VI. NGUYÊN LÍ HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH CỦA TẠO ẢNH
6.2 Hàm truyền đạt quang học
Phép chập với PSF trong miền không gian là một quá trình khá phức tạp. Tuy nhiên trong không gian Fourier, nó được biểu diễn như là phép nhân của những số phức. Đặc biệt, phép chập của vật thể 3D ( ) với PSF ℎ ( ) tương ứng trong không gian Fourier tới một phép nhân các đối tượng được biến đổi Fourier ( )
với PSF biến đổi Fourier, hàm truyền quang hay ℎ ( ). Trong phần này, chúng ta xem xét hàm truyền quang trong không gian đối tượng, nghĩa là chúng ta chiếu đối tượng được chụp trở lại không gian đối tượng. Do đó, sự tạo thành hình ảnh có thể được mô tả bởi :
Sự phù hợp này có nghĩa là chúng ta có thể mô tả hình ảnh quang với hoặc là
chức năng trải điểm hoặc là chức năng chuyển đổi quang. Cả hai sự mô tảnày đều
phức tạp. Cũng như các PSF, OTF có một ý nghĩa minh họa. Cũng như biến đổi Fourier phân tích một đối tượng thành một cấu trúc tuần hoàn, OTF chỉ cho chúng ta cách mà quá trình hình ảnh quang học thay đổi các cấu trúc tuần hoàn đó. Một OTF của một bước sóng đặc biệt nghĩa là cấu trúc tuần hoàn này không bị ảnh hưởng chút nào. Nếu OTF = 0, nó biến mất một cách phức tạp. Với giá trị trong khoảng 0 đến 1, nó bị suy yếu tương ứng. Khi OTF là một số phức nói chung, không những biên độ của cấu trúc tuần hoàn có thể bị thay đổi mà pha của nó cũng bịthay đổi. Việc tính toán trực tiếp thì rất khó.
Ở đây, một vài đặc tính của biến đổi Fourier được sử dụng, đặc biệt, đặc tính
tuyến tính và phân chia, để phân tích PSF thành hàm phù hợp dễ biến đổi. Hai khả
Miền không gian Miền Fourier
Ảnh của vật Tạo ảnh Vật thể
Nguyễn Ngọc Anh – Trần Đức Dũng – Tô Văn Hùng - KTTT1B
28
năng được giới thiệu. Chúng cũng là bài học chung chung hơn, do chúng minh họa
một sốđặc trưng quan trọng của biến đổi Fourier.
Phương pháp đầu tiên để tính OTF phân tích PSF thành một bó các đường δ giao nhau tại gốc của hệ tọa độ. Chúng được phân chia ngang nhau trong mặt cắt của hình nón đôi. Ta xem mỗi đường δ là một tia sáng. Không phải tính toán sâu hơn, chúng ta biết rằng, sự phân tích này cho ta giảm bậ hai chính xác trong PSF, bởi vì cùng một sốlượng đường δ cắt một vùng giảm... Biến đổi Fourier của một đường là một đương δ vuông góc với đường đó (≻R5). Do đó, OTF bao gồm một bó các đường chình δ. Chúng cắt đường k1 k2 tại đường đi qua gốc của không gian k dưới một góc α. Khi biến đổi Fourier giữ đối xứng xoay, OTF cũng đỗi xứng tròn qua trục k3 . OTF lấp đầy không gian Fourier trừ hình nón đôi với một gõ là π/2−α. Trong phần này OTF = 0. Giá trị chính xác của OTF trong phần không phải là 0 thì
rất khó đạt được với phương pháp phân tích này. Chúng ta nghĩ ra được cách tiếp
cận khác, dựa vào đặc tính phân chia của biến đổi Fourier. Chúng ta nghĩ về hình nón đôi như là các lớp của các đĩa có bán kính thay đổi tăng dần |x3| . Bước đầu tiên, ta trình bày biến đổi Fourier trên hai trục chính x1, x2. Sự biến đổi này sinh ra một hàm với 2 tọa độ trong không gian k và một trong không gian x, (k1,k2,x3), tương ứng ( q, ,z) trong hệ tọa độ trụ. Do phương trình PSF (40) chỉ phụ thuộc vào r (đối xứng tròn quanh trục z). Biến đổi Fourier hai chiều tương ứng với biến đổi Hankel 0 một chiều:
Biến đổi Fourier của đĩa do đó cho kết quả là một hàm bao gồm các hàm Bessel J1 (≻R5).
Nguyễn Ngọc Anh – Trần Đức Dũng – Tô Văn Hùng - KTTT1B
29
Bước thứ hai, thực hiện khử một chiều biến đổi Fourier theo hướng z. Phương trình (42) chỉ ra rằng ℎ(q,z) cũng là một hàm Besel theo hướng z. Khi đó, biến đổi Fourier là một chiều. Vì vậy ta có một hàm đường tròn (≻R5):
Nếu cuối cùng ta ấn định biến đổi Fourier mở rộng(≻R4):
Ta thu được:
Phần mở rộng của OTF là 0. điều này có nghĩa là cấu trúc không gian đó với
hướng tương ứng và bước song biến mất một cách phức tạp. Đặc biệt, đây là hoàn
cảnh cho tất cả các cấu trúc trong hướng z, nghĩa là, vuông gõ với đường chính của ảnh. Ví dụ, ta có thể phân tích những điểm hoặc đường thẳng nằm trên các điểm
hoặc đường khác. Ta có thể giải thích điều này trong không gian x cũng như trong
không gian k. PSF làm mờ điểm và đường, nhưng chúng vẫn có thể bị nhận ra nếu chúng không quá gần điểm khác.
Điểm hoặc đường được mở rộng đối tượng trong không gian Fourier, nghĩa là, hằng số hoặc mức, như mở rộng đối tượng từng phần trùng với phần không phải là 0 của OTF và do đó sẽ không biến mất hoàn toàn. Cấu trúc tuần hoàn phụ thuộc góc α tới trục chính k1 k2 tương ứng với góc mở của ống kính., không được loại trừ nhờ OTF. Bằng trực giác, ta có thể nói rằng, chúng ta có thể nhận ra tất cả các cấu trúc 3D mà ta có thể nhìn thấy. Tất cả những gì chúng ta cần là ít nhất một tia vuông góc với số sóng của cấu trúc, và do đó, chạy trên hướng của giá trị hằng.
(43)
Nếu
Sau đó
(44)
Nguyễn Ngọc Anh – Trần Đức Dũng – Tô Văn Hùng - KTTT1B
30