Để khụng mất tớnh tổng quỏt, ta giả định những bài toỏn tối ưu là bài toỏn tỡm cực đạ Bài toỏn tỡm cực tiểu hàm f chớnh là đi tỡm cực đại hàm g =−f :
{ ( )}max max ) ( max ) ( min f x = g x = − f x
Hơn nữa, ta cú thể giả định rằng hàm mục tiờu f cú giỏ trị dương trờn miền xỏc định của nú, nếu khụng, ta cú thể cộng thờm một hằng số C dương, nghĩa là:maxg(x)=max{g(x)+C}(Vế trỏi và vế phải cựng đạt max tại một điểm xo )
Bõy giờ, giả sử ta muốn tỡm cực đại một hàm số k biến f(x1, ,xk): Rk →R. Giả sử thờm là mỗi biến xi có thể nhận giỏ trị trong miền Di =[ai,bi]⊆Rvà
0 ) ,..., (x1 xk >
f với mọi xi thuộc Di. Ta muốn tối ưu húa hàm f với độ chớnh xỏc
cho trước : Giả sử cần 6 số lẻ đối với giỏ trị cỏc biến.
Rừ ràng là để đạt được độ chính xác như vậy mỗi miền Di được phõn cắt
thành 6
10) )
(bi−ai x miền con bằng nhaụ Gọi mi là số nguyờn nhỏ nhất sao cho
12 2 10 ) ( − 6≤ mi − i i a x b .
Như vậy, mỗi biến xi đưỵc biĨu diễn bằng một chuỗi nhị phõn cú chiều dài mi. BiĨu diƠn như trờn, rừ ràng thỏa mãn điỊu kiƯn vỊ độ chớnh xỏc yờu cầ Cụng thức sau tớnh giỏ trị thập phõn của mỗi chuỗi nhị phõn biểu diễn xi.
12 2 ) 001 ... 111001 ( 2 − − + = i m i i i i a b decimal a x
Bõy giờ, mỗi nhiễm sắc thể( là một lời giải) được biểu diễn bằng chuỗi nhị phõn cú chiều dài ∑ = = k i i m m 1
; mi bit đầu tiờn biểu diễn giỏ trị trong khoảng [a1, b1]; ; nhóm mk bớt cuối cựng biểu diễn giỏ trị trong khoảng [ak, bk].
ĐĨ khởi tạo quần thể, chỉ cần đơn giản tạo pop- size nhiễm sắc thể ngẫu nhiờn theo từng bit. Nờn sử dụng lý thuyết xỏc suất để khởi tạo quần thể ban đầu sẽ tốt hơn.
Phần cũn lại của giải thuật di truyền rất đơn giản: trong mỗi thế hệ, ta lượng giỏ từng nhiễm sắc thể (tớnh giỏ trị hàm f trờn cỏc chuỗi biến nhị phõn đà đưỵc giải mÃ), chọn quần thể mới thỏa mÃn phõn bố xỏc suất dựa trờn độ thớch nghi và thực hiện cỏc phộp đột biến và lai để tạo cỏc cỏ thể thế hệ mớ Sau một số thế hệ, khi khụng cũn cải thiện thờm được gỡ nữa, nhiễm sắc thĨ tốt nhất sẽ đưỵc xem như lời giải của bài toỏn tối ưu (thường là toàn cục). Thụng thường, ta cho dừng tht giải di trun sau một số bước lặp cố định tựy thuộc điều kiện về tốc độ và năng lực mỏy tớnh.
Đối với tiến trỡnh chọn lọc (chọn quần thể mới thỏa mÃn phõn bố xỏc suất dựa trờn cỏc độ thích nghi), ta dùng bánh xe quay Rulet với cỏc rÃnh được định kớch thước theo độ thích nghị Ta xõy dựng bỏnh xe Rulet như sau (giả định rằng, cỏc độ thớch nghi đều dương, trong trường hỵp ngược lại thỡ ta cú thĨ dùng một vài phép biến đỉi tương ứng để định lại tỷ lệ sao cho cỏc độ thớch nghi đều dương)
- Tớnh độ thớch nghi eval(vi) của mỗi nhiễm sắc thể vi = (i =1,...,pop-size). - Tìm tỉng giỏ trị thớch nghi toàn quần thể:
F= ∑=
size pop
i _ eval vi
1 ( )
- Tính xác suất chọn pi cho mỗi nhiễm sắc thĨ vi, (i=1, ,pop-size): pi = eval(vi)/F
qi = ∑=
i j pj
1
Tiến trỡnh chọn lọc được thực hiện bằng cỏch quay bánh xe Rulét pop-size lần; mỗi lần chọn một nhiễm sắc thể từ quần thể hiện hành vào quần thể mới theo cách sau:
- Phỏt sinh ngẫu nhiờn một số r trong khoảng [0,1]
- Nếu r < q1 thỡ chọn nhiễm sắc thể đầu tiờn (v1); ngưỵc lại thỡ chọn nhiễm sắc thể thứ i, vi (2 i pop- size) sao cho qi-1 <r qi.
HiĨn nhiên, có thể sẽ cú một số nhiễm sắc thể đưỵc chọn nhiều lần. Điều này phự hợp với lý thuyết sơ đồ : Cỏc nhiễm sắc thĨ tốt nhất có nhiỊu bản sao hơn, cỏc nhiễm sắc thể trung bỡnh khụng thay đổi, cỏc nhiễm sắc thể kộm nhất thỡ chết đ
Bõy giờ ta cú thể ỏp dụng phộp toỏn di truyền: kết hợp, lai vào cỏc cỏ thể trong qn thĨ mới, vừa đưỵc chọn từ qn thĨ cị như trên. Một trong những tham số của hệ di truyền là xỏc suất lai pc. Xỏc suất này cho ta số nhiễm sắc thể pop-size x pc. Xác suất này cho ta số nhiễm sắc thể pop-size x pc mong đợi, cỏc nhiễm sắc thể này được dựng trong tỏc vụ lai tạ Ta tiến hành theo cỏc cỏch sau:
Đối với mỗi nhiễm sắc thể trong quần thể (mới):
- Phát sinh ngẫu nhiờn một số số r trong khoảng [0, 1]; - Nếu r <pc, hãy chọn nhiễm sắc thể đú để lai tạ
Bây giờ, ta ghộp đụi cỏc nhiễm sắc thể đà được chọn đưỵc một cỏch ngẫu nhiờn: đối với mỗi cặp nhiễm sắc thể được ghộp đụi, ta phỏt sinh ngẫu nhiờn một số nguyờn pos trong khoảng [1, m-1] (m là tỉng chiỊu dài - số bít - của một nhiễm sắc thể). Số pos cho biết vị trớ của điĨm laị Hai nhiƠm sắc thĨ:
(b1 b2..bposbpos+1 bm) và (c1c2..cposcpos+1 cm ) được thay bằng một cặp con của chỳng:
(b1 b2..bposcpos+1 cm) và (c1c2..cposbpos+1 bm )
Phép toán kế tiếp, đột biến, đưỵc thực hiện trờn cơ sở bit. Một tham số khác cđa hƯ thống di trun pm, cho ta số bit đột biến pm x m x pop-size mong đợ Mỗi bớt (trong tất cả cỏc nhiễm sắc thể trong quần thể) cú cơ hội bị đột biến như nhau, nghĩa là, đổi từ 0 thành 1 hoặc ngược lạ Vỡ thế ta tiến hành theo cỏch sau đõ
Đối với mỗi nhiễm sắc thể trong quần thể hiện hành ( nghĩa là sau khi lai ) và đối với mỗi bit trong nhiễm sắc thể:
- Phát sinh ngẫu nhiờn một số r trong khoảng [0, 1]; - Nếu r < pm , hãy đột biến bit đú.
Sau quỏ trỡnh lọc, lai và đột biến, quần thể mới đến lưỵt lượng giỏ kế tiếp của nó. Lượng giỏ được để xõy dựng phõn bố xỏc suất (cho tiến trình chọn lựa tiếp theo ), nghĩa là, để xõy dựng lại bỏnh xe Rulet với cỏc rÃnh được định kớch thước theo cỏc giỏ trị thớch nghi hiện hành. Phần cũn lại của tiến húa chỉ là lặp lại chu trỡnh cđa những bước trên.
Khụng khú để theo dừi cá thĨ tốt nhất trong tiến trỡnh tiến hoỏ. Thụng thường trong cỏc cài đặt thuật giải di truyền) cỏ thể tốt trội hơn cả đưỵc lưu trữ tại một vị trớ riờng biệt; bằng cỏch đú, thuật giải cú thể duy trỡ cỏ thể tốt nhất tỡm được trong suốt quỏ trỡnh (khụng chắc là cỏ thĨ tốt nhất trong qn thể cuối cùng).
Hàm mục tiờu là thước đo giỏ trị của cỏc cỏ thể trong khụng gian bài toỏn. Trong trường hợp bài toỏn cực tiểu hoỏ, cỏ thể phự hợp nhất lỏ cỏ thể cú giỏ trị hàm mục tiờu bé nhất. Hàm thích nghi chỉ là thước đo hiƯu quả tương đối của cỏ thĨ trong Gas. Thơng thường phải có sự di chun đổi qua lại giữa hai loại hàm nà Biểu thức chuyển đổi cú dạng:
Trong đó, f(x) là hàm mục tiờu; g là phiếm hàm chun đỉi; F là hàm
thớch nghi, cú miền giỏ trị khụng õm.
Với bài toỏn tỡm cực trị-minimum, cú hai cỏch chuyển đổ Đú là phương phỏp hệ số khụng đổi (Constant Factor Method) và phương phỏp hệ số thay đổi (Dynamic Factor Method). Sau đõy sẽ phân tích chi tiết từng phương phỏp.
Phương phỏp hệ số khụng đổi :
Trong trường hợp này, hàm thích nghi có đưỵc bằng cỏch trừ hàm mục tiờu bởi một hằng số khụng đổi (trong tất cả cỏc thế hệ). Hằng số này phải cú giỏ trị rất lớn để đảm bảo hàm thớch nghi khụng õm:
F=U-f
Trong đó, F-trị số thớch nghi của cỏ thể trong quần thể, U- hằng số, cú giỏ trị rất lớn
f-giỏ trị hàm mục tiờgiỏ trị hàm phạt.
Khú khăn lớn nhất của phương phỏp này là tớnh hội tụ của bài toỏn tối ưụ Nó phơ thc rất nhiỊu vào viƯc chọn lựa hằng số Nếu giỏ trị U chọn nhỏ, trong vài trường hợp hàm thớch nghi sẽ nhận giỏ trị õm. Ngược lại, nếu chọn U quỏ lớn, sẽ khụng thấy đưỵc sự khỏc nhau của giỏ trị thớch nghi giữa cỏc cỏ thể, mặc dự giỏ trị hàm mục tiờu cú thay đổ Để khắc phục nhược điểm này, sử dụng phương phỏp hệ số thay đổ
Phương phỏp hệ số thay đổi
Với phương phỏp này, giỏ trị hàm thớch nghi phụ thuộc vào giỏ trị hàm mục tiờu ở thế hệ hiện tại:
F=fmax+fmin-f
Trong đú, F-trị số thớch nghi của từng cỏ thĨ trong qn thĨ
fmax- Giỏ trị lớn nhất của hàm mục tiờu + giỏ trị hàm phạt trong quẩn thể
fmin- Giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiờu + giỏ trị hàm phạt trong quẩn thể
f- Giỏ trị hàm mục tiờu của cỏc cá thĨ.