Định nghĩa 3.1.1 Giả sử V và W là hai không gian véctơ trên trường . Kí hiệu
V W là không gian véctơ sinh bởi tập V x W . Phần tử tổng quát trong V W có dạng tổ hợp tuyến tính hình thức
trong đó tổng được hiểu theo nghĩa đại số, tức là chỉ có một số hữu hạn các hệ số là khác 0. Xét không gian véctơ con L, sinh bởi tất cả các phần tử có dạng
Khi đó không gian thương V W/L được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ V và W và được kí hiệu là V W. Các phần tử trong không gian thương được kí hiệu là
Hệ quả 3.1.2 Trong tích ten sơ ta luôn có các hệ thức thể hiện tính song tuyên
Hệ quả 3.1.3 Nếu e1, . . . , en là một cơ sở của không gian véctơ V và f1,… , fm là
một cơ sở của không gian véctơ W thì các véctơ ei⊗ fj, i = 1…n, j = 1… m sinh ra tích
ten sơ V W.
Ngược lại ta có thể dùng chính các phần tử sinh này đểđịnh nghĩa tích ten sơ.
Định nghĩa 3.1.4 (Định nghĩa II) Giả sử không gian véctơ V có một cơ sở là ei i = 1…. n và không gian véctơ W có một cơ sở là fj , j = 1…m . Kí hiệu hình thức ei⊗ fj
được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ với cơ sở.
Hệ quả 3.1.5 (Tính chất phổ dụng) Tồn tại ánh xạ song tuyên tính tự nhiên ι : V x W → V⊗W. Nếu B : V x W → F là một ánh xạ xong tuyên tính, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyên tính ϕB : V⊗W→F từ tích tensơ V⊗W vào F sao cho B = ϕB o B ι
Ngược lại ta có thể dùng tính chất phổ dụng làm định nghĩa tích tensơ.
Định nghĩa 3.1.6 (Định nghĩa III) Tích tensơ của hai không gian véctơ V và W là một cặp gồm một không gian véctơ, kí hiệu là V⊗W và một ánh xạ song tuyến tính ι
: V x W → V⊗W sao cho với mọi cặp gồm một không gian véctơ F và một ánh xạ song tuyến tính B : V x W → F, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ϕB : V⊗W→F sao
cho B = ϕ o ι
B
Mệnh đề 3.1.7 Ba định nghĩa I-III là tương đương nhau.
Chứng minh Dễ thấy ngay Định nghĩa I suy ra Định nghĩa II và Định nghĩa II suy ra Định nghĩa III. Ngược lại, từ Định nghĩa III suy ra Định nghĩa II vì do Định nghĩa II có tính phổ dụng. Từ Định nghĩa II suy ra Định nghĩa I do lí luận theo số chiều.
3.2 Tích ngoài và tích ten sơđối xứng
Định nghĩa 3.2.1 Giả sử V1, … , Vn là các không gian véctơ trên trường cơ sở Ta có thể tạo ra tổng trực tiếp của các tích ten sơ các không gian véctơ xếp thứ tự
trong đó
Không gian véctơ
được gọi là tích đối xứng và được kí hiệu là lạ V1⊗s…⊗s Vn Dễ thấy các tính chất hiển nhiên sau của tích ngoài và tích đối xứng
Mệnh đề 3.2.2 1 . Tích ngoài có tính chất phản xứng
2 . Tích đối xứng có tính chất đối xứng