, trong đó Tuy nhiên em đã quên rằng bản thân đối số của hàm số sin trong trường hợp này lại là một hàm số cụ thể là v = 3x.
2.2.3.Vận dụng thuyết kiến tạo trong dạy học nội dung đạo hàm a Dạy học khái niệm đạo hàm một bên
a. Dạy học ôn tập chương “đạo hàm”
2.2.3.Vận dụng thuyết kiến tạo trong dạy học nội dung đạo hàm a Dạy học khái niệm đạo hàm một bên
a. Dạy học khái niệm đạo hàm một bên
Sau khi học xong chương giới hạn hàm số HS đã được biết về giới hạn một bên và đến chương đạo hàm học sinh lại bắt gặp khái niệm đạo hàm một bên. Vậy cách thức có phần nào giống với giới hạn một bên hay không. Và em thiết kế tình huống dạy học khái niệm đạo hàm như sau:
Hoạt động của GV và HS Nội dung cần đạt
-GV: phát cho mỗi HS một tờ giấy A4 và yêu cầu HS viết lại ĐN giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của giới hạn hữu hạn của hàm số.
-HS: ghi lại ĐN theo trí nhớ -GV:Từ đó GV gợi ý chia khoảng (a;b) thành 2 nửa khoảng
(a; ] và [ ;b) cho HS phát biểu tương tự đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải vào tờ giấy của mình.
-Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên
nửa khoảng .Giới hạn bên phải (nếu
có) của tỉ số khi x dần đến được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số
khá, trung bình lên bảng viết lại ĐN đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải của mình đã viết trên tờ giấy.
-HS: lên bảng viết ĐN
-GV : kiểm tra bài của các thành viên còn lại trong lớp ước chừng xem có bao nhiêu % lớp viết đúng.
-GV: kiểm tra và chữa lỗi sai trong bài cho HS
-HS chỉnh sửa lại bài của mình sao cho đúng
-GV:cho HS viết tiếp lại 2 nhận xét 1 và 2 của giới hạn một bên -HS viết lại theo trí nhớ và so sánh với các bạn khác.
-GV:cho HS vận dụng tiếp 2 nhận xét đó sang đạo hàm một bên và ghi tiếp vào tờ giấy của mình.
-GV: gọi tiếp 3 HS lên bảng viết 2 nhận xét của đạo hàm một bên lên bảng.
-HS: lên bảng viết nhận xét của mình.
-GV: kiểm tra bài của các thành viên khác trong lớp.
-GV kiểm tra và chữa bài trên
đã cho tại điểm , kí hiệu là hoặc
Đạo hàm bên trái của hàm số f xác định trên
nửa khoảng , ký hiệu là hoặc
Cũng được định nghĩa tương tự, nghĩa
bảng của HS cho đúng.
-HS: so sánh bài của mình và chữa lại cho đúng.
-GV: đưa ra câu hỏi gợi mở ?.Nếu hàm số có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại 1 điểm thì có thể không có đạo hàm tại điểm đó hay ko?
Từ đó GV nêu nhận xét 3.
-GV: đưa ra một số ví dụ áp dụng
(*)Từ định nghĩa và các kết quả đã biết về giới hạn một bên, ta dễ dàng suy ra nhận xét:
1)Nếu hàm số f xác định trên khoảng (a; b) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
có đạo hàm tại điểm thuộc khoảng đó thì nó cũng có đạo hàm bên phải và bên trái tại
và
2)Ngược lại, nếu hàm số f xác định trên khoảng (a ; b) có đạo hàm bên phải và đạo
hàm bên trái tại điểm sao cho
thì nó cũng có đạo hàm tại
3)Tuy nhiên, một hàm số có đạo hàm bên
phải và đạo hàm bên trái tại điểm vẫn có
thể không có đạo hàm tại điểm (khi
Ví dụ 1: Xét hàm số . Dễ thấy hàm số có đạo hàm tại x = 3 , do đó nó có đạo hàm bên phải , đạo hàm bên trái tại x = 3 và
Ví dụ 2 : Xét hàm số Ta có :
Do đó tại điểm x = 0, hàm số f có đạo hàm
bên phải và đạo hàm bên trái
, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Kết luận:
Trong tình huống dạy học theo thuyết kiến tạo trên em đã lựa chọn nội dung dạy học đạo hàm một bên – 1 mảng kiến thức có mối liên hệ logic với giới hạn một bên. Chính vì vậy em đã thiết kế tình huống kiến tạo dựa vào phần giới hạn một bên của chương giới hạn hàm số. GV thiết kế một số hoạt động cho HS ví dụ
và [ ;b) từ đó GV cho HS phát biểu đạo hàm một bên tương tự như khái niệm giới hạn một bên hay khi HS đã xây dựng được 2 nhận xét của đạo hàm một bên GV gợi mở câu hỏi “Nếu hàm số có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại 1 điểm thì có thể không có đạo hàm tại điểm đó hay ko”. Trả lời câu hỏi này đồng thời cũng dẫn dắt HS đến nhận xét 3. Ở đây GV đã thiết kế hoạt động và câu hỏi gợi mở cho HS đồng thời trong quá trình kiến tạo không phải chỉ một vài HS được tham gia kiến tạo mà cả lớp phải tham gia kiến tạo. Khi GV gọi 3 em HS lên bảng làm phần bài của mình không có nghĩa là chỉ 3 em HS đó được làm mà trong khoảng thời gian đó GV cũng kiểm tra các em HS ở trong lớp chỉ ra lỗi sai đồng thời cho HS tự trao đổi về bài làm của mình, đánh giá bài làm của nhau giúp HS chủ động, tích cực hoạt động và từ đó tất cả các kiến thức về khái niệm đạo hàm một bên đều là sản phẩm của những hoạt động nhận thức của chính chủ thể nhận thức là bản thân HS.
Cách GV gọi 3 HS lên bảng trình bày về bài làm của mình sau đó GV chỉnh sửa và đưa ra định nghĩa, nhận xét đúng là để HS tự kiểm nghiệm lại bài của mình và rút ra kinh nghiệm cho bản thân giúp HS giải được các bài toán về đạo hàm một bên. Cuối cùng GV đưa ra một số ví dụ tiêu biểu để hợp thức hóa lại những tri thức mà HS vừa tiếp nhận đồng thời hình thành kĩ năng mới cho HS. Từ tình huống kiến tạo ở trên ta nhận thấy rằng HS đạt được những tri thức về khái niệm đạo hàm một bên theo chu trình kiến thức đã có đó là khái niệm về giới
hạn một bên dự đoán định nghĩa, nhận xét khái niệm đạo hàm một bên cũng được định nghĩa tương tự như vậy kiểm nghiệm lại tính chính xác đúng đắn của tri thức mình vừa xây dựng được bằng cách dựa vào SGK hoặc sự kiểm tra
của GV từ đó thích nghi dần với tri thức hợp thức hóa lại tri thức bằng cách thực hiện làm một số ví dụ tiêu biểu của khái niệm đạo hàm một bên. Trên
đây là một tình huống được kiến tạo nên từ cái đã biết xây dựng tạo ra cái mới giúp HS hình dung vấn đề một cách logic về các mảng nội dung kiến thức.
b.Dạy học định lí về đạo hàm của tổng, hiệu hai hàm số
Ở tình huống xây dựng khái niệm đạo hàm một bên ở trên ta xây dựng dựa trên mối liên hệ với giới hạn hàm số. Và trong chương giới hạn hàm số có định lí giới hạn của một tổng, hiệu hai hàm số vậy có hay không định lí về đạo hàm của tổng, hiệu hai hàm số. Dưới đây là tình huống dạy học định lí mà em xây dựng được dựa theo thuyết kiến tạo:
Hoạt động 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = 2x bằng định nghĩa Ta có :
Vậy
Hoạt động 2: Phải chăng đạo hàm của hàm số y = 2x là đạo hàm của hàm số y = x + x ?
?. Đầu tiên tìm đạo hàm của hàm số y = x xem kết quả bằng bao nhiêu? Dựa vào cách tính đạo hàm của một số hàm thường gặp ta tính ngay được đạo
hàm của hàm số y = x là
?. Từ kết quả tính đạo hàm bằng định nghĩa đã thực hiện ở trên thì đạo hàm của hàm số y = x + x phải chăng bằng đạo hàm của 2 hàm số y = x và y = x không ?
Hoạt động 3: Nếu thay 2 hàm số y = x và y = x bởi hai hàm số u(x) và v(x) ta
có: và đạo hàm của một hiệu cũng được làm tương tự (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
giống đạo hàm của một tổng tức là :
Từ đó rút ra định lí : (định lí 1 – SGK Đại số và giải tích 11 tr 196) Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = u(x) + v(x) và y = u(x) – v(x) cũng có đạo hàm trên J, và
a)
b) .
Ghi chú : Công thức có thể được viết gọn là và
Hoạt động 4 : Hãy chứng minh định lí trên
Chứng minh:
a) Tại mỗi điểm , ta có :
•
Vậy
b) Kết luận này được chứng minh tương tự.
?. Tính đạo hàm của tổng 2 số là vậy nếu ta thay 2 số bằng n số thì có được tính tương tự như vậy hay không?
Từ đó có nhận xét :
Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số :
Nếu các hàm số u, v, ….,w có đạo hàm trên J thì trên J ta có :
Hoạt động 5 : Ví dụ áp dụng
Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng Giải:
Trên khoảng ta có:
Vậy
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Tính nếu
Bài 2: Cho hai hàm số và . Biết rằng hai hàm số này có
Kết luận:
Nội dung dạy học trong tình huống kiến tạo ở đây là dạy học định lí về đạo hàm của tổng, hiệu hai hàm số. GV thiết kế tình huống kiến tạo bằng cách cho HS tính đạo hàm của một hàm số quen thuộc từ đó đưa ra hệ thống câu hỏi gợi mở cho HS như: “Phải chăng đạo hàm của hàm số y = 2x là đạo hàm của hàm số y = x + x”. Để trả lời được câu hỏi này ta suy nghĩ câu hỏi: “đạo hàm của hàm số y = x xem kết quả bằng bao nhiêu” ; “Từ kết quả tính đạo hàm bằng định nghĩa đã thực hiện ở trên thì đạo hàm của hàm số y = x + x phải chăng bằng đạo hàm của 2 hàm số y = x và y = x không”. Từ các câu hỏi này khiến HS chủ động thực hiện các hoạt động tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = x và chứng minh được rằng đạo hàm của hàm số y = 2x bằng tổng của 2 đạo hàm y = x và y = x. GV gợi ý tiếp cho HS nếu thay 2 hàm số y = x và y = x bởi 2 hàm u(x) và v(x) thì ta tính được tổng hai đạo hàm. Khi HS đã tính tổng hai đạo hàm thì hiệu hai đạo hàm cũng được tính tương tự. Qua điều này ta thấy rằng tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức là HS chứ không phải tiếp thu thụ động từ GV và từ môi trường bên ngoài. GV tạo ra hoạt động thu hút HS ví dụ như khi đã tính được đạo hàm của một tổng và một hiệu 2 hàm số GV đưa ra câu hỏi gợi mở: “Tính đạo hàm của tổng 2 số là vậy nếu ta thay 2 số bằng n số thì có được tính tương tự như vậy hay không”. Câu hỏi này GV đã thu hút được sự chú ý của HS tham gia vào hoạt động và khuyến khích các em giải thích đưa ra ý tưởng của bản thân mình xây dựng được dạng tổng quát đối với n hàm số. Chính vì vậy khiến HS có hứng thú, chủ động, tích cực trong học tập. Từ hàng loạt các câu hỏi, các hoạt động cuối cùng GV hợp thức hóa tri thức, kĩ năng mới bằng cách đưa ra ví dụ áp dụng định lí vừa xây dựng được.
Trong tình huống xây dựng cách tính đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số được nêu ở trên giúp cho học sinh hiểu và vận dụng định lí một cách hiệu quả hơn.Như hoạt động 1 giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa đã học.Khi sang hoạt động 2 GV giúp HS phân tích và tìm tòi ra
cách tính đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm. Hoạt động 4 giúp HS kiểm tra lại tính chính xác của định lí từ đó HS có thể rút ra tính tổng quát cho định lí áp dụng với tổng của n hàm số.Hoạt động 5 giúp HS vận dụng định lí vào làm bài tập đồng thời rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm của HS.
Như vậy, theo cách này, với sự giúp đỡ của GV, HS tự kiến thiết nên định lí đạo hàm của một tổng, hiệu hai hàm số.