3. A+B ≤ A+B 4 A•B≤A•B
5.1.4 Vectơ riíng, trị riíng vă câc dạng toăn phương của matr ận
Cho A lă ma trận vuông cấp n; số λ được gọi lă trị riíng vă vectơ khâc không X lă vectơ riíng của A nếu chúng thõa mên điều kiện:
A.X = λ.X hay (A-λE).X = 0 => A−λ.E =0, Ta tìm được phương trình bậc n cho λ, sao cho: f(λ) = 0.
f(λ) được gọi lă đa thức đặc trưng của A có n trị riíng λ1, λ2,.., λn . Tập hợp λ1, λ2,.., λn được gọi lă phổ vă maxi (λi) lă bân kính phổ của ma trận A.
Với mỗi λi có vô số Xi. Câc vectơ riíng cùng tương ứng với một λi rõ răng lă phụ thuộc tuyến tính vă chỉ khâc nhau một hằng số α. Do đó ta có thể chọn một vectơ duy nhất lăm cơ sở. Tập hợp n vectơ riíng, ứng với n trị riíng khâc nhau tạo thănh một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Ma trận gồm câc cột lă câc vectơ riíng của ma trận A, gọi lă ma trận dạng riíng của A.
Định lý:
• Nếu A lă ma trận thực, đối xứng thì câc trị riíng lă thực. Câc vectơ riíng ứng với câc trị riíng khâc nhau lă câc vectơ thực trực giao vă độc lập tuýín tính.
• Nếu A lă ma trận xâc định dương thì câc giâ trị riíng lă những số dương.
Nếu định thức A vă tất cả câc tử thức nằm trín đường chĩo chính đều lă dương thì A lă xâc định dương.
Tổng quât hơn, khâi nịím xâc định dương của ma trận A được định nghĩa nhờ dạng toăn phương lă đa thức: Q(X) = XT.A.X
Nếu Q xâc định dương, tức Q(X) > 0 với mọi số thực X vă Q(X) = 0 khi vă chỉ khi X=0, thì A được gọi lă xâc định dương.