Bảng 1.12. Thống kê số lượng bài tập chứng minh
và kĩ thuật suy luận
Chứng minh đường tròn đi qua điểm.
Lớp 7, các kiểu nhiệm vụ về chứng minh phong phú hơn, ngoài T6.2, T6.4
góc bằng nhau.
óc.
uy nhất một kỹ thuật 6 Sử dụng m ra điều phải chứng minh. Đặc ải quyết T6.2 thì yếu tố «điểm
ữa hai điểm trong trường hợp phức tạp» [5, tr.170]. Tương tự, T6.3 là ì yếu tố «tia nằm giữa hai
h vì sao một tia nằm giữa hai tia còn
iải thích cho kỹ thuật 6.
* hiệm vụđược đặt ra dưới
dạng c «Tại sao?»... Để giải quyết một
Đây là tổ chức toán học không xuất hiện ở tiểu học. Với lớp 6, chứng minh chưa có mặt để khẳng định các tính chất, nhưng đã được đưa ra ở phần bài tập, nhằm giải quyết các nhiệm vu:
T6.1 Chứng minh điểm nằm giữa hai điểm. T6.2 Chứng minh trung điểm của đoạn thẳng. T6.3 Chứng minh tia nằm giữa hai tia.
T6.4 Chứng minh tia phân giác của góc. T6.5
còn có:
T6.6 Chứng minh hai đường thẳng song song. T6.7 Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
T6.8 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. T6.9 Chứng minh hai
T6.10 Chứng minh hai đường thẳng vuông g T6.11 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Giải quyết các kiểu nhiệm vụ này bằng d các nhận xét, tính chất, định lí đã học để suy luận, tì biệt, T6.1 là kiểu nhiệm vụ con của T6.2, nhưng để gi
nằm giữa hai điểm» có thể chỉ cần quan sát, «không yêu cầu HS chứng minh một
điểm nằm gi
kiểu nhiệm vụ con của T6.4, nhưng để giải quyết T6.4 th tia» có thể chỉ cần quan sát, «chỉ yêu cầu HS giải thíc
lại trong những trường hợp đơn giản» [6, tr.68].
Công nghệ θ6: Các khái niệm, tính chất g
Ở lớp 6, chưa xuất hiện khái niệm «chứng minh», n âu hỏi «Giải thích vì sao…?», «Vì sao?»,
kiểu nhiệm vụ trên cần suy luận từ 1 hoặc 2 bước, chỉ có duy nhất một nhiệm vụ cần 6 bước suy luận.
Ví dụ: [3, tr.126], bài tập 64. «Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Lấy D và E là hai
Đây là nhiệm vụ có nhiều bước suy luận nhiều nhất ở lớp 6 (6 bước). Lời giải được trình bày trong [5, tr.170] như sau:
«Vì C là trung điểm của AB nên: điểm thuộc đo n ạ thẳng AB sao cho AD = BE = 2cm. Vì sao C là trung điểm của DE?» CA CB 3 cm 2 2 AB 6 giữa B và C, suy ra CE = 1cm. = CE (= m). Vậy C là điểm củ ».
Trên tia AB: vì AD < AC (2cm < 3cm) nên D nằm giữa A và C, suy ra DC = 1cm.
Cũng thế, trên tia BA, vì BE < BC (2cm < 3cm) nên E nằm
Điểm C nằm giữa hai điểm D, E (do hình vẽ chính xác nên quan sát thấy như vậy, không cần chứng minh ý này) và CD
1 trung c a DE * Ở lớp 7, để giải quy bước và tối đa 9 bước xuất hiện 1 lần.
ết một nhiệm vụ trên thường cần suy luận từ 1 đến 5 . Các nhiệm vụ chứng minh gồm 8 hoặc 9 bước suy luận chỉ Ví dụ: [8, tr.71], bài tập 34b. «Cho xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B, trên tia Oy lấy 2 điểm C và D sao cho OA=OC, B=OD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh:
vụ chứng minh gồm nhiều bước
O
Để minh họa cho nhiệm
suy luận nhất ở lớp 7 (9 bước), chúng tôi chỉ phân tích câu b.
b) VìΔOADΔOCB (cm ở câu a) nên ODA OBC , OAD OCB (1) (góc tương ứng)
(2) DCI OCB 180 0(kề bù) (3) Ta có: BAI OAD 180 0(kề bù)
Từ (1), (2), (3) suy ra: BAI DCI
A . D . C . E . B . A B I C D x y O
a) BC = AD
b) IA = IC, IB = ID c) Tia OI là tia
Vì A nằm giữa O và B nên: AB = OB – OA Vì C nằm giữa O và D nên: CD = OD – OC
phân Mà OA = OB, OC = OD nên AB = CD
giác của xOy». Từđó: ΔAIBΔCID(gcg).
Suy ra IA = IB, IC = ID (cạnh tương ứng). * hứng minh
Đối với những minh mẫu cho HS, hoặ vào chỗ trống, sắp xếp
Để c định lí ở lớp 7 cần suy luận từ 1 đến 7 bước.
đ đầu tiên được SGK trình bày bài chứng i ý bằng cách hình thức: h ỏi dẫn dắt, điền ự của mộ ứng minh có sẵn. Ví dụ: một ịnh lí chứng minh, c gợ ệ thống câu h cho đúng trình t t bài ch
hì bằng nhau» đ y bài chứng minh mẫu .
h lí đòi hỏi chứng minh phản chứng (loại chứng minh phức
inh . Ví d : Tính chất «Hai góc đố trong mục «Tập suy luậ Đối với các địn tạp), phần chứng m i đỉnh t ược trình bà n» [7, tr.82]
được xem như bài tập thêm ụ Tính chất của hai đường ng «Nếu m
le
Hai trong a bù nhau»:
được chứng minh bằng ph ng minh tính chất
ập Toán 7,
thẳng song so ột đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a) Hai góc so trong bằng nhau.
b) Hai góc đồng c) góc
vị bằng nhau. cùng phí
ản chứng nên SGK đã chuyển phần chứ
này thành bài tập «Xem cách suy luận ở bài tập số 30 và 43, Sách bài t
tập một, chương I, phần Hình học» [7, tr.93]. Ở các bài tập này, Sách bài tập rèn luyện cho HS tập suy luận thông qua hệ thống câu hỏi dẫn dắt.
Đối với các định lí chỉ cần suy luận đơn giản (1, 2 bước), SGK cho «HS tự
chứng minh» hoặc dẫn dắt «Tính chất này được suy ra trực tiếp từ…». Ví dụ: Tính chất «Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó» ở [8, tr.74] «HS tự chứng minh».
Đối với các định lí cần nhiều bước suy luận để chứng minh, SGK đưa ra bài chứng minh mẫu. Ví dụ: Tính chất «Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì
nằm trên đó» được chứng minh qua 7 bước suy
luận. D ng minh mẫu cho HS.
đường trung trực của đoạn thẳng
Bảng 1.12. Bảng thống kê số lượng bài tập «chứng minh»(Ở lớp 6 và 7) (đơn vị tính: câu) Số bước suy luận 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [3] 6 1 1 [4] 4 1 [7] 10 9 6 7 1 2 [8] 12 11 5 15 6 2 1 1 1 Nhận xét
Theo bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy T6 bắt đầu xuất hiện ở lớp 6, nhưng chỉ với số lượng ít (13 câu). Hơn nữa, các nhiệm vụ thuộc T6 ở lớp 6 cũng gồm những suy luận đơn giản (1 hoặc 2 bước). Trong khi đó, ở lớp 7, các nhiệm vụ thuộc T6 chiếm ưu thế (89 câu) và số bước suy luận cũng nhiều hơn. Với số lượng
bài ở
THCS.
Bảng 1.13. Bảng thố kê bài ập sử ụng ỹ thu «qua – thực nghiệm và k huật suy l ận» ( lớp 6 và 7) an - Th ngh Su luận tập như vậy, có thể khẳng định T6 là kiểu nhiệm vụ chính của Hình học ng các t d k ật n sát » ỹ t « u Ở Qu sát ực iệm y [3] 17 15 [4] 5 16 [7] 5 68 [8] 66 Tổng cộng 27 165
Trong số 245 bài tập trong SGK các lớp 6 và 7, chúng tôi ghi nhận được:
- 27 bài tập dùng có các hoạt động quan sát và thực nghiệm (đo đạc, gấp giấy) ể trả lời. Các bài tập này không có phần suy luận, chủ yếu xuất hiện ở lớp 6.
ác kiểu nhiệm vụ, ch
đ
- 165 bài tập suy luận xuất hiện (ngầm ẩn hoặc tường minh) trong hầu hết c ủ yếu xuất hiện ở lớp 7.
- Các bài tập còn lại ng ngôn ngữ chỗ trống một phát ập diễn đạt bằng lời, dùng kí hiệu viết gọn mệnh đề ới định lí (phát biểu định lí, viết giả thiế kết luận…)
N xét
- L là giai đoạn chuyển ti p giữa hai loại Hình học ở tiểu học và THC
- Số lượng lớn các bài tập suy luận không kèm theo hoạt động thực nghiệm ác kết quả qua
ách khác, HH ở bậc THCS rất coi trọng suy
thức một khẳng định
t khẳng định được hợp thức chủ yếu dựa trên suy luận từ những tính chất, địn
c bằng quan sát, thực nghiệm ở bậc tiểu học sang giai
đoạ t
iếp cận tính chất «Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau» ở bài ầu tiên của chương trình Hình học lớp 7 [7, tr.81].
ai góc đó. c) Dựđoán kết quả rút ra từ câu a), b).
bao gồm vẽ hình, hoạt độ (điền vào biểu, t …), liên quan t t – hận ớp 6 ế bậc S.
như vậy thể hiện quy ước ngầm ẩn rằng từ nay HS không thể sử dụng c
n sát thực nghiệm mà phải dựa vào suy luận chứng minh để khẳng định tính đúng đắn của một mệnh đề.
- Các bài tập khác cũng nhằm mục đích trang bị công cụ, giúp HS giải quyết các bài tập suy luận và chứng minh. Nói c
luận và chứng minh.
1.3.2.4. Đặc trưng của suy luận và chứng minh
Cách hợp
Các phân tích ở phần 1.3.2.2 và 1.3.2.4 (tổ chức toán học OM5 và OM6) cho thấy mộ
h lí đã học. Tuy nhiên, vẫn tồn tại các mệnh đề được khẳng định bằng quan sát và các hoạt động thực nghiệm trên một hình cụ thể (đo đạc, tính toán, cắt ghép hình, gấp giấy…), chủ yếu là ở lớp 6. Điều này thể hiện «Hình học lớp 6 là phần chuyển tiếp từ giai đoạn học Hình họ n iếp thu kiến thức bằng suy diễn ở cấp THCS» [5, tr.128]. Đặc trưng của tình huống suy luận bắt đầu xuất hiện Đó là tình huống t đ O x x’ y’ y 1 2 3 4 Hình 1 a) Hãy đo O1 và O3. So sánh sốđo hai góc đó. b) Hãy đo O và 2 O . So sánh s4 ốđo h
ng nhau không.
u n c đối đỉnh sau khi thực nghiệm,
qua c
ối đỉnh thì bằng nhau».
y để tiếp cận , các hoạt động thực nghiệm vẫn có thể thực hiện dễ dàng và cho kết quả rõ ràng, chính xác như những tình huống trước đó. Ởđây, suy luận xuất hiện một cách
phô bà h «dự đoán» và pha
«suy lu ực nghiệm chỉ có
vai trò ất hiện sau khi
thực n ng nhau» dễ dàng
iều n không tạo ra sự bấp bênh khi quan sát, đo đạc; iệc «suy luận để hợp thức hóa kết quả». Lí do của sự xuất hiện
g và tổng quát. Chẳng
Tập suy luận: «Xem hình 1. Không đo, có thể suy ra được O1 O3 hay không?
…
Ta có tính chất sau: «Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau».
Để hợp thức hóa tính chất này, [9, tr.85] gợi ý 2 hoạt động:
«Hoạt động 3: Phát hiện tính chất của hai góc đối đỉnh a) Ước lượng bằng mắt về sốđo của hai góc đối đỉnh. b) Dùng thước đo góc kiểm tra hai góc đối đỉnh có bằ
c) Vẽ hai đường thẳng cắt nhau trên giấy trong. Gấp giấy sao cho một góc trùng với góc đối đỉnh của nó.
d) Phát biể hận xét về sốđo của hai gó n sát, đo đạ
Hoạt động 4: Tập suy luận: Hai góc đ
Từ các hướng dẫn trên và tổng hợp [20], chúng tôi nhận thấ tính chất này
y thông qua đề mục «Tập suy luận». Việc xuất hiện p a ận» muốn chứng tỏ một thỏa thuận: kết quả ghi nhận từ th phỏng đoán, nó có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, dự đoán xu ghiệm trên một hình duy nhất và «sốđo hai góc đối đỉnh bằ
nhận thấy bằng mắt. Điều này có thể ảnh hưởng đến kết quả đo: HS có thể đ chỉnh để kết quảđo hai góc đối đỉnh là bằng nhau.
Như vậy, tình huống nêu trê
nghĩa là HS không nghi ngờ gì về kết quả thực nghiệm này. Do đó, HS không thấy sự cần thiết của v
«suy luận» trong tình huống này là: «Suy luận để có khẳng định đún
hạn, ở đây, suy luận để khẳng định rằng: Bất kì hai góc nào, nếu chúng đối
* Từ bài «Hai góc đối đỉnh» trở đi, kết quả các hoạt động thực nghiệm chỉ đóng vai trò dự đoán. Để khẳng định các tính chất, SGK cho HS «Tập suy luận» thông qua hệ thống câu hỏi dẫn dắt, hoặc «Chúng ta thừa nhận tính chất sau» đối với các tính chất đòi hỏi suy luận phức tạp, đảm bảo nguyên tắc xây dựng chương trình THCS: «Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình; hạn chếđưa vào chương trình những kết quả có ý nghĩ
hức tạp, dài dòng.
cấp THCS trình bày theo chủ đề, kết hợp trực quan và suy
nh mà thông qua đề mục cấp lớp và giải quyết các yêu cầu khác n
a lí thuyết thuần túy và các phép chứng minh dài dòng, phức tạp không phù hợp với đa số HS» [3, tr.4].
* Từ bài «Định lí» (lớp 7), khái niệm «chứng minh» xuất hiện thông qua thuật ngữ «chứng minh định lí»: «Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận». Kể từ đó về sau, hầu hết các định lí đều được chứng minh bằng suy luận, chỉ trừ những phép chứng minh p
Đặc trưng của suy luận và chứng minh
Ở các lớp 6 và 7, suy luận và chứng minh đóng vai trò rất quan trọng. Điều này được thể hiện trong SGV như sau: «Cần làm cho HS hiểu ý nghĩa của suy luận trong Hình học. Suy luận để có khẳng định đúng và tổng quát. Suy luận nhằm mục
đích chứng minh. Các hoạt động như: vẽ hình minh họa, căn cứ vào kết quả đo, quan sát, đoán nhận,… đều không phải là chứng minh. HS cần tập luyện suy luận
để dần dần có thói quen, tạo điều kiện cho các em thuận lợi trong việc chứng minh các định lí» [9, tr.84], «HH
luận, phù hợp với trình độ nhận thức của HS. Tuy nhiên, HH THCS rất coi trọng việc suy luận, lập luận có căn cứ, chuẩn bị chu đáo cho việc chứng minh hình học» [9, tr.97].
Khái niệm «suy luận» không xuất hiện tường mi «Tập suy luận». Suy luận phức tạp dần lên theo
hau: «Hãy suy luận bằng cách…», «Giải thích vì sao…?», «Tại sao...?», …
«Chứng minh» được hiểu thông qua khái niệm «chứng minh định lí»:
«Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận» [7, tr.100].
khái niệm chứng minh, học trình bày một chứng minh qua các bài tập dạng «Điền vào chỗ trống», sắp xếp các mệnh đề theo một trật tự hợp lí, phát hiện các khẳng
định và những căn cứ của khẳng định trong một chứng minh» [20, tr.22]. Ngoài ra,
chúng tôi còn nhận thấy HS được tập dượt chứng minh bằng cách trả lời hệ thống câu hỏi dẫn dắt và học cách trình bày thông qua các chứng minh mẫu có sẵn.
* Phân tích chương trình, SGK, SGV Toán lớp 6 và 7 cho thấy:
, chứng nhiên, ộ phạm, không đòi hỏ ợc định nghĩa và gắn liền với hình vẽ. Ở l
Ở lớp 6, các tính chất không được khẳng định bằng suy luận, thậm chí còn không đề cập đến vấn đề hợp thức hóa. Thế nhưng, phần bài tập đã bắt đầu xuất hiện yêu cầu suy luận qua các kiểu nhiệm vụ: chứng minh điểm nằm giữa hai điểm
minh tia nằm giữa hai tia, tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, so sánh hai đoạn thẳng, so sánh hai góc… Tuy nhiên, các suy luận ở lớp 6 là những suy luận đơn giản (chủ yếu là 1 đến 3 bước) và gắn liền với số đo, chỉ có duy nhất một bài tập không suy luận dựa trên sốđo cụ thể là [3, tr.121], bài tập 49 (xem mục 1.3.2.3, Tổ chức Toán học OM4, kiểu nhiệm vụ T4.1).
Ở lớp 7, «HS bắt đầu được tập dượt chứng minh và trình bày các chứng minh» [9, tr.9]. Hầu hết các tính chất, định lí đều được khẳng định bằng suy luận:
«Về nguyên tắc, mọi định lí toán học đều phải được chứng minh là đúng. Tuy m t số định lí trong chương trình không chứng minh, đó là vì lí do sư
i sự cố gắng quá sức của HS» [9, tr.103]. Đối với bài tập, «Yêu cầu về suy luận, chứng minh tăng dần qua các chương» [9, tr.11].
1.3.2.5. Kết luận
Trong mục 1.3.2, chúng tôi đã phân tích chương trình, SGK, SGV bậc THCS (đặc biệt là các lớp 6 và 7) để tìm hiểu cách tiếp cận khái niệm, tính chất, định lí và