Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán về bất phương
3.1 Bài toán"Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm duy nhất"
có nghiệm duy nhất"
Bài toán: Cho bất phương trình ( hệ bất phương trình ) có ẩn số x, y,...thuộc miền Dx, Dy,... tham số là m thuộc miền Dm. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ( hệ phương trình) có nghiệm duy nhất.
Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần dựa vào tính đối xứng của biểu thức có mặt trong bài toán.
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất
p
x2 −2m 6 mx2 (1) Lời giải
Ta thấy hàm số y = x2 là một hàm chẵn nên các biểu thức chứa ẩn x của bất phương trình đều là hàm chẵn.
1. Điều kiện cần
Giả sử (1) có nghiệm x = x0. Từ đó x = −x0 cũng là nghiệm của (1). Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = −x0 ⇔ x0 = 0.
Thay x0 = 0 vào (1), ta được: √
−2m 60
Đó chính là điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm duy nhất. 2. Điều kiện đủ
Với m = 0, khi đó (1) có dạng: √
x2 6 0 ⇔ x = 0 là nghiệm duy nhất của bất phương trình.
Vậy với m = 0 bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm duy nhất mà các biểu thức chứa ẩn đều là hàm chẵn thì ta sử dụng định nghĩa của hàm chẵn. Từ đó tìm được điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
(
x2 + (y+ 1)2 6 m (1) (x+ 1)2 +y2 6 m (2)
Lời giải
Ta thấy hệ trên là hệ bất phương trình đối xứng loại 2 ( khi ta thay đồng thời x và y cho nhau thì hệ bất phương trình không đổi )
1. Điều kiện cần
Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0). Vì (x0, y0) là nghiệm của hệ, nên (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ. Do tính duy nhất của nghiệm suy ra nghiệm duy nhất ( nếu có) có dạng (x0, x0). Mặt khác x0 lại là nghiệm của bất phương trình.
x02 + (x0 + 1)2 6 m
hay 2x02 + 2x0 + 1−m 60 (3) Rõ ràng (3) cần phải có nghiệm duy nhất, tức là ∆0 = 0
⇒ 2m −1 = 0 ⇒m = 1 2 .
Vậy điều kiện cần để hệ (1) (2) có nghiệm duy nhất là m = 1 2. 2. Điều kiện đủ Khi m = 1 2 thì hệ (1) (2) có dạng x2 + (y+ 1)2 6 1 2 (3) (x+ 1)2 +y2 6 1 2 (4)
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu
Rõ là mọi nghiệm của (3) (4) đều là nghiệm của bất phương trình.
x2 + (x+ 1)2 + (y + 1)2 +y2 −16 0 hay 2x2 + 2x+ 1 2 + 2y 2 + 2y + 1 2 6 0 hay (√ 2x+ √ 2 2 ) 2 + (√ 2y + √ 2 2 ) 2 60 (5)
Nhưng (5) có nghiệm duy nhất x0 = y0 = − √
2
2 . Mặt khác (x0, y0) cũng thỏa mãn hệ (3) (4), tức là hệ (3) (4) có nghiệm duy nhất.
Vậy hệ (1) (2) có nghiệm duy nhất khi m = 1 2.
Nhận xét: Đối với những bài toán mà hệ cho ở dạng đối xứng thì ta chú ý đến tính đối xứng nghiệm của hệ phương trình đối xứng để từ đó tìm ra điều kiện cần. Hệ đối xứng nếu có nghiệm (x0, y0) thì cũng có nghiệm (y0, x0).
Ví dụ 3: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
(
y >(x+ y)2 −x−2y +m x >(y−x)2 −3y + 2x+ m
Lời giải
Nhận xét: Viết lại hệ dưới dạng tương đương sau:
(
x2 +y2 + 2xy −x−3y+ m 6 0 (1)
x2 +y2 −2xy +x−3y+ m 6 0 (2)
Ta thấy hệ tương đương trên sẽ không thay đổi nếu ta thay x = −x
hay hệ bất phương trình trên có tính đối xứng giữa x và -x. 1. Điều kiện cần
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0, y0). Vì (x0, y0) là nghiệm của hệ, nên (−x0, y0) cũng là nghiệm của hệ. Do tính duy nhất suy ra x0 = −x0
hay x0 = 0.
Thay lại vào hệ đã cho ta đi đến bất phương trình
y02 −3y0 +m 6 0 (3)
Vì hệ (1) (2) có nghiệm duy nhất ⇒ (3) có nghiệm duy nhất
⇒ m = 9 4 Vậy m = 9
4 là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. 2. Điều kiện đủ Khi m = 9 4, thì (1)(2) ⇔ x2 +y2 + 2xy −x−3y + 9 4 6 0 (4) x2 +y2 −2xy+x−3y + 9 4 6 0 (5) Cộng vế với vế của (4), (5) ta có x2 +y2 −3y + 9 4 6 0 (6)
Như thế mọi nghiệm của của hệ (4)(5) đều là nghiệm của (6). Mặt khác
(6) ⇔x2 + (y − 3
2) 2
60 (7)
Ta thấy (7) có nghiệm duy nhất x = 0, y = 3
2. Vậy hệ (4)(5) có nghiệm duy nhất.
Thay vào hệ (4)(5) ta thấy x = 0, y = 3
2 thỏa mãn ⇒ hệ (4)(5) có nghiệm duy nhất khi m = 9
4. Vậy m = 9
4 là giá trị cần tìm để hệ (1)(2) có nghiệm duy nhất.
Chú ý: Bài toán trên không phải dạng đối xứng nhưng ta thấy có sự đối xứng giữa x và -x. Do đó việc giải quyết vấn đề sẽ trở nên đơn giản.
Ví dụ 4: Tìm a để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
(√ x+ 1 +√ y 6a √ y + 1 +√ x 6a Lời giải
Nhận xét: Điều kiện bài toán có nghĩa: x, y > 0. Từ đó ta có thể đánh giá được: (√ x+ 1 +√ y >1 √ y + 1 +√ x >1
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu
Vậy ta có điều kiện cần để bài toán có nghiệm duy nhất. Điều kiện x, y > 0 1. Điều kiện cần Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) ⇒x0, y0 > 0 từ đó: (√ x0 + 1 +√ y0 > 1 √ y0 + 1 +√ x0 > 1
⇒ Nếu a < 1 thì hệ vô nghiệm.
Vậy a >1 là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. 2. Điều kiện đủ +) Với a = 1, hệ có dạng: (√ x+ 1 +√ y 6 1 √ y + 1 +√ x6 1
⇔x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ.
+) Với a >1, xét các cặp nghiệm của hệ có x = 0 Khi đó hệ có dạng: (√ y 6a−1 √ y+ 1 6 a ⇔ ( y 6 (a−1)2 y 6 a2 −1 ⇔0 6y 6 min {(a−1)2, a2 −1} ⇒ Có vô số giá trị y thỏa mãn
⇒ Hệ không có nghiệm duy nhất.
Vậy với a = 1 hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0
Chú ý: Với bài toán tìm điều kiện duy nhất của tham số để bài toán có nghiệm duy nhất ta cũng có thể dùng phương pháp đánh giá để tìm điều kiện cần.
Với cách lập luận tương tự như trên ta có thể giải được bài toán với yêu cầu:" Tìm m để hệ bất phương trình trên có nghiệm" khi đó điều kiện là a > 1.
3.2 Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toáncó nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước" có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước" Bài toán: Cho bất phương trình ( hệ bất phương trình ) có ẩn số x, y,...thuộc miền Dx, Dy,... tham số là m,n thuộc miền Dm, Dn. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình ( hệ bất phương trình) có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước.
Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần bằng cách sử dụng điểm thuận lợi.
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x thuộc [-4,6]
p
(4 +x)(6−x) 6 x2 −2x+m (1) Lời giải
1. Điều kiện cần
Giả sử (1) có nghiệm ∀x ∈ [−4,6] thì x = 1 là nghiệm của (1), khi đó ta có:
m−1> 5⇒ m > 6.
Đó là điều kiện cần để bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ [−4,6]. 2. Điều kiện đủ
Giả sử m > 6, khi đó theo bất đẳng thức Côsi ta có với ∀x ∈ [−4,6]
p (4 +x)(6−x) ≤ (4 +x) + (6−x) 2 = 5 Mặt khác x2 −2x+ m = (x−1)2 +m−1 > 5 ( do m > 6). Vậy ∀x ∈ [−4,6] ta luôn có: p (4 +x)(6−x) 6 x2 −2x+m
Vậy với m > 6 thì bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ [−4,6].
Nhận xét: Bài toán trên ta lựa chọn điểm thuận lợi là x = 1, là điểm giữa của [-4,6]. Với [-4,6] là miền xác định của bài toán.
Ví dụ 2: Tìm a, b để bất phương trình sau đúng với (∀x ∈ R )
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu
Lời giải 1. Điều kiện cần
Giả sử (1) đúng với mọi x ∈ R
Lấy x = 0, ta có | a+b |≤ 1 ⇒ −1 6a+b 6 1 (2) Lấy x = π 2, ta có | b−2 |≤1 ⇒1 6 b 63 (3) Lấy x = π, ta có | b−a |≤1 ⇒ −1 6b−a 61 (4) Cộng từng vế (2) (4) ⇒b 6 1 (5) Từ (3) và (5) ⇒b = 1 Thay b = 1 vào (2) có a 6 0.
Thay b = 1 vào (4) có a > 0. Vậy a = 0.
Như vậy điều kiện cần để (1) đúng (∀x ∈ R ) là a = 0, b = 1. 2. Điều kiện đủ
Khi a = 0, b = 1 ta có:
(1)⇔| cos2x |6 1 (6) Rõ ràng (6) đúng (∀x ∈ R ).
Tóm lại để (1) đúng (∀x ∈ R ), điều kiện cần và đủ là a = 0, b = 1. Nhận xét: Khi bất phương trình có nghiệm đúng (∀x ∈ R ) thì nó cũng đúng với một số điểm đặc biệt trên tập xác định của bất phương trình. Từ đó ta chọn một số điểm thay vào tìm được điều kiện cần của bài toán.
Ví dụ 3: Tìm a, b, c để bất phương trình sau đúng (∀x ∈ R ) thỏa mãn | x |6 1
| 4x3 +ax2 +bx+c |6 1 Lời giải
1. Điều kiện cần
Từ đó ta cũng có | −4x3 +ax2 −bx+ c |61 với ∀x ∈ [−1; 1] Ta có: 4x3 + bx = 1 2[(4x 3 + ax2 + bx+ c) −(−4x3 + ax2 −bx + c)] nên với ∀x ∈ [−1; 1] thì | 4x3 +bx |6 1 2(| 4x3 +ax2 +bx+c | + | −4x3 + ax2 −bx+c |) 6 1 ⇒| 4x3 +bx |61 (1) với ∀x ∈ [−1; 1]. Trong (1) thay x = 1, ta có | 4 +b |6 1⇒ 4 +b 6 1⇒ b 6 −3. Trong (1) thay x = 1 2 ta có | 1 2 + b 2 |6 1⇒ b+ 1 2 >−1 ⇒b > −3. Vậy điều kiện cần là b = −3.
Từ đó ta có | 4x3 +ax2 −3x+c |6 1 (2) với ∀x ∈ [−1; 1] Trong (2) thay x = 1⇒| 4 +a−3 +c |6 1 ⇒a+c 6 0 x = −1⇒| −4 +a+ 3 +c |6 1 ⇒a+c > 0 ⇒a+c = 0 (∗) Thay x = 1 2 ⇒| 1 2 + a 4 − 3 2 + c |61 ⇒ a 4 +c 6 0 x = −1 2 ⇒| −1 2 + a 4 + 3 2 +c |61 ⇒ a 4 +c > 0 ⇒ a 4 +c = 0 (∗∗) Từ (*) và (**) ⇒ a = c = 0.
Vậy điều kiện cần là b = −3 và a = c = 0. 2. Điều kiện đủ
Khi b = −3 và a = c = 0 thì
4x3 +ax2 +bx+ c = 4x3 −3x
.
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu
4x3 +ax2 + bx+c = 4cos3α−3cosα = cos3α
⇒| 4x3 −3x |61 với ∀x ∈ [−1; 1].
Vậy điều kiện cần và đủ để bất phương trình
| 4x3 + ax2 +bx + c |6 1 đúng với ∀x ∈ [−1; 1] là a = c = 0 và
b= −3.
Nhận xét: Khi bất phương trình có nghiệm đúng (∀x ∈ R ) thì nó cũng đúng với một số điểm đặc biệt trên tập xác định của bất phương trình. Bài này ta chọn một số điểm thuận lợi là: x = 1, x = −1, x = 1
2,x = −1
2 . Từ đó việc giải quyết bài toán trở lên đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 4: Tìm a, b để bất phương trình sau đúng (∀x ∈ R )
cos3x+acos2x+bcosx+ 1 > 0 (1) Lời giải
1. Điều kiện cần
Giả sử (1) đúng với mọi x, thì (1) cũng đúng với x = π và x = π 3. Thay x = π vào (1), ta có a−b> 0 (2)
Thay x = π
3 vào (1), ta có b−a > 0 (3)
Từ (2) và (3) suy ra a = b. Vậy điều kiện cần để bất phương trình (1) đúng (∀x ∈ R ) là a = b.
2. Điều kiện đủ
Giả sử a = b. Khi đó (1) trở thành
cos3x+ a(cos2x+cosx) + 1> 0
⇔ cos3x 2 (cos 3x 2 +acos x 2) > 0 (4) Đặt t = cosx
2, như vậy từ (4) suy ra ta phải tìm a sao cho ∀ | t |6 1 : (4t3 −3t)(4t3 −3t+ at) >0, tức là
t2(t2 − 3
4)(t
2 − 3−a
4 ) > 0 (5) với | t |6 1. Rõ ràng điều đó hiển nhiên đúng khi a = 0
+) Với a > 0 Chọn t1 từ bất đẳng thức 3−a 4 < t1 2 < 3 4 (6)
Rõ ràng có tồn tạit1 6= 0 thỏa mãn (6) ( và khi đó hiển nhiên| t1 |< 1). Ứng với giá trị đó của t1, thì từ (6) suy ra
t12(t12 − 3
4)(t1
2 − 3−a
4 ) < 0 .
Vậy a > 0 không phải giá trị cần tìm. +) Với a < 0
Hiển nhiên hệ bất phương trình
| t|≤ 1 3 4 < t 2 < 3−a 4
cho ta nghiệm t2 6= 0. Ứng với giá trị t2 đó, ta có
t22(t22 − 3
4)(t2
2 − 3−a
4 ) < 0 Vậy a < 0 cũng không phải giá trị cần tìm. Như vậy để (1) đúng với ∀x ∈ R, thì a = b = 0.
Nhận xét: Ta chọn một số điểm đặc biệt thay vào bất phương trình từ đó tìm được điều kiện cần của bài toán.
Ví dụ 5: Cho hệ bất phương trình
(
x2 + (m+ 4)x+ 4m 6 y (1) 3x+y −(2m + 4) 60 (2)
Tìm m để tập hợp nghiệm của hệ trên chứa đoạn [-2; -1] của trục hoành.
Lời giải 1. Điều kiện cần
Giả sử tập hợp nghiệm của hệ (1) (2) chứa đoạn [-2; -1] của trục hoành. Như vậy hệ (1)(2) nhận (x = −2, y = 0) và (x = −1, y = 0) là nghiệm, tức là ta có +) Nếu (-2,0) là nghiệm, thì ( 4−2m −8 + 4m 60 −6−2m−46 0 ⇔ ( m 6 2 m > −5 ⇔ −56 m 62
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu +) Nếu (-1,0) là nghiệm, thì ( 1−m−4 + 4m 6 0 −3−2m−46 0 ⇔ m 61 m >−7 2 ⇔ −7 2 6 m 61. Kết hợp hai trường hợp trên suy ra −7
2 6 m 6 1. Đó chính là điều kiện cần để hệ nhận đoạn [-2, -1] trên trục hoành là nghiệm.
2. Điều kiện đủ Giả sử −7
2 6 m 61.
Xét một điểm bất kì (β,0) ( trong đó −2 6β 6 −1) của trục hoành. Thay x = β, y = 0 vào vế trái của (1) ta có:
VT = β2 + (m+ 4)β + 4m = (β +m)(β + 4) Do m 61;β 6 1
⇒β +m < 0
Do β > −2⇒ β + 4> 0⇒ (β +m)(β + 4) < 0 Điều đó chứng tỏ rằng (β,0) là nghiệm của (1). Thay x = β, y = 0 vào vế trái của (2) ta có
V T = 3β−(2m+ 4) Ta có 3β 6 −3 (do β 6−1)
2m+ 4 > −3 (do m > −7
2) ⇒3β −(2m+ 4) 6 0 Điều đó chứng tỏ (β,0) là nghiệm của (2).
Vậy (β,0) là nghiệm của hệ (1) (2) với β mà −2 6 β 6−1 tức là toàn đoạn [-2, -1] của trục hoành nằm trong tập hợp nghiệm của hệ (1)(2).
Như thế −7
2 6 m 6 1 là điều kiện cần và đủ để tập hợp nghiệm của hệ (1) (2) chứa đoạn [-2; -1] của trục hoành.
Nhận xét: Tập hợp nghiệm của hệ trên chứa đoạn [-2; -1] của trục hoành tức là hệ bất phương trình đúng với x = −2 và x = −1. Như vậy hệ (1)(2) nhận (x = −2, y = 0) và (x = −1, y = 0) là nghiệm.
Bài toán trên ta đã chọn hai điểm thuận lợi là (x = −2, y = 0) và (x = −1, y = 0) có hoành độ là đầu mút đoạn [-2; -1] theo yêu cầu của bài từ đó ta tìm được điều kiện cần.
Ví dụ 6: Tìm m để hệ sau vô nghiệm
(
(m−x2)(m+x−2)< 0
x2 6 1 Lời giải Hệ đã cho vô nghiệm
⇔f(x) = (m−x2)(m+ x−2) >0, ∀x :| x |6 1 (1).
Ta đưa bài toán trên về bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với giá trị của một tham số. Bất phương trình trên đúng
∀x :| x |6 1 thì cũng đúng với x = −1, x = 0, x = 1. 1. Điều kiện cần
Giả sử f(x) >0,∀x :| x |6 1; như vậy ta có:
f(−1)> 0 f(0) >0 f(1) >0 ⇔ (m−1)(m−3)> 0 m(m−2)> 0 (m−1)(m−1)> 0 ⇔ m 60 hoặc m > 3
Vậy đó là điều kiện cần để f(x) > 0,∀x :| x |6 1. 2. Điều kiện đủ +) Nếu m 60. Khi đó m−x2 60 (∀x :| x |≤ 1) Do −1 6x 6 1⇒ m+x−26 −1 ⇒(m −x2)(m+x−2) > 0,∀x :| x |6 1 ⇒m ≤ 0 thỏa mãn (1). +) Nếu m ≥3 Do | x |≤ 1⇒ m−x2 >2. Lại có m+x−2> 0 (do x > −1) ⇒(m −x2)(m+x−2) > 0 ∀x :| x |6 1⇒ m ≥ 3 thỏa mãn (1). Vậy m 6 0 hoặc m > 3 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Với nhiều bài toán việc giải trực tiếp không đơn giản ta có thể biến đổi đưa về những dạng bài mà đã biết cách giải như vậy việc giải quyết bài toán sẽ dễ dàng hơn rất nhiều so với việc giải bài toán ban đầu.
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu
3.3 Một số bài toán khác
Ví dụ 1: Tìm m sao cho phương trình
| x−m | − | x+ 1 |= 2 (1) tương đương với bất phương trình
p
x2 + 4x+ 3 > −1−x (2) Lời giải
Ta nhận thấy, bất phương trình (2) có thể giải được tìm tập nghiệm. Khi đó, để (1) và (2) tương đương với nhau thì tập nghiệm của (1) phải chứa tập nghiệm của (2). Bài tập trên chuyển thành bài toán tìm m để phương trình (1) có nghiệm với ∀x thuộc tập nghiệm của (2). Bài toán này ta đã biết cách giải.
Giải (2).
(2) tương đương với một trong hai hệ bất phương trình sau:
( x2 + 4x+ 3 ≥ 0 −1−x < 0 hoặc ( −1−x ≥0 x2 + 4x+ 3≥ (−1−x)2 ⇔x ≥ −1 1.Điều kiện cần
Giả sử (1) và (2) tương đương ⇒x = −1 là nghiệm của (1), tức là
| m+ 1 |= 2 ⇒m = 1 hoặc m = −3
Vậy m = 1 hoặc m = −3 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương. 2. Điều kiện đủ
+) Với m = 1, thì (1) có dạng
| x−1| − | x+ 1 |= 2 (3)
Rõ ràng x = 0 không phải là nghiệm của (3), nhưng x = 0 là nghiệm của phương trình vô tỷ đã cho ⇒m = 1 không thỏa mãn.
+) Với m = −3, thì (1) có dạng
⇔| x+ 3 | − |x+ 1 |= (x+ 3)−(x+ 1) (4)