Ma trận tổng trở vòng ZVòngcũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận tổng trở vòng thêm vào Cˆ liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc liên hệ với mạng điện thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự nối kết với một nhánh bù cây giả mắc song song với mỗi nhánh cây của mạng điện gốc. Giữ nguyên trật tự các thành phần liên kết trong mạng, tổng trở của mỗi nhánh bù cây giả bằng 0 và nguồn áp bằng nhưng ngược hướng với áp qua nhánh cây liên kết trình bày trên hình 4.9.a. Dòng qua nhánh bù cây giả bằng 0. Vòng hở có thể xem như vòng liên thông giữa nhánh cây và nhánh bù cây giả tưởng cho trên hình 4.9b.
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc vòng tham khảo như sau:
Ma trận Zvòngsẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng trở
của mạng điện thêm vào.
Nhân hai vế với Cˆtta thu được:
(4.40)
Phương trình (4.40) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau:
Trong đó: Vectơ điện áp gốc →v và →e được phân chia thành vectơ điện áp →v bvà →e b
liên kết với nhánh cây của mạng và vectơ điện áp →v tvà →e tliên kết với nhánh bù cây. Vế trái của phương trình (4.41) là.
Khi
và
Tuy nhiên.
Các thành phần của →v b là bằng nguồn áp của nhánh bù cây giả tưởng, →v b+ →e b là vectơ trong các nhánh, mỗi thành phần là bằng tổng đại số nguồn áp trong vòng hở. Vì vậy.
Dòng điện đi qua các nhánh của mạng điện gốc từ phương trình (4.27) là
Tuy nhiên:
Thì
(4.44)
Thay thế phương trình (4.44) vào trong phương trình (4.43)
(4.45)
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là:
Từ phương trình (4.45) và (4.46) ta có ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào là:
(4.47)
Phương trình (4.47) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau:
Với: [zbb]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh cây
[zbl] = [zlb]t: Là ma trận tổng trở gốc mỗi thành phần là tổng trở tương hỗ giữa nhánh cây và nhánh bù cây
[zll]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh bù cây Phương trình (4.48) viết lại như sau:
(4.49) Từ Hay Thì (4.50) Từ phương trình (4.49) và (4.50) ta có
Zvòng = Z4
Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ Zvòng = Z4-1
Ma trận tổng dẫn vòng thu được từ ma trận tổng dẫn mạng thêm vào.
Ma trận tổng dẫn vòng YVòng có thể thu được từ ma trận tổng dẫn thêm vào Yˆnhaïnhcáy. Từ phương trình (4.36) và (4.47).
(4.51)
Hình thức phân chia là:
Dòng điện đi qua các nhánh của mạng gốc từ phương trình (4.27) là:
Nhân cả hai vế với Bt ta có:
(4.53)
Tuy nhiên, từ phương trình (4.18) vế trái của phương trình (4.53) là bằng 0. Vì vậy, phương trình (4.53) có thể viết lại như sau:
(4.54)
Thay thế phương trình (4.54) vào trong phương trình (4.52)
(4.55)
Một cách tương tự ta có thể biểu diễn như sau:
(4.56)
Thay thế phương trình (4.55) vào trong (4.51),ta được:
Từ
[z].[y] = U Nên
Vì vậy theo phương trình (4.56) ta có
(4.57)
Phương trình (4.57) dưới hình thức phân chia như sau:
Nó biểu diễn:
Z1.Y1+ Z2.Y3= Ub(4.58) Z1.Y2+ Z2.Y4= 0
Z3.Y1+ Z4.Y3= 0 (4.59) Z3.Y2+ Z4.Y4= Ut(4.60) Rút Z3từ phương trình (4.59) Z3= -Z4.Y3.Y1-1
Thay thế vào trong phương trình (4.60) -Z4.Y3.Y1-1.Y2+ Z4.Y4= Ut Hay Z4(Y4- Y3.Y1-1.Y2) = Ut Từ Z4.YVòng= Ut Ta có: YVòng= Y4- Y3.Y1-1.Y2