu’a l´y thuyˆe´t) v`a c´ac tiˆen dˆ` riˆeng cu’a l´e y thuyˆe´t d´o.

Di.nh ngh˜ıa 3.6.1 Mˆo.t mˆo h`ınh cu’a l´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K l`a mˆo.t minh hoa. cu’a K, trong d´o mo.i tiˆen dˆe` riˆeng cu’a K dˆ` u d´e ung trong minh hoa. d´o. D˘a.c biˆe.t, nˆe´u K = P P th`ı mo.i minh hoa. cu’a PP dˆe` u du.o.. c xem l`a mˆo h`ınh cu’a PP.

Di.nh ngh˜ıa 3.6.2

- L´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p 1K du.o.. c go.i l`a phi mˆau thuˆa˜n (ng˜u. ngh˜ıa - Semantic), nˆe´u mo.i di.nh l´y cu’aK dˆ` u l`e a cˆong th´u.c d´ung trong mo.i mˆo h`ınh cu’a K.

- L´y thuyˆe´t tˆan t`u. cˆa´p mˆo.t K du.o.. c go.i l`a dˆ` y du’a (ng˜u. ngh˜ıa), nˆe´u mˆo˜i mˆo.t cˆong th´u.c d´ung trong mo.i mˆo h`ınh cu’a K dˆ` u l`e a di.nh l´y cu’a l´y thuyˆe´t