có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước" Bài toán: Cho phương trình ( hệ phương trình ) có ẩn số x, y,...thuộc miền Dx, Dy,... tham số là m,n thuộc miền Dm, Dn. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ( hệ phương trình) có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước.
Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần bằng cách sử dụng điểm thuận lợi.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ≥ 0
p
x2 + 2x−m2 + 2m+ 4 = x+m−2 (1) Lời giải
1. Điều kiện cần
Giả sử (1) có nghiệm ∀x > 0⇒ x = 0 là nghiệm của (1). Khi đó (1) ⇔√−m2 + 2m+ 4 = m −2 ⇔ ( m−2> 0 −m2 + 2m+ 4 = (m−2)2 ⇔m = 3
Đó chính là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng ∀x >0. 2. Điều kiện đủ Với m = 3, khi đó (1) có dạng x >0 p x2 + 2x+ 1 = x+ 1 ⇔ x+ 1 = x+ 1 ⇔ 0 = 0; đúng với ∀x ∈ R
Vậy với m = 3, phương trình nghiệm đúng ∀x >0.
Nhận xét:Việc lựa chọn điểm thuận lợi trong mỗi bài toán khác nhau là khác nhau.Ta không thể đưa ra một cách tìm điểm thuận lợi chung cho tất cả các bài toán. Với bài toán trên ta chọn điểm thuận lợi là x = 0, là điểm đầu mút của (0; +∞).
Ví dụ 2: Tìm a,b để phương trình sau nghiệm đúng với ∀x ∈ R apx2 + 1−px2 + bx+ 1 = 0 (1)
Lời giải 1. Điều kiện cần
Giả sử (1) có nghiệm ∀x ∈ R ⇒x = 0 là nghiệm của (1). Khi đó: (1) ⇔a−1 = 0 ⇔a = 1 Với a = 1 thì: (1) ⇔√x2 + 1 = √ x2 +bx+ 1 ⇔ x2 + 1 = x2 +bx+ 1 ⇔ bx = 0 ⇔ b = 0
Vậy a = 1 và b = 0 là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với
∀x ∈ R.
2. Điều kiện đủ
Với a = 1 và b= 0 khi đó (1) có dạng:
√
x2 + 1−√x2 + 1 = 0 ⇔ 0 = 0. Đúng ∀x ∈ R.
Vậy với a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R.
Nhận xét: Với bài toán nhiều hơn một tham số ta sẽ thấy tầm quan trọng của việc lựa chọn điểm thuận lợi cùng với việc xác định các giá trị tham số được thực hiện tuần tự. Ở bài trên ta chọn điểm thuận lợi là
x= 0, là điểm giữa của khoảng (−∞; +∞).
Ví dụ 3: Tìm a,b để phương trình sau đúng (∀x ∈ R)
a(cosx−1) +b2 = cos(ax+ b2)−1 (1) Lời giải
1. Điều kiện cần
Giả sử phương trình đúng ∀x ∈ R thì phương trình đúng với x = 0, tức là có
1 +b2 = cosb2
do 1 +b2 >1, cosb2 6 1⇒ 1 +b2 = cosb2 = 1 ⇒b = 0 Lúc đó phương trình trở thành
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu
Rõ ràng (2) đúng ∀x ∈ R khi a = 0.
Vậy ta chỉ cần xét khi a 6= 0. Do (2) đúng (∀x ∈ R ) nên đúng khi
x= 2π, khi ấy có
cos2aπ = 1 ⇒ 2aπ = 2kπ.
Do a 6= 0 ⇒ a = k (3) Trong (2) thay x = 2π a ( do a 6= 0 ) ta có a(cos2π a −1) = 0 ⇒cos2πa = 1 ⇒ 2π a = 2mπ a = 1 m (4) Từ (3) và (4) và chú ý k và m là nguyên, nên a = ±1.
Vậy b = 0 và ( a = 0 hoặc a = ±1 ) là điều kiện cần để (1) đúng
∀x ∈ R .
2. Điều kiện đủ Xét 3 trường hợp sau
+) Nếu a = b= 0 thì (1) hiển nhiên đúng (∀x ∈ R ) +) Nếu a = 1;b = 0 thì (1) thành
cosx−1 = cosx−1 Vậy rõ ràng thỏa mãn (∀x ∈ R ).
+) Nếu a = −1;b = 0 thì (1) thành
−cosx+ 1 = cosx−1⇔ cosx = 1 (5)
Rõ ràng (5) không thể đúng (∀x ∈ R ) vậy a = −1;b = 0 không thỏa mãn.
Tóm lại b = 0 và a = 0; a = 1 và b = 0 là điều kiện cần và đủ để (1) đúng (∀x ∈ R ).
Nhận xét: Việc lựa chọn điểm thuận lợi tùy thuộc vào đặc điểm, yêu cầu của từng bài toán như bài toán trên ta chọn x = 0 là điểm chính giữa của khoảng (−∞,+∞). Từ đó việc giải quyết bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn.
Ví dụ 4: Tìm a để hệ sau có nghiệm với mọi b ∈ R
(
(x2 + 1)a+ (b2 + 1)y = 2
Lời giải 1. Điều kiện cần
Giả sử hệ đã cho có nghiệm với ∀b ∈ R. Như vậy hệ có nghiệm khi
b= 0, tức là hệ sau có nghiệm.
(
(x2 + 1)a = 1 (1)
a+ x2y = 1 (2) Hệ (1) (2) tương đương với hai hệ sau
(I) ( a = 0 x2y = 1 (II) ( x2 + 1 = 1 a+x2y = 1
Rõ ràng hệ (I) luôn có nghiệm, còn hệ (II) có nghiệm khi a = 1.
Vậy điều kiện cần để hệ đã cho có nghiệm với ∀b ∈ R là a = 0 hoặc
a = 1. 2. Điều kiện đủ +) Với a = 0 Lúc đó ta có ( (b2 + 1)y = 1 (3) bxy +x2y = 1 (4)
Nếu b 6= 0 ⇒ b2 + 16= 1 nên từ (3) suy ra y = 0. Thay vào (4) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy hệ (3) (4) vô nghiệm khi b 6= 0 ⇒ a = 0 ( loại). +) Với a = 1 Lúc đó ta có ( x2 + (b2 + 1)y = 1 (5) bxy +x2y = 0 (6) Rõ ràng ∀b ∈ R hệ (5) (6) đã nhận x = y = 0 là nghiệm.
Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm ∀b ∈ R. Nhận xét: Dựa vào giả thiết cho và yêu cầu của bài toán mà ta lựa chọn điểm thuận lợi sao cho hợp lí. Bài toán trên yêu cầu ta tìm điều kiện
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ... Nguyễn Thị Thu
của a để hệ có nghiệm với mọi b ( tức là với mọi b ∈ (−∞,+∞)) chính vậy ta thấy với b=0 thì hệ có nghiệm. Vậy ta chọn điểm thuận lợi là b=0 là điểm chính giữa của khoảng (−∞,+∞)
Ví dụ 5: Tìm a để hệ sau có nghiệm với mọi b ∈ R.
(
2bx+ (a+ 1)by2 = a2
(a−1)x3 +y2 = 1 Lời giải 1. Điều kiện cần
Giả sử hệ đã cho có nghiệm với ∀b ∈ R, như vậy hệ có nghiệm b = 0, tức là hệ sau có nghiệm. ( a2 = 1 (a−1)x3 + y2 = 1 ⇒ Điều kiện cần là a = ±1. 2. Điều kiện đủ +) Với a = 1, ta có ( 2bx+ 2by2 = 1 y2 = 1 ⇔ ( y2 = 1 2bx = 1−2b Rõ ràng khi b > 1 2 ( tức là 1−2b < 0), phương trình 2bx = 1−2b vô nghiệm.
Vậy hệ chắc chắn vô nghiệm khi b > 1
2. +) Với a = −1, ta có ( 2bx = 1 (1) −2x3 + y2 = 1 (2) Rõ ràng hệ (1) (2) ∀b ∈ R đều nhận x= 0, y = 1 là nghiệm.
Vậy a = −1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm với ∀b ∈ R. Nhận xét: Bài toán trên ta chọn điểm thuận lợi là b = 0 là điểm giữa của khoảng (−∞,+∞). Khi giải toán ta thường chọn điểm thuận lợi là các điểm đặc biệt thì việc giải sẽ đơn giản hơn rất nhiều.