Trong mục này và các mục còn lại, ta chỉ xét trường hợp không gian ba chiều R3,n = 3 . Trường hợp n bất kỳ cũng có thể xét tương tự. Tuy nhiên một số khái niệm cần được cải tiến một cách thích hợp.
Giả sử S là một mặt dìm trong R3 và là véctơ pháp tuyến tại điểm ra r(u,v)∈S. Với mỗi véctơ tiếp xúc với mặt tại điểm p = (u,v) chúng ta có đạo hàm thuận biến , tác động trên các hàm hay nhát cắt theo công thức
Theo tính chất của phép đạo hàm, vì là véctơđơn vị nên
Nghĩa là
Định nghĩa 4.3.1 Ánh xạ
cho bởi công thức
được gọi là ánh xạ Weingarten . Khi p thay đổi, ta kí hiệu ánh xạ đó là h.
Các tính chất cơ bản của ánh xạ Weingarten:
Mệnh đề 4.3.2 Với mọi điểm p ∈S, họ là ánh xạ tuyến tính đối xứng từ TpS vào chính nó, tức là
Chứng minh. Thật vậy, với mọi hệ tham số hoá (u,v) ta có
Chúng ta nhận xét rằng chỉ cần chứng minh mệnh đề cho các trường véctơ cơ sở và Với các trường véctơ này dễ thấy ngay là
và tương tự
Mặt khác, chúng ta thấy là
cho nên
Tương tự ta cũng có
Vì các đạo hàm riêng cấp 2 là đối xứng
nên
Định nghĩa 4.3.3 Mỗi giá trị riêng của họ được gọi là độ cong chính tại p của
mặt S. Mỗi véctơ riêng của hp xác định một phương gọi là phương chính tại p của S. Định thức của tự đồng cấu hp gọi là độ cong Gauss tại S. Một nửa giá trị và của hp, tức là ½trace(hp) được gọi là độ cong trung bình tại p của S.
Nhận xét 4.3.4 Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyên tính đối xứng suy ra rằng
chỉ có thể sảy ra các trường hợp sau đây:
1. Ánh xạ Weingarten có hai giá trị riêng thực phân biệt. Gọi kl ≠ k2 là hai giá trị riêng đó. Khi đó hai phương chính tại p được hoàn toàn xác định, vuông góc
với nhau và là hai trục của đường ellipse Hai phương chính lập
thành cơ sở trực chuẩn. Độ cong Gauss là
Độ Cong trung bình là
2. Ánh xạ Weingarten có một giá trị riêng thực kép, k = kl = k2. Khi đó mọi
phương là phương chính. Mỗi cơ sở trực chuẩn là cơ sở trực chuẩn gồm các
véctơ riêng. Độ cong Gauss là K(p) = - k(p)2≤ 0 . Độ cong trung bình là
tuỳ thuộc độ cong Gauss là âm, dương hay bằng 0.
Nhận xét 4.3.6 Khi đổi định hướng của S bằng cách xét thay cho thì ánh
xạ Veingarten hít được thay bởi -hp. Nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong
Gauss không đổi dấu. Do đó định nghĩa độ cong Gauss có nghĩa cả cho các mặt không định hướng.
Định nghĩa 4.3.7 Dạng song tuyến tính
được gọi là dạng cơ bản I tại p của mặt Js' Và dạng song tuyên tính
được gọi là dạng cơ bản II tại p của S.
Trong tham s ố hoá địa phương (u,v) ∈U 6 r(u,v)∈S chúng ta xét các hàm số
là các hệ số của ma trận Gram-schmidt của các dạng đó. Nếu các véctơ tiếp xúc có phân tích theo cơ sở là
Định lí 4.3.8 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình:
Chứng minh. Chúng ta xét cơ sở Nếu
thì theo định nghĩa,
Do đó chúng ta thấy ngay là
Lấy tích vô hướng cả hai vế của cả hai đẳng thức trên với và chú ý rằng với bốn véctơ tuỳ ý trong R3,