GRAP TOÁN HỌC THÀNH GRAP DẠY HỌC Mục tiêu
1. Trình bày được nội dung cơ bản của lý thuyết grap và lý thuyết hệ thống và hiểu được đó là những cơ sở khoa học của việc chuyển hoá grap toán học thành grap dạy học.
2. Giải thích được cơ sở tâm lý học và lý luận dạy học của việc áp dụng phương pháp grap trong dạy học nói chung và dạy học sinh học nói riêng. _ 3. Trình bày được quy trình chuyển hoá grap toán học thành grap dạy học.
Nội dung
1. Các bước áp dụng phương pháp grap trong dạy học sinh học. 2. Lý thuyết grap và những ứng dụng của nó trong dạy học. 3. Phương pháp tiếp cận cấu trúc hệ thống và ứng dụng trong việc thiết kế và sử dụng grap.
4. Lý thuyết nhận thức và ứng dụng.
Dựa trên giải pháp tiếp cận chuyển hoá grap toán học thành grap dạy học, qua đó đưa ra những quy trình áp dụng trong dạy học
sinh học. Các bước áp dụng phương pháp grap tiến hành theo trình tự như sau:
HỆ THỐNG PHƯƠNG PHÁP KHOA HỌC
• Phương pháp triết học.
Ví dụ, phương pháp tiếp cận cấu trúc - hệ thống.
• Phương pháp riêng rộng .
Ví dụ, phương pháp Algorit.
• Phương pháp đặc thù, là các phương pháp cụ thể đối với
từng đối tượng.
Trong nhận thức khoa học, có thể phân loại các phương pháp khoa học thành ba nhóm:
Phương pháp triết học ; phương pháp riêng rộng và phương pháp đặc thù. Hệ thống các phương pháp khoa học gắn bó với nhau, thâm nhập vào nhau và sinh thành ra nhau, các phương pháp khoa học có thể chuyển hoá cho nhau để hình thành những nhóm phương pháp mới phù hợp với mục tiêu và nội dung đặc thù của từng hoạt động.
Chiến lược đổi mới và hiện đại hoá phương pháp dạy học. Chuyển hoá các phương pháp khoa học thành phương pháp dạy học, thông qua xử lý sư phạm là một trong những hướng của chiến lược đổi mới và hiện đại hoá phương pháp dạy học.
Lý thuyết Algorit và lý thuyết grap thuộc nhóm các phương pháp riêng rộng.
Theo quy trình trên, những năm cuối thế kỷ XX, trên thế giới đã xuất hiện xu hướng chuyển hoá phương pháp algorit của toán học thành phương pháp dạy học nhiều bộ môn không phải là toán học, nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp tư duy và tự học có hiệu quả.
CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA VIỆC CHUYỂN HOÁ GRAP TOÁN HỌC THÀNH GRAP DẠY HỌC
• Lý thuyết hệ thống.
• Cơ sở tâm lý học sư phạm.
• Cơ sở lý luận dạy học.
Trong dạy học, lý thuyết grap cũng cung cấp một phương pháp khoa học thuộc loại khái quát như phương pháp algorit, nó thuộc nhóm "phương pháp riêng rộng" và đã được một số nhà lý luận dạy học cải biến theo những quy luật tâm lý và lý luận dạy học để sử
dụng vào dạy học với tư cách là một phương pháp dạy học.
Chuyển hoá grap toán học thành grap dạy học dựa trên cơ sở toán học (lý thuyết grap) ; cơ sở triết học (tiếp cận lý thuyết hệ thống) ; cơ sở tâm lý học sư phạm và cơ sở lý luận dạy học.
CƠ SỞ TOÁN HỌC (LÝ THUYẾT GRAP)
Nội dung chính của lý thuyết grap bao gồm các khái niệm, định lý và nguyên tắc của grap toán học thuộc nhiều vấn đề, trong đó có bốn vấn đề cơ bản sau: một số khái niệm về grap có hướng ; các bài toán về đường đi ; khảo sát về cây ; bài toán về con đường ngắn nhất.
NỘI DUNG CHÍNH CỦA LÝ THUYẾT GRAP
• Grap có hướng và vồ hướng.
• Các bài toán về đường đi.
• Khảo Sát về Cây'
• Bài toán về con đường ngắn nhất.
Trong mỗi nội dung trên đều có nhiều khái niệm, định lý đã được chứng minh bằng công thức toán học. Cuốn sách này không đi sâu trình bày về lý thuyết grap toán học, mà chỉ tìm hiểu những tư tưởng cơ bản của lý thuyết grap, từ đó vận dụng vào quá trình dạy học sinh học ở trường phổ thông.
3.1.1. Một số khái niệm cơ bản về grap có hướng
Trong nhiều tình huống, chúng ta thường vẽ những sơ đồ, gồm những điểm biểu thị các đối tượng được xem xét và các đường nối các điểm với nhau tượng trưng cho một quan hệ nào đó giữa các đối tượng - đó chính là các grap.
Định nghĩa của toán học về grap.
Một grap (G) gồm một tập hợp điểm gọi là đỉnh (vertiex) của grap cùng với một tập hợp đoạn thẳng hay đường cong gọi là cạnh (edge) của grap, mỗi cạnh nối hai đỉnh khác nhau và hai đỉnh khác nhau được nối bằng nhiều nhất là một cạnh. . .
Mỗi đỉnh của grap được ký hiệu bằng một chữ cái (A,B,C...) hay chữ số (l,2,3...). Mỗi grap có thể được biểu diễn bằng một hình vẽ trên một mặt phẳng.
Ví dụ, grap trong hình 3.1.
Như vậy, một grap gồm một tập hợp các điểm gọi là đỉnh và một tập hợp đoạn thẳng hay đoạn đường cong gọi là cạnh (cung). Mỗi cạnh nối hai đỉnh khác nhau và hai đỉnh khác nhau được nối bằng nhiều nhất là một cạnh (grap đơn).
Chú ý tới mối quan hệ của các đỉnh.
Xét một đỉnh của grap, số cạnh tới đỉnh đó gọi là bậc (degree) của đỉnh. Các cạnh của grap thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào, đều không phải là điều quan trọng, mà điều cơ bản là grap có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và đỉnh nào được nối với đỉnh nào.
hệ hoặc dạng bảng (ma trận). Một grap có thể có những cách thể hiện khác nhau, nhưng phải chỉ rõ được mối quan hệ giữa các đỉnh.
Ví dụ hình 3.2 là một grap có 4 đỉnh A, B, C, D được biểu diễn bằng hai kiểu khác nhau, nhưng mối quan hệ của các đỉnh không thay đổi.
Dựa vào tính chất này, trong dạy - học chúng ta có thể lập được những grap có cách sắp xếp các đỉnh ở các vị trí khác nhau, nhưng vẫn thể hiện được mối quan hệ của các hình. Trong một grap có thể có đỉnh lại là một grap thì những đỉnh đó gọi là grap con.
Trong hình 3.3. đỉnh C là một grap con vì đỉnh C là một grap có các đỉnh e, g, h.
Ví dụ, tế bào là đơn vị cấu trúc và chức năng của cơ thể sinh vật đa bào, các cấp độ tổ chức trong cơ thể là: tế bào - mô - cơ quan - hệ cơ quan. Nếu lập grap mô tả các cấp độ tổ chức trong cơ thể thì mỗi đơn vị tổ chức trên được coi là một đỉnh của grap. Tuy nhiên, mỗi đỉnh đó lại có thể lập được một grap, ví dụ tế bào gồm: màng, tế bào chất và nhân. Như vậy trong grap về cấu tạo cơ thể, đỉnh "tế bào" là một grap con.
• Grap vô hướng và grap có hướng
Nếu với mỗi cạnh của grap không phân biệt điểm gốc (đầu) với điểm cuối (mút) thì đó là grap vô hướng (Undirected grap). Hình 3.1. là grap vô hướng.
Nếu với mỗi cạnh của grap, ta phân biệt hai đầu, một đầu là gốc còn một đầu là cuối (hình 3.4) thì đó là grap có hướng (Directed graph).
Trong dạy học, người ta thường chỉ quan tâm đến grap có hướng vì grap có hướng cho biết cấu trúc của đối tượng nghiên cứu.
Ví dụ, cấu tạo tế bào gồm có 3 phần chính: màng, tế bào chất và nhân, chúng ta có thể dùng một grap để mô tả cấu trúc của tế bào như hình 3.5. (Mũi tên một chiều chỉ các thành phần cấu tạo ; mũi tên hai chiều chỉ mối quan hệ về mặt cấu trúc của tế bào).
3.1.2. Bài toán về "đường đi" (chu trình)
Trong một grap nếu có một dãy cạnh nối tiếp nhau (hai cạnh nối tiếp là hai cạnh có chung một đầu mút) thì được gọi là đường đi. Ví dụ, cho một grap P trong đó có một dãy các đỉnh c, d,e,f,gvà có các cạnh e1, e2, e3, e4 nối các đỉnh đó để tạo ra đường đi P.
P= c d e f g
đượ
ch đi qua tất cả7 cây cầu qua
đỉnh thì luô
g với cuối đường) và qua ng Hamilton. Đường đi Ha tiễn. ập được các
c nối với nhau bởi một đường đi. Bài toán về "đường đi" là một nội dung quan trọng của lý thuyết grap.
Bắt đầu từ bài toán của Euler: "Tìm cá
sông Pregel ở Konigsburg, mỗi cái đúng một lần rồi quay về điểm xuất phát", Euler đã chứng minh không có một đường đi như thế. Bài toán xét với grap vô hướng gọi là chu trình Euler.
Nhưng nếu xét một grap liên thông có nhiều hơn một
n lập được một đường đi qua tất cả các đỉnh và cuối cùng quay về điểm xuất phát, đó là chu trình Hamilton.
Một đường đi khép kín (đầu đường trùn
ít nhất 3 cạnh gọi là chu trình. Nếu trong chu trình Hamilton, xoá đi một cạnh sẽ được đường Hamilton.
Mọi grap có hướng đầy đủ đều có đườ
milton tương tự với đường đi Euler trong cách phát biểu:đường đi Euler qua mọi cạnh của grap vừa đúng một lần ; còn đường đi Hamilton qua mọi đỉnh của grap vừa đúng một lần.
Bài toán về đường đi có nhiều ý nghĩa trong thực
Trong dạy học, ứng dụng bài toán về chu trình có thể l
grap về các chu trình hoặc các vòng tuần hoàn. Ví dụ, vòng tuần hoàn máu (hình 3.6).
3.1.3. Bài toán về "cây"
• Khái niệm "cây” trong lý thuyết grap
Cây (tree) còn gọi là cây tự do (free tree) là một grap liên thông không có chu trình (hình 3.7). Khảo sát về cây là một nội dung quan trọng của lý thuyết grap và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Cho T là một cây, thì giữa hai đỉnh bất kỳ của T luôn luôn tồn tại một và chỉ một đường trong T nối hai đỉnh đó. Cây có gốc (rooted tree là một cây có hướng trên đó đã chọn một đỉnh là gốc và các cạnh được định ,hướng, sao cho với mọi đỉnh luôn luôn có một đường hướng từ gốc đi đến đỉnh đó. Có hai loại cây, đó là cây đa phân và cây nhị phân.
• Cây đa phân
Nếu số cạnh của một đỉnh trong cây là không xác định thì đó là cây đa phân (multiary tree).
Trong hình 3.7, grap có cả đỉnh bậc 2, đỉnh bậc 3 và đỉnh bậc 4 nên gọi là cây đa phân.
Trong dạy học sinh học, cây đa phân được dùng để mô tả nguồn gốc phát sinh và tiến hoá của sinh giới (cây tiến hoá).
Trong dạy học sinh học, có thể dùng cây đa phân để mô tả cấu tạo và chức năng của các cơ quan trong cơ thể. Ví dụ, cấu tạo của hệ hô hấp (hình 3.8).
• Cây nhị phân
Cây nhị phân là cây có gốc sao cho mọi đỉnh đều có nhiều nhất là hai cạnh (hình 3.9). Cây nhị phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các giải thuật của tin học.
Trong dạy học sinh học, cây nhị phân thường được dùng để lập các sơ đồ nhánh như dùng cây nhị phân để xác định kiểu gen của các loại giao tử trong phép lai hữu tính. Ví dụ, có thể ứng dụng cây nhị phân để xác định các kiểu giao tử của cơ thể dị hợp về nhiều cặp gen AaBbCc (hình 3.lo). Mỗi cặp gen dị hợp nằm trên một cặp nhiễm sắc thể tương đồng nên trong quá trình giảm phân tạo giao
tử, các nhiễm sắc thể đã phân ly dẫn tới sự phân ly cua các gen.
ví dụ, dùng một "cây" để mô tả cấu trúc và chức năng của nơron (hình 3.1l), trong đó khái niệm "nơron" là gốc, các đỉnh "cấu trúc" và "chức năng ' là cây con bậc 1 ; các đỉnh "thân ", "tua", "cảm ứng" và "dẫn truyền" là cây con bậc 2 . . . . tiếp tục các bậc như vậy đến đỉnh cuối cùng là "ngọn" của cây (tua ngắn, tua dài).
Phép duyệt cây
- Xét cây từ gốc
Xét cây từ gốc tức là xem xét cây từ gốc đến cây con bên trái rồi xét tiếp và đến cây con bên phải, cứ như vậy cho đến đỉnh cuối cùng (ngọn) .
Trong hình 3.11, để hiểu cấu tạo và chức năng của nơron, từ đỉnh "nơron" (gốc) xét đến cây con bậc 1 bên trái là đỉnh "cấu tạo", sau đó xét tiếp các cây con bậc 2... cho đến "ngọn". Sau đó quay lại xét cây con bậc 1 bên phải "chức năng". Sau khi các thao tác xét cây hoàn chỉnh, chúng ta sẽ có một "bức tranh " tổng thể về một đối tượng nghiên cứu, bao gồm các yếu tố cấu trúc và mối liên hệ
của các yếu tố trong một hệ thống. Giải thuật này tương ứng với thao tác phân tích trong tư duy.
Trong dạy học sinh học, giải thuật xét cây từ gốc sẽ giúp cho học sinh có hệ thống khái niệm mang tính tầng bậc rõ rệt.
- Xét từ giữa cây
Xét từ giữa cây tức là bắt đầu xét từ một cây con bất kỳ trong cây trở về gốc, đồng thời xét đến các cây con khác cho tới ngọn.
Trong hình 3.11, có thể xét từ bất kỳ đỉnh nào trong cây. Ví dụ, "tua" là một thành phần cấu trúc của nơron, gồm có tua ngắn (sợi nhánh) và tua dài (sợi trục).
Trong dạy học sinh học, khi tiếp xúc với bất kỳ một khái niệm nào cũng sử dụng giải thuật này, trước hết xem khái niệm đó thuộc khái niệm nào ở cấp độ rộng hơn, rồi xem trong khái niệm đó có khái niệm nào ở cấp độ nhỏ hơn (khái niệm giống và khái niệm loài so với khái niệm đang xét).
- Xét từ ngọn
Ngược lại với giải thuật xét từ gốc, giải thuật xét từ ngọn tức là xét một cây từ các yếu tố nhỏ nhất (ngọn) ngược trở về gốc. Giải thuật xét từ ngọn cần được kết hợp với giải thuật xét từ giữa cây.
Nghiên cứu về các phép duyệt cây giúp chúng ta xác định được hưởng nghiên cứu cho những đối tượng cụ thể. Trong dạy học, điều đó sẽđinh hướng cho các hoạt động sư phạm của giáo viên và hoạt động nhận thức của học sinh đối với những khái niệm mang tính hệ thống.
nhất
Bài toán con đường ngắn nhất là một ứng dụng quan trọng của lý thuyết grap, sử dụng grap có hướng để nghiên cứu các vấn đề trong cuộc sống theo hướng tối ưu hoá.
• Hệ thống kỹ thuật đánh giá và kiểm tra các chương trình (Program Evaluation and Review Technique - PERT)
Hệ thống này phát sinh ở Mỹ năm 1958, hệ này còn có tên gọi là hệ tiềm năng - giai đoạn. Theo quy tắc của hệ thống này, grap được quan niệm như sau: Đỉnh grap diễn tả sự kiện hoàn thành một mục tiêu, nhiệm vụ bộ phận còn cung diễn tả nhiệm vụ (tức hoạt động).
Ví dụ, một công việc nào đó có giai đoạn bắt đầu và giai đoạn kết thúc, cần phải xác định nhiệm vụ từ lúc bắt đầu đến khi kết thúc công việc, nhiệm vụ đó có thể xác định bằng grap. Như vậy hệ thống kỹ thuật đánh giá và kiểm tra các chương trình cho biết nhiệm vụ để thực hiện các hoạt động.
• Phương pháp các tiềm năng (Méthode des potentiels)
Phương pháp các tiềm năng sinh ra ở Pháp năm 1958, theo phương pháp này grap được quan niệm: đỉnh diễn tả nhiệm vụ còn cung diễn tả yêu cầu.
Trong hai phương pháp trên, grap bao giờ cũng cho ta thấy một cách trực quan cấu trúc logíc của quy trình triển khai hoạt động, tức là con đường của hoạt động, từ lúc bắt đầu đến khi kết thúc.
• Phương pháp đường găng - Con đường tới hạn (Critical Path Method)
giá và kiểm tra các chương trình (PERT) theo nghĩa hẹp. Phương pháp này chỉ ra các phương án có thể xảy ra khi thực hiện một hoạt động. Trong đó, có những con đường thực hiện với thời gian tối thiểu hoặc tối đa để hoàn thành các nhiệm vụ.
Ví dụ, một đề án có 5 công việc với thời gian (ngày) tương ứng để hoàn thành các công việc đó (hình 3.12). Có những con đường khác nhau để thực hiện đề án:
Nếu: c d gthời gian hoàn thành là 7 ngày. Nếu: ce gthời gian hoàn thành là 8 ngày. Nếu: cd e g thời gian hoàn thành là 9 ngày.