Phƣơng pháp SURF dựa vào phát hiện về các ma trận Hessian vì hiệu suất tốt của nó về thời gian tính toán và độ chính xác. Tuy nhiên, thay vì sử dụng một biện pháp khác để lựa chọn vị trí và tỷ lệ (nhƣ đã đƣợc thực hiện trong phát hiện Hessian-Laplace[14]), ở đây dựa trên các định thức Hessian cho cả hai. Với một điểm x = (x, y) trong một ảnh I, các ma trận Hessian
H(x,σ) ở x có tỷ lệ σ đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
(2.16)
trong đó là tích chập của đạo hàm bậc hai của hàm Gaussian với ảnh I tại điểm x, và tƣơng tự cho và .
Hàm Gaussians đƣợc tối ƣu cho việc phân tích không gian tỷ lệ. Tuy nhiên trong thực tế, hàm Gaussian cần phải đƣợc rời rạc và cắt bỏ (bên trái), thậm chí với cả bộ lọc Gaussian thì răng cƣa vẫn còn xảy ra ngay sau khi những hình ảnh kết quả đƣợc lấy mẫu giảm. Ngoài ra, các tính chất không có
C D 1 2 3 4
chứng minh trong trƣờng hợp 1D, nhƣng không áp dụng trong trƣờng hợp liên quan đến 2D. Do đó, tầm quan trọng của hàm Gaussian có vẻ nhƣ đã phần nào đƣợc đánh giá quá cao về vấn đề này, và ở đây thử nghiệm một giải pháp thay thế đơn giản hơn. Khi bộ lọc Gaussian là không lý tƣởng trong bất kỳ trƣờng hợp nào, và để Lowe's thành công với xấp xỉ LoG, phƣơng pháp này cho xấp xỉ Hessian với các bộ lọc vuông (nửa bên phải). Xấp xỉ đạo hàm Gausian bậc hai, có thể đƣợc đánh giá rất nhanh bằng cách sử dụng hình ảnh tích hợp, độc lập với kích thƣớc.
Hình 2.4: Các xấp xỉ đạo hàm bậc hai của hàm Gaussian
Từ trái sang phải: đạo hàm riêng bậc hai của hàm Gaussian ở y hƣớng (Lyy) và xy hƣớng (Lxy) tƣơng ứng, và xấp xỉ của nó ở y hƣớng (Dyy) và xy hƣớng (Dxy). Vùng xám bằng 0.
Các bộ lọc 9×9 trong hình là những xấp xỉ của đạo hàm bậc hai Gaussian với σ = 1.2 và biểu diễn tỷ lệ thấp nhất (nghĩa là độ phân giải không gian cao nhất). Ký hiệu là Dxx, Dyy, và Dxy. Trọng số áp dụng cho các vùng chữ nhật đƣợc giữ đơn giản cho hiệu quả tính toán. Điều này mang lại
(2.17)
Các trọng số tƣơng đối w của các bộ lọc đặc trƣng phải đƣợc cân bằng biểu thức cho định thức của Hessian. Điều này là cần thiết cho việc bảo toàn năng lƣợng giữa các nhân Gaussian và gần đúng các nhân Gaussian.
hóa đối với các kích thƣớc mặt nạ. Điều này đảm bảo một chuẩn Frobenius liên tục cho bất kỳ kích thƣớc bộ lọc nào.