Da.ng chuˆa’n t˘a´c trong logic tˆan t`u

3.3.8.1 Da.ng chuˆa’n t˘a´c tiˆe` n tˆo´

Di.nh ngh˜ıa 3.3.12 Mˆo.t cˆong th´u.c tˆan t`u.Adu.o.. c go.i l`achuˆa’n t˘a´c tiˆe` n tˆo´, nˆe´u A khˆong ch´u.a c´ac lu.o.. ng t`u. ho˘a.c c´o da.ng Q1x1Q2x2 ... QnxnM, trong d´o Qi (i = 1...n) ho˘a.c l`a ∀ ho˘a.c l`a ∃, v`a M l`a cˆong th´u.c khˆong ch´u.a lu.o.. ng t`u..

Da.i lu.o..ng Q1x1Q2x2...Qnxn du.o.. c go.i l`a tiˆ` n tˆe o´, c`on M du.o.. c go.i l`a ma trˆa. n cu’a cˆong th´u.c A.

Th´ı du. 3.3.7 ∃x∀y(x≤y).

Di.nh l´y 3.3.1 Mo. i cˆong th´u.c tˆan t`u.A dˆ` u tˆe o`n ta. i mˆo. t cˆong th´u.c chuˆa’n t˘a´c tiˆe` n tˆo´ tu.o.ng du.o.ng v´o.i n´o.

Ch´u.ng minh

Ta c´o thˆe’ vˆa.n du.ng c´ac cˆong th´u.c h˘a`ng d´ung (c´ac cˆong th´u.c tu.o.ng du.o.ng) trong mu.c 3.3.7 v`a thˆem c´ac cˆong th´u.c h˘a`ng d´ung sau dˆe’ du.a A vˆ`e da.ng chuˆa’n t˘a´c tiˆe` n tˆo´ (phu.o.ng ph´ap dˆo’i tˆen biˆe´n):

1) ∀xA(x)∨ ∀xB(x)≡ ∀x∀y(A(x)∨ B(y)) 2) ∃xA(x)∧ ∀xB(x)≡ ∃x∀y(A(x)∨ B(y)) 3) ∀xA(x)∧ ∃xB(x)≡ ∀x∃y(A(x)∧ B(y)) 4) ∃xA(x)∨ ∀xB(x)≡ ∃x∀y(A(x)∨ B(y)) 5) ∀xA(x)∨ ∃xB(x)≡ ∀x∃y(A(x)∨ B(y)).

Dˆo`ng th`o.i ta thu.. c hiˆe.n c´ac bu.´o.c biˆe´n dˆo’i liˆen tiˆe´p sau dˆay:

• Tru.´o.c hˆe´t loa.i bo’ ph´ep k´eo theo → nh`o. cˆong th´u.c: A → B tu.o.ng du.o.ng v´o.i A∨B, v`a ph´ep ↔ nh`o. cˆong th´u.c: A ↔ B tu.o.ng du.o.ng v´o.i (A →B)∧(B →A).

• Dˆo’i tˆen biˆe´n r`ang buˆo.c (nˆe´u cˆa` n) sao cho khˆong c´o biˆe´n dˆo´i tu.o.. ng n`ao v`u.a l`a tu.. do, v`u.a l`a r`ang buˆo.c trong c`ung mˆo.t cˆong th´u.c (v`a c˜ung ´ap du.ng cho mˆo˜i cˆong th´u.c con).

• Xo´a bo’ mo.i lu.o..ng t`u.∀x v`a ∃x, nˆe´u trong miˆ` n t´e ac du.ng cu’a ch´ung khˆong c´o biˆe´n x.

• Du.a mo.i xuˆa´t hiˆe.n cu’a ph´ep phu’ di.nh ¬v`ao d´u.ng tru.. c tiˆe´p tru.´o.c c´ac cˆong th´u.c so. cˆa´p, v`a sau d´o chuyˆe’n dˆ` n c´a ac k´y hiˆe.u lu.o..ng t`u. ra ph´ıa tru.´o.c cˆong th´u.c nh`o. cˆong th´u.c tu.o.ng du.o.ng d˜a n´oi o.’ trˆen.

Th´ı du. 3.3.8 Cho cˆong th´u.c

A=∀x(A11(x)∧ ∀y∃x(¬A21(x, y)→ ∀zA31(a, x, y))).

T`ım da.ng chuˆa’n t˘a´c tiˆe` n tˆo´ cu’a A?

Gia’i

- Loa.i bo’ ph´ep k´eo theo→:

A ≡ ∀x(A11(x)∧ ∀y∃x(¬¬A21(x, y)∨ ∀zA31(a, x, y))) - Dˆo’i tˆen biˆe´n r`ang buˆo.c:

A ≡ ∀x(A1

1(x)∧ ∀y∃u((¬¬A2

1(u, y)∨ ∀zA3

1(a, u, y)))) - Bo’ lu.o.. ng t`u. th`u.a:

A ≡ ∀y(A1

1(x)∧ ∀y∃u((¬¬A2

1(u, y)∨A3

1(a, u, y)))) - Bo’ dˆa´u phu’ di.nh ¬¬:

A ≡ ∀x(A1

1(x)∧ ∀y∃u((A2

1(u, y)∨A3

1(a, u, y)))) - Chuyˆe’n c´ac lu.o.. ng t`u.∀, ∃ lˆen ph´ıa tru.´o.c:

A ≡ ∀x∀y(A11(x)∧ ∃u((A21(u, y)∨A31(a, u, y)))

3.3.8.2 Da.ng chuˆa’n t˘a´c tuyˆe’n v`a chuˆa’n t˘a´c hˆo. i

Sau khi ta d˜a da.t du.o..c da.ng chuˆa’n t˘a´c tiˆe`n tˆo´, ch˘a’ng ha.n ta go.i l`a

Q1x1Q2x2...Qnxn Ak n`ao d´o t`u. cˆong th´u.c d˜a cho A, khi d´o ta thu.. c hiˆe.n thˆem mˆo.t bu.´o.c:

a) Da. ng chuˆa’n t˘a´c tuyˆe’n

Trong Ak, nˆe´u ta ´ap da.ng cˆong th´u.c:

A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C)

ta thu du.o.. c cˆong th´u.cA∗k ≡ Ak, v`a cˆong th´u.cA∗k n`ay du.o.. c go.i l`ada. ng chuˆa’n t˘a´c tuyˆe’n cu’a Ak, hay l`a:

A = Q1x1Q2x2 ... QnAk∗, trong d´o lu.o.. ng t`u. Qixi ho˘a.c l`a ∀xi ho˘a.c l`a

∃xi (i= 1,2, . . . , n). b) Da. ng chuˆa’n t˘a´c hˆo. i

Trong Ak, nˆe´u ta ´ap du.ng cˆong th´u.c:

A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C) ta thu du.o.. c cˆong th´u.c A∗∗

k ≡ Ak, v`a cˆong th´u.c A∗∗

k n`ay du.o.. c go.i l`a

da. ng chuˆa’n t˘a´c hˆo. icu’a Ak, hay l`a:

A = Q1x1Q2x2. . . QnxnA∗∗

k , trong d´o lu.o.. ng t`u. Qixi ho˘a.c l`a ∀xi ho˘a.c l`a ∃xi (i= 1,2, . . . , n).

Ch´u ´y: A→B ≡A∨B.

Th´ı du. 3.3.9 Cho cˆong th´u.c tˆan t`u. sau dˆay:

A= [∀x(P(x)→Q(x))∧ ∃xP(x)∧ ∀x(Q(x)→R(x))

∧ ∀x(S(x)→R(x)))]→ ∃xS(x).

Gia’i: A ≡[∀x(P(x)∨Q(x))∧ ∃xP(x)∧ ∀x(Q(x)∨R(x)) ∧ ∀x(S(x)∨R(x))]→ ∃xS(x) ≡∀x(P(x)∨Q(x))∧ ∃xP(x)∧ ∀x(Q(x)∨R(x)) ∧∀x(S(x)∨R(x))∨ ∃xS(x)] ≡∃x(P(x)∧Q(x))∨ ∀xP(x)∨ ∃x(Q(x)∧R(x))∨ ∃x(S(x)∧R(x))∨ ∃xS(x) ≡∃x(P(x)∧Q(x))∨ ∀xP(x)∨ ∃x(Q(x)∧R(x))∨ ∃x(S(x)∧R(x))∨ ∃xS(x) ≡∃x((P(x)∧Q(x))∨(Q(x)∧R(x))∨(S(x)∧ R(x))∨S(x))∨ ∀yP(y) ≡∃x∀y((P(x)∧Q(x))∨(Q(x)∧R(x))∨(S(x) ∧R(x))∨S(x)∨P(y)).

3.3.8.3 Da.ng chuˆa’n t˘a´c SKOLEM

Mˆo.t da.ng chuˆa’n t˘a´c quan tro.ng v`a hay du.o..c d`ung trong lˆa.p tr`ınh logic v`a Tr´ı tuˆe. nhˆan ta.o, d´o l`a da.ng chuˆa’n t˘a´c Skolem. Da.ng n`ay gi´up cho c´ac nh`a lˆa.p tr`ınh dˆe˜ d`ang du.a cˆong th´u.c tˆan t`u. v`ao trong m´ay nh`o. su.. chuˆa’n ho´a Skolem: t`u. cˆong th´u.c da.ng tiˆe` n tˆo´ c´ac da.i lu.o..ng g˘a´n v´o.i lu.o..ng t`u. tˆo`n ta.i∃du.o.. c thay thˆe´ bo.’ i c´ac h˘a`ng c´a thˆe’ ho˘a.c h`am Skolem, v`a khi d´o khˆong c`on su.. hiˆe.n diˆe.n cu’a lu.o..ng t`u. tˆo`n ta.i∃m`a chı’ c`on lu.o.. ng t`u. to`an thˆe’∀trong cˆong th´u.c d´o. Do d´o c´ac nh`a lˆa.p tr`ınh chı’ viˆe.c du.a v`ao m´ay phˆa`n thˆan cu’a cˆong th´u.c tˆan t`u. d˜a chuˆa’n ho´a (du.o.. c go.i l`a ma trˆa. n) v`a mˆo˜i mˆo.t biˆe´n xuˆa´t hiˆe.n trong cˆong th´u.c d´o dˆe` u liˆen quan dˆe´n lu.o.. ng t`u. to`an thˆe’ ∀.

Di.nh ngh˜ıa 3.3.13 Gia’ su.’ A l`a mˆo.t cˆong th´u.c tˆan t`u. o.’ da.ng tiˆe`n tˆo´:

Q1x1Q2x2. . . QnxnM v`a Qr l`a mˆo.t lu.o..ng t`u. tˆo`n ta.i trong A.

- Khi d´o, nˆe´u dˆo´i v´o.i lu.o.. ng t`u. Qr khˆong c´o mˆo.t lu.o..ng t`u. to`an thˆe’ n`ao d´u.ng tru.´o.c n´o th`ı ta thay tˆa´t ca’ xr trong M bo.’ i mˆo.t h˘a`ng a cu’a miˆ` n x´e ac di.nhD.

Th´ı du. 3.3.10

∃

↑x∃y∀zP(x, y, z) (P l`a tˆan t`u. 3 ngˆoi)

∃

↑y∀zP(a, y, z) (a- h˘a`ng c´a thˆe’ thuˆo.c D)

∀zP(a, b, z) (b- h˘a`ng c´a thˆe’ thuˆo.c D)

- Trong tru.`o.ng ho.. p nˆe´u dˆo´i v´o.i lu.o.. ng t`u.Qrm`a d´u.ng tru.´o.c n´o c´o (r−1) lu.o.. ng t`u. to`an thˆe’ tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac biˆe´n x1, x2, ..., xr−1 th`ı khi d´o ta thay mo.i k´y hiˆe.uxrbo.’ i h`amf(x1, x2, . . . , xr−1). H`am n`ay du.o.. c go.i l`ah`am Skolem. Cˆong th´u.c nhˆa.n du.o..c t`u.A b˘a`ng c´ach thu.. c hiˆe.n nhu. trˆen du.o..c go.i l`a

da. ng chuˆa’n t˘a´c Skolem.

Th´ı du. 3.3.11

∀x∀y∃

↑z∀t∃uP(x, y, z, t, u)

∀x∀y∀t∃

↑uP(x, y, f(x, y), t, u)

∀x∀y∀tP(x, y, f(x, y), t, g(x, y, t)) - da. ng chuˆa’n t˘a´c Skolem (viˆe´t t˘a´t l`a FSS).

Mˆo. t sˆo´ kˆe´t qua’

Dˆo´i v´o.i cˆong th´u.c A, ta k´y hiˆe.uSA l`a da.ng chuˆa’n t˘a´c Skolem.

Di.nh l´y 3.3.2

(1) Cˆong th´u.c (SA → A) l`a logic dˆo`ng nhˆa´t d´ung, v`a do d´o nˆe´u A l`a mˆau thuˆa˜n (logic dˆo`ng nhˆa´t sai) th`ıSA c˜ung mˆau thuˆa˜n.

(2) Nˆe´u A l`a thoa’ du.o.. c th`ıSA c˜ung thoa’ du.o.. c.

(3) Cˆong th´u.c A l`a mˆau thuˆa˜n, khi v`a chı’ khi SA l`a mˆau thuˆa˜n (di.nh l´y Skolem).

Ch´u ´y 5 Cˆong th´u.c (A → SA) n´oi chung l`a khˆong logic dˆo`ng nhˆa´t d´ung, do d´o A v`a SA l`a khˆong logic tu.o.ng du.o.ng, ch˘a’ng ha. n:

v`a ta cho. n tru.`o.ng minh hoa. D = R, f(x) = e−x. Khi d´o A nhˆa. n gi´a tri. True v`a SA nhˆa. n gi´a tri. False.

3.3.8.4 ´Ap du. ng di.nh l´y Skolem, nguyˆen l´y suy diˆe˜n, v`a phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i

Ch´u.ng minh r˘a`ng cˆong th´u.c sau dˆay l`a logic dˆo`ng nhˆa´t d´ung trong logic tˆan t`u.:

A =(∀x∃y(P(x)→Q(y)))∧(∀y∃z(Q(y)→R(y)))

→(∀x∃z(P(x)→R(z))).

Ch´u.ng minh:

Tru.´o.c hˆe´t, ta cˆ` n thu.a . c hiˆe.n mˆo.t sˆo´ bu.´o.c biˆe´n dˆo’i co. ba’n cu’a cˆong th´u.c d˜a cho vˆ` da.ng quen thuˆo.c theo c´ac t´ınh chˆa´t d˜a biˆe´t.e

- Theo nguyˆen l´y suy diˆe˜n v`a nguyˆen l´y phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i, ta cˆ` na ch´u.ng minh r˘a`ng cˆong th´u.c:

B= (∀x∃y(P(x)∨Q(y)))∧(∀y∃z(Q(y)∨R(z)))∧ ∀x∃z(P(x)∨R(z)) l`a mˆau thuˆa˜n (chu.o.ng 2 mu.c 2.4.3).

Viˆe.c dˆa˜n du.o..c mˆo.t cˆong th´u.c vˆe` da.ng chuˆa’n t˘a´c Skolem thu..c su.. c´o ´y ngh˜ıa thu.. c tiˆe˜n rˆa´t cao, d˘a.c biˆe.t dˆo´i v´o.i b`ai to´an lˆa.p luˆa.n trong c´ac hˆe. co. so.’ tri th´u.c du.o.. c xˆay du.. ng trˆen co. so.’ cu’a c´ac tˆan t`u.. Trong chu.o.ng 2, ta d˜a biˆe´t b`ai to´an lˆa.p luˆa.n c´o thˆe’ du.a vˆe` b`ai to´an ch´u.ng minh mˆo.t tˆa.p cˆong th´u.c

S (hay mˆo.t cˆong th´u.c) c´o mˆau thuˆa˜n hay khˆong. Di.nh l´y 3.3.2 (3) trˆen dˆay cho ta biˆe´t mˆo.t cˆong th´u.cA l`a mˆau thuˆa˜n, khi v`a chı’ khi cˆong th´u.c Skolem

SA tu.o.ng ´u.ng l`a mˆau thuˆa˜n. Gia’ su.’ M l`a ma trˆa.n cu’a cˆong th´u.c SA, v`a v`ı

SA du.o.. c viˆe´t du.´o.i da.ng chuˆa’n t˘a´c tiˆe` n tˆo´, nˆenSA l`a mˆau thuˆa˜n, khi v`a chı’ khi M l`a mˆau thuˆa˜n. Cˆong th´u.c M chı’ ch´u.a c´ac ph´ep to´an logic mˆe.nh dˆe` , do d´o ta c´o thˆe’ du.a vˆ` da.ng chuˆa’n t˘a´c hˆo.i cu’a mˆo.t tˆa.p c´ac Clause, v`a nhu.e vˆa.yM l`a mˆau thuˆa˜n, khi v`a chı’ khi tˆa.p c´ac Clause d´o l`a mˆau thuˆa˜n. Ch´u ´y r˘a`ng trong tru.`o.ng ho.. p n`ay mˆo˜i mˆo.t clause l`a tuyˆe’n cu’a mˆo.t sˆo´ c´ac literal,

nhu.ng literal trong logic tˆan t`u. l`a mˆo.t cˆong th´u.c so. cˆa´p ho˘a.c phu’ di.nh cu’a mˆo.t cˆong th´u.c so. cˆa´p, v`a cˆa´u tr´uc cu’a literal ph´u.c ta.p ho.n nhiˆe`u so v´o.i logic mˆe.nh dˆe` , nˆen viˆe.c x´ac di.nh c´ac gia’i th´u.c, rˆo`i sau d´o ´ap du.ng nguyˆen l´y suy diˆ˜n v`a phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i tu.o.ng ´e u.ng l`a viˆe.c l`am c´o nhiˆe` u ph´u.c ta.p ho.n so v´o.i hˆe. to´an mˆe.nh dˆe`. Tuy nhiˆen phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i l`a mˆo.t trong nh˜u.ng phu.o.ng ph´ap c´o hiˆe.u qua’ trong viˆe.c ch´u.ng minh mˆo.t cˆong th´u.c logic dˆo`ng nhˆa´t d´ung. Mu.c tiˆe´p theo ta s˜e ´ap du.ng nguyˆen l´y cu’a phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i dˆe’ l`am s´ang to’ t´ınh hiˆe.u qua’ cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay.

Ta biˆe´n dˆo’i nhu. sau:

B ≡ ∀x∃y(P(x)∨Q(y))∧ ∀y∃z(Q(y)∨R(z))∧ ∃x∀z(P(x)∧R(z)) ≡ ∀x∃ ↑u(P(x)∨Q(u))∧ ∀y∃ ↑v(Q(y)∨R(v))∧ ∃ ↑t∀z(P(t)∧R(z)) ≡ ∀x∀y∀z(∃u(P(x)∨Q(u))∧ ∃v(Q(y)∨R(v))∧ ∃t(P(t)∧R(z))) ≡ ∀x∀y∀z∃ ↑u∃ ↑v∃ ↑t((P(x)∨Q(u))∧(Q(y)∨R(v))∧(P(t)∧R(z))) ≡ ∀x∀y∀z((P(x)∨Q(f(x, y, z))∧(Q(y)∨R(g(x, y, z))) ∧(P(h(x, y, z))∧R(z)))) Khi d´o ta d˘a.t: S={P(x)∨Q(f(x, y, z), Q(y)∨R(g(x, y, z)), P(h(x, y, z)), R(z)}

trong d´o c´ac h`am f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z) l`a c´ac h`am Skolem v`a mˆo˜i mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a Sl`a mˆo.t clause. Mˆo˜i mˆo.t clause du.o..c lˆa.p nˆen t`u. c´ac literal l`a nh˜u.ng cˆong th´u.c so. cˆa´p.

- Theo di.nh l´y Skolem:

B l`a mˆau thuˆa˜n ⇔ S l`a mˆau thuˆa˜n (dˆo`ng nhˆa´t sai).

Thˆa.t vˆa.y, ta xˆay du. ng hˆ. e. dˆa˜n xuˆa´t t`u.Svˆ`e (rˆo˜ng) theo nguyˆen l´y cu’a phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i cu’a Robinson nhu. sau:

1. P(x)∨Q(f(x, y, z)) 2. Q(y)∨R(g(x, y, z)) 3. P(h(x, y, z)) 4. R(z)          (S)

5. Q(f(h(x, y, z), y, z)) (1,3,thˆe´{x/h(x, y, z)},gia’i th´u.c) 6. Q(y) (2,4,thˆe´{z/g(x, y, z)},gia’i th´u.c)

7. (5,6,thˆe´{y/f(h(x, y, z), y, z)},gia’i th´u.c)

Vˆa.y theo nguyˆen l´y cu’a phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i cu’a Robinson ta nhˆa.n du.o.. c tˆa.p S nhu. trˆen l`a mˆau thuˆa˜n hay cˆong th´u.c B d˜a cho l`a logic dˆo`ng

nhˆa´t sai, t´u.c l`aA logic dˆo`ng nhˆa´t d´ung.