VI. NGUYÊN LÍ HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH CỦA TẠO ẢNH
6.3 Hệ thống quang giới hạn nhiễu xạ
Ánh sáng là bức xạ cơ điện tử và như các đối tượng tới hiện tượng sóng liên quan. Khi một chùm sáng song song chiếu vào một hệ thống quang, chúng không thểđược hội tụ tại một điểm ngay cả khi tất cảcác quang sai đã được loại bỏ. Nhiễu xạ tại ống kính của hệ thống quang làm mờ các điểm tại điểm hội tụ tới một kích thước ít nhất là bậc của bước sóng ánh sáng. Một hệ thống quang trong đó các quang sai đã bị ngăn chặn đến mức thấp hơn đáng kể so với ảnh hưởng của nhiễu xạđược gọi là giới hạn nhiễu xạ .
Hình 14. Nhiễu xạ của một sóng phẳng phía trước tại khẩu độ chắn của một hệ
thống quang học. Hệ thống quang học chuyển sóng phẳng phía trước thành sóng cầu trong tất cảcác hướng hội tụ tại mặt phẳng hình ảnh.
Việc xử lý hoàn toàn nhiễu xạ theo phương trình Maxwell là những phép toán khá phức tạp. Tuy thế, nhiễu xạ của sóng phẳng tại khe hở của ống kính có thểđược xử lý bởi cách đơn giản là nhiễu xạ Frauhofer . Nó dẫn đến một nguyên tắc cơ bản. Ta giả thiết rằng khe hở của ống kính quang học được xuyên qua bởi sóng phẳng tới đến từ một vật thểở vô cực (Hình 14). Ảnh hưởng của một ống kính hoàn hảo là nó rẻ sóng phẳng thành một sóng cầu tới hội tụ tại trục quang. Nhiễu xạ do khẩu độ hữu hạn của ống kính làm cho ánh sáng cũng rẽđi các hướng khác. Sự nhiễu xạ này có thể được tính toán bằng cách áp dụng định luật Huygens tại mặt phẳng khẩu độ.
Hệ thống quang học Mặt phẳng ảnh Sóng phẳng phía trước Sóng cầu phía trước
Nguyễn Ngọc Anh – Trần Đức Dũng – Tô Văn Hùng - KTTT1B
31 Định luật này nói rõ rằng mỗi điểm của sóng tới có thể là nguồn gốc của chùm sóng cầu. Tất cả các sóng chồng lên mặt phẳng hình ảnh để hình thành một hình ảnh của sóng phẳng đến. Độ dài của đương nối từđiểm x’ trên khe hở của hình ảnh tới điểm hội tụ và tới một điểm trên trục hoành x tại trục hình ảnh cho tương ứng bởi công thức:
Sự chện lệch giữa hai đường dưới điều kiện x<<f, ví dụ, khi bỏ qua các phần tử bậc hai của x và y:
Sự chênh lệc giữa hai đường dẫn đến sự chênh lệch về pha cho sóng có bước sóng λ:
Giả thiết rằng ψ’(x’) là sựphân chia biên độ của bước sóng trước trục khẩu độ. Chú ý rằng đây là một phương pháp tiếp cận tổng quát hơn so với chỉ sử dụng một hộp chức năng đơn giản cho điểm dừng khẩu độ. Chúng tôi muốn giải quyết tổng quát hơn trường hợp sai khác biên độ sóng tới hay bất kỳ loại chức năng khẩu độ nào. Nếu chúng ta sử dụng giá trị phức tạp ψ’(x’), nó củng có thể bao gồm các ảnh hưởng dẫn đến dịch pha trong khẩu độ.
Do đó, sự đặt lên trên cùng của tất cả các sóng hình cầu ψ’(x’) tại mặt phẳng ảnh với độ dịch pha như công thức (48):
và (46)
(47)
(48)
Nguyễn Ngọc Anh – Trần Đức Dũng – Tô Văn Hùng - KTTT1B
32
Công thức này có nghĩa là sự phân phối biên độ và pha ψ(x) tại mặt phẳng tiêu cự chỉ đơn giản là biến đổi Fourier 2 chiều của hàm biên độ và pha ψ’(x’) tại mặt phẳng khẩu độ.
Đối với một độ mở ống kính tròn , phân phối biên độđược cho bởi:
Trong đó r là bán kính khẩu độ. Biến đổi Fourier của công thức (7.50) được đưa ra bởi hàm Bessel của bậc đầu tiên (≻R4):
Bức xạ E trên mặt phẳng ảnh được cho bởi bình phương biên độ:
Hình ảnh nhiễu xạ có vị trí trung tâm chứa 83,9% năng lượng và vòng bao vây
với cường độ giảm (Hình 15a). Khoảng cách từ trung tâm của đĩa tới vòng tối đầu
tiên:
Ở khoảng cách này, hai điểm có thể được tách ra rõ ràng (Hình 15b). Đây là độ dài tiêu chuẩn cho độ phân giải của một hệ thống quang học. Độ phân giải của một hệ thống quang học có thểđược hiểu là độ phân giải góc của sóng phẳng tới và độ phân giải không gian của mặt phẳng ảnh. Lấy độ dài tiêu chuẩn ở công thức (53), độ phân giải góc ∆θ0 = ∆x/f được cho là:
(50)
(51)
(52)
(53)
Nguyễn Ngọc Anh – Trần Đức Dũng – Tô Văn Hùng - KTTT1B
33
Như vậy, độ phân giải góc không phụ thuộc ở tất cả các chiều dài tiêu cựnhưng chỉ có khẩu độ của hệ thống quang học liên quan đến bước sóng của bức xạđiện từ . Ngược lại với độ phân giải góc, độ phân giải không gian Δx tại mặt phẳng hình ảnh theo công thức (53) chỉ phụ thuộc mối quan hệ của bán kính của ống kính khẩu độ với khoảng cách f của hình ảnh của đối tượng từđiểm chính.
Hình 15. (a) Bức xạ E(x) của hình ảnh nhiễu xạ“đĩa Airy” tại mặt phẳng tiêu cự
của một hệ thống quang học với khẩu độ chiếu sáng tròn theo phương trình (52)
(b) Minh họa các độ phân giải hình ảnh của 2 điểm ở khoảng cách x/(nf. )= 1.22
Thay vì số f, ta có thể sử dụng trong công thức (53) số khẩu độ được định nghĩa là:
Ta giả định rằng chỉ số khúc xạ phía hình ảnh n có thể khác 1. Dưới đây θ0 là góc mở của hình nón ánh sáng truyền từ trung tâm mặt phẳng hình ảnh thông qua các khẩu độống kính . Do đó:
(55)
Nguyễn Ngọc Anh – Trần Đức Dũng – Tô Văn Hùng - KTTT1B
34
Có thể thấy, độ phân giải tuyệt đối tại mặt phẳng hình ảnh một lần nữa không phụ thuộc vào chiều dài tiêu cự của hệ thống mà chỉ có khẩu độ số của hình ảnh nón. Khi ánh sáng có thểđược đảo ngược, những lập luận tương tự áp dụng cho các mặt phẳng đối tượng .
Độ phân giải không gian ở mặt phẳng đối tượng chỉ phụ thuộc vào khẩu độ của hình nón đối tượng, ví dụ, góc mở của hình nón đi vào thấu kính độ mở ống kính :
Những mối quan hệđơn giản là hữu ích để đánh giá hiệu suất của hệ thống quan. Do khẩu độ số của các hệ thống quang học tối đa khoảng bằng một ,không có cấu trúc nhỏhơn khoảng một nửa bước sóng có thểđược giải quyết.