Ta đã thấy trong phần trước hàm điều hòa là khả vi vô hạn. Một tính chất mạnh hơn sẽ được thiết lập trong phần này đó là hàm giải tích. Để định nghĩa một cách chính xác hơn, trước tiên ta xét chuỗi số phức dạng PCα trong đó phép lấy tổng là trên mọi chỉ số α (tất cả các chỉ số α sẽ luôn giả định trong mọi chuối lũy thừa trừ khi được phát biểu dưới dạng khác). Bài toán là không có sắp thứ tự tự nhiên của bộ chỉ số α khi n > 1. Tuy nhiên, ở đây ta chỉ quan tâm đến P
Cα hội tụ tuyệt đối nghĩa là:
supX
α∈F
|Cα| < ∞.
Định nghĩa 1.8.1. Một hàm trên Ω được gọi là hàm giải tích nếu với mỗi a ∈ Ω tồn tại số phức Cα sao cho:
f(x) = XCα(x−a)α
với mọi x thuộc lân cận của a và chuỗi hội tụ tuyệt đối trong lân cận này.
Một số tính chất cơ bản của những chuỗi như vậy sẽ được trình bày trong các kết quả tiếp theo. Ở đây ta sẽ thấy tiện lợi hơn khi xét tâm của chuỗi lũy thừa tại a = 0 và được định nghĩa:
R(y) ={x ∈ Rn : |xj| < |yj|, j = 1, n}, ∀y ∈ Rn.
R(y) là hình chữ nhật mở n chiều tâm tại 0 với góc ở đỉnh y. Ta sẽ giả định rằng mỗi thành phần của y là khác 0.
Định lý 1.8.1. Giả sử {Cαyα} là tập bị chặn. Khi đó:
a) Với bộ chỉ số β, chuỗi P
α
Dβ Cαxα hội tụ tuyệt đối trên R(y) và hội tụ đều trên tập con compact của R(y).
b) Hàm f xác định bởi f(x) =P
Cαxα với x ∈ R(y) khả vi vô hạn trên
R(y). Hơn nữa: Dβf(x) = X α Dβ Cαxα , ∀x ∈ R(y), ∀β. Ngoài ra: Cα = D αf(0) α! với mỗi chỉ số α.
Chú ý 1.8.1. 1.Ta nói chuỗi hội tụ đều trên tập hợp nghĩa là mỗi sắp thứ tự của chuỗi hội tụ đều trên tập này theo nghĩa thông thường. 2.Định lý cho thấy rằng mỗi đạo hàm của hàm giải tích là hàm giải tích, và nếu P
aαxα = P
bαxα với mọi x thuộc lân cận của 0thì aα = bα với mọi α.
Chứng minh của Định lý 1.8.1. Đầu tiên xét trên hình chữ nhậtR(1,· · · ,1) ta có:
X
α
Dβ(xα) = Dβ(1−x1)−1(1−x2)−1· · ·(1−xn)−1,
với mọi đa chỉ số β.
Bây giờ ta giả sử Cαyα 6 M với mỗi α.
Nếu K là tập con compact của R(y) thì K ⊂ R(ty) với t ∈ (0,1). Do đó với mỗi x ∈ K và với mỗi đa chỉ số α,
Cαxα 6t|α|Cαyα 6 M t|α|.
Theo chuỗi trên ta có, P
t|α| = (1−t)−n < ∞.
Từ đó thiết lập được tính hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều của P
Cαxα
trên K. Lý luận tương tự, áp dụng với P
Dβ(Cαxα). Từ đó ta có a). Cho f(x) =P
Cαxα với x ∈ R(y), sự hội tụ đều trên tập con compact của R(y) của chuỗi P
Dβ(Cαxα) với mỗi β cho thấy f ∈ C∞ R(y) và Dβf(x) = P
Dβ(Cαxα) trong R(y) với mỗi β. Công thức cho hệ số Taylor Cα có được bằng cách tính đạo hàm của f tại 0.
Định lý (1.8.1) không khẳng định rằng hình chữ nhật là miền hội tụ, đương nhiên của nhiều chuỗi lũy thừa. Ví dụ trong một miền của không gian hai chiều, miền hội tụ chuỗi
∞
P
j=1
(x1x2)j là:
Định lý tiếp theo chỉ ra rằng hàm giải tích có một số tính chất nhất định không được đề cập trong tất cả các hàm thuộc lớp C∞.
Định lý 1.8.2. Giả sử Ω liên thông, f là hàm giải tích trong Ω và
f = 0 trên tập con mở không rỗng của Ω. Khi đó f ≡0 trong Ω.
Chứng minh. Cho w là ký hiệu phần trong của tập {x ∈ Ω : f(x) = 0}
khi đó w là tập con mở của Ω. Nếu a là giới hạn điểm của w thì tất cả các đạo hàm của f triệt tiêu tại a bởi tính liên tục, theo giả thiết chuỗi lũy thừa của f tại a là đồng nhất bằng 0, bởi vậy a ∈ w . Do đó
w đóng trong Ω. Vì w 6= ∅ nên từ giả thiết ta phải có w = Ω (từ tính liên thông).
Vậy f ≡ 0 trong Ω.
Định lý 1.8.3. Nếu u điều hòa trên Ω thì u là hàm giải tích trong Ω. Chứng minh. Nhận thấy: Nếu u là hàm điều hòa trên B thì u có khai triển chuỗi lũy thừa hội tới u trong lân cận của 0.
Ý tưởng chính ở đây giống như trong hàm một biến phức, ta sử dụng biểu diễn tích phân Poisson của u và mở rộng nhân Poisson trong chuỗi lũy thừa. Giả sử |x| < √ 2−1 và ξ ∈ S. Khi đó 0 < |x−ξ| < 2 và do đó: P(x, ξ) = 1− |x|2 |x−ξ2|−n 2 = 1− |x|2 ∞ X m=0 Cm |x|2 −2xξm. Trong đó ∞ P m=0
Cm t−1m là chuỗi Taylor của t−2n trên khoảng (0,2) mở rộng về trung điểm 1. Sau đó mở rộng số hạng |x|2 −2xξm và sắp xếp lại (điều đó có được từ tính hội tụ tuyệt đối), nhân Poisson lấy từ công thức:
P(x, ξ) =X
α
xαqα(ξ)
với x ∈ (√
2−1)B và ξ ∈ S, ở đó mỗi qα là đa thức. Chuỗi P
α
xαqα(ξ) hội tụ đều trên S với mỗi x ∈ (√
Do đó nếu u là hàm điều hòa trên B thì: u(x) = Z S u(ξ)P(x, ξ)dσ(ξ) =X α Z S uqαdσxα , ∀x ∈ (√ 2−1)B.
Đây là khai triển mở rộng của u dần đến 0.
Thật không may, nhiều chuỗi lũy thừa tại 0 của hàm điều hòa trên B
không cần phải hội tụ trong toàn bộ B.
Ví dụ 5. Hàm u(z) = 1
1−z là hàm chỉnh hình (bởi vậy là hàm điều
hòa) trên hình cầu mở đơn vị của mặt phẳng phức, viết z = x+iy = (x, y) ∈ R2, ta có: u(z) = ∞ X m=0 (x+iy)m = ∞ X m=0 m X j=0 xj(iy)j−m , z ∈ B2.
Như nhiều chuỗi lũy thừa, tổng cuối cùng ở trên hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi |x|+|y|< 1 và do vậy chuỗi này không hội tụ trong toàn bộ
B2.
Như đã đề cập trước đó, tính giải tích của hàm điều hòa cho phép chúng ta chúng ta chứng minh nguyên lý cực đại địa phương.
Định lý 1.8.4 (Nguyên lý cực đại địa phương). Giả sử Ω liên thông, u
nhận giá trị thực và điều hòa trên Ω và u đạt cực đại địa phương trong
Ω. Thì u là hằng số.
Chứng minh. Nếu u đạt cực đại địa phương tại a ∈ Ω, thì tồn tại hình cầu (a, r) ⊂ Ω sao cho u 6 u(a) trong B(a, r). Từ Định lý (1.4.1) u là hằng số trên B(a, r). Vì u là hàm giải tích trên Ω nên u ≡ u(a) trong Ω theo Định lý (1.8.2).
Chương 2
Hàm điều hòa bị chặn
2.1 Định lý Liouville
Định lý Liouville trong giải tích phức phát biểu rằng hàm chỉnh hình bị chặn trên C là hằng số. Tương tự kết quả đối với hàm điều hòa trên
Rn ta có định lý sau.
Định lý 2.1.1 (Định lý Liouville). Hàm điều hòa bị chặn trên Rn là hằng số.
Chứng minh. GọiB(x, r) = Bx, B(0, r) = B0,V(r) là thể tích của hình cầu bán kính r và Dr = [B(x, r)∪B(0, r)]\[B(x, r)∩B(0, r)].
Giả sử u là hàm điều hòa trên Rn, bị chặn bởi M. Cho x ∈ Rn và r > 0. Theo định lý tính chất giá trị trung bình (1.3.1) ta có:
u(x) = 1 V(r) Z B(x,r) udV = 1 V(r) h Z Bx∩B0 udV + Z Bx\B0 udV i và u(0) = 1 V(r) Z B(0,r) udV = 1 V(r) h Z Bx∩B0 udV + Z B0\Bx udV i . Suy ra: |u(x)−u(0)| = 1 V(r) Z Bx\B0 udV − Z B0\Bx udV .
Hay ta có |u(x)−u(0)| 6 1 V(r) h Z Bx\B0 |u|dV + Z B0\Bx |u|dVi = 1 V(r) Z Dr |u|dV 6M 1 V(r) Z Dr dV = M.V(D(r)) V(r) .
Biểu thức cuối cùng dần đến 0 khi r → ∞.
Vậy u(x) =u(0). Điều này chứng tỏ u là hằng số.
Định lý Liouville dẫn đến chứng minh dễ dàng của định lý về tính duy nhất của hàm điều hòa bị chặn trên nửa không gian mở. Trước tiên ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1.1. Nửa không gian mở H = Hn là tập con mở của Rn xác định bởi:
H = {x ∈ Rn : xn > 0}.
Trong cách đặt này ta thường đồng nhất Rn với Rn−1 × R viết một điểm điển hình z ∈ Rn như z = (x, y) trong đó x ∈ Rn−1, y ∈ R. Ta có thể đồng nhất ∂H = Rn−1.
Chú ý 2.1.1. Hàm điều hòa trên tập compact được xác định bằng hạn chế của nó trên biên (theo nguyên lý cực đại). Tuy nhiên hàm diều hòa trên nửa không gian đóng không được xác định bằng hạn chế của nó trên biên.
Ví dụ 6. Hàm điều hòa u trên H xác định bởi u(x, y) = y bằng nhau trên biên của nửa không gian với hàm điều hòa 0.
Hệ quả 2.1.1. Giả sử u liên tục bị chặn trên H là hàm điều hòa trên
H. Nếu u = 0 trên ∂H thì u = 0 trên H.
Chứng minh. Với x ∈ Rn−1 và y < 0, ta định nghĩau(x, y) =−u(x,−y) qua đó mở rộng u thành một hàm liên tục bị chặn xác định trên toàn bộ Rn. Rõ ràng u thỏa mãn tính chất giá trị trung bình địa phương trong Định lý (1.7.1), vậy u điều hòa trên Rn. Từ Định lý Liouville (2.1.1) ta được u là hằng số trên Rn.
2.2 Tính kỳ dị cô lập
Ta biết rằng một điểm kỳ dị cô lập của hàm chỉnh hình bị chặn là khử được. Bây giờ ta sẽ chỉ ra nó vẫn đúng đối với hàm điều hòa bị chặn.
Định nghĩa 2.2.1. Ta gọi diểm a ∈ Ω là điểm kỳ dị cô lập của hàm u
bất kỳ xác định trên Ω\{a}. Khi u điều hòa trên Ω\{a}, điểm kỳ dị cô lập a được gọi là khử được nếu u có mở rộng điều hòa tới Ω.
Định lý 2.2.1. Một điểm kỳ dị cô lập của hàm điều hòa bị chặn là khử được.
Chứng minh. Ta cần chỉ ra nếu u điều hòa và bị chặn trên B\{0}, thì
u có mở rộng điều hòa đến B. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử u đạt giá trị thực đại diện duy nhất cho mở rộng điều hòa tới B là tích phân Poisson P[u|S].
Trước tiên giả sử n > 2. Với ε > 0, xét hàm diều hòa νε trên B\{0}
xác định bởi:
νε(x) = u(x)−P[u|S](x) +ε(|x|2−n −1).
Để ý rằng khi |x| → 1 ta có νε(x) → 0 (theo Định lý (1.6.1)). Trong khi đó các ràng buộc của u cho thấy νε(x) → ∞ khi x →0. Từ Hệ quả (1.4.2) (với lim sup được thay bởi lim inf), νε > 0 trong B\{0}. Cho
ε → 0 ta được u−P[u|S] > 0 trên B\{0}. Thay thế u bởi −u, ta cũng thu được u−P[u|S] 6 0. Dẫn đến u = P[u|S] trên B\{0}. Do đóP[u|S] là mở rộng cần tìm của u tới B.
Khi n = 2, cũng chứng minh tương tự trong đó |x|2−n −1 được thay bằng ln 1
2.3 Ước lượng Cauchy
Nếuf là hàm chỉnh hình và bị chặn bởiM trên hình cầu B(a, r) ⊂ C
thì
|f(m)(a)| 6 m!M
rm
với mọi số nguyên không âm m, đây là Ước lượng Cauchy từ giải tích phức. Định lý tiếp theo cho kết quả tương tự đối với hàm điều hòa bị chặn xác định trên hình cầu trong Rn.
Định lý 2.3.1 (Ước lượng Cauchy). Cho α là một đa chỉ số. Khi đó có một số dương Cα sao cho
|Dαu(a)| 6 CαM
r|α|
với mọi hàm u điều hòa và bị chặn bởi M trên B(a, r).
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng a = 0. Nếu u là hàm điều hòa và bị chặn bởi M trên B. Khi đó theo (1.6.9) ta có:
|Dαu(0)| = Z S u(ξ)DαP(0, ξ)dσ(ξ) 6 M Z S DαP(0, ξ)dσ(ξ) = CαM. với Cα = R S DαP(0, ξ)dσ(ξ).
Nếu u điều hòa và chặn bởi M trên B(0, r), khi đó áp dụng kết quả trên tới mở rộng ur ta được
|Dαu(a)| 6 CαM
r|α| .
Thay r bằng r−ε và cho ε giảm dần tới 0, ta thu được kết luận tương tự nếu u điều hòa trên hình cầu mở trên B(0, r) và bị chặn bởi M tại đó.
Hệ quả sau đây cho thấy rằng đạo hàm của hàm điều hòa bị chặn trên Ω không thể tăng quá nhanh gần ∂Ω. Gọi d(a, E) là khoảng cách từ điểm a tới tập E.
Hệ quả 2.3.1. Cho u là hàm điều hòa bị chặn trên Ω và cho α là một đa chỉ số. Khi đó có một hằng số C sao cho
|Dαu(a)| 6 C
d(a, ∂Ω)|α|
với mọi a ∈ Ω.
Chứng minh. Với mỗi a ∈ Ω, áp dụng ước lượng Cauchy (Định lý 2.3.1) với r = d(a, ∂Ω).
2.4 Họ chuẩn tắc
Trong giải tích phức số hạng họ chuẩn tắc nói về tập hợp các hàm chỉnh hình với tính chất: "Mỗi dãy trong tập hợp chứa một dãy con hội tụ đều trên tập compact của miền". Kết quả được sử dụng nhiều nhất trong phạm vi này (các công cụ chính hầu như trong chứng minh của Định lý ánh xạ Riemann) phát biểu rằng "Tập hợp các hàm chỉnh hình bị chặn đều trên mỗi tập con compact của miền là họ chuẩn tắc". Bây giờ ta chứng minh kết quả tương tự cho hàm điều hòa.
Định lý 2.4.1. Nếu (um) là dãy các hàm điều hòa trên Ω bị chặn đều trên mỗi tập con compact của Ω thì mỗi dãy con của (um) hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Ω.
Chứng minh. Trước tiên ta có nhận xét: Tồn tại hằng số C < ∞ sao cho với mọi u điều hòa và bị chặn bởi M trên hình cầu bất kỳ B(a,2r):
|u(x)−u(a)| 6 sup
B(a,r)
|Ou|
|x−a| 6 CM
r (x−a), ∀x ∈ B(a, r).
Bất đẳng thức thứ nhất là dễ thấy; bất đẳng thức thứ hai từ Ước lượng Cauchy (2.3.1). Bây giờ giả sử K ⊂ Ω là tập compact và cho
r = d(K, ∂Ω)
3 . Vì tập K2r = {x ∈ Rn : d(x, K) 6 2π} là tập con compact của Ω, dãy (um) bị chặn đều bởi điểm M < +∞ trên K2r. Cho a, x ∈ K và giả sử |x−a| < r. Khi đó x ∈ B(a, r) và |um| 6 M
trên B(2a, r) ⊂ K2r với mọi m và do vậy ta suy ra
|um(x)−um(a)| 6 CM
Chứng tỏ (um) là dãy liên tục đều trên K. Để kết thúc chứng minh ta chọn các tập compact
K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Ω
có trong phủ Ω. Vì (um) liên tục đều trên K1 nên theo định lý Arzela- Ascoli bao hàm (um) chứa dãy con hội tụ đều trên K1. Áp dụng định lý Arzela-Ascoli một lần nữa, ở đó dãy con của dãy này hội tụ đều trên
K2 và vân vân. Và như vậy mỗi dãy con của (um) hội tụ đều trên mỗi tập con compact Kj của Ω.
Lưu ý rằng từ Định lý (1.6.3), dãy con hội tụ thu được ở trên hội tụ tới một hàm điều hòa; hơn nữa mỗi đạo hàm riêng của dãy con này hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Ω.
Định lý (2.4.1) thường được sử dụng để chứng minh cực trị tồn tại nhất định. Chẳng hạn như, nếu a ∈ Ω thì tồn tại hàm điều hòa v trên Ω sao cho |v| < 1 trên Ω và:
|Ov(a)| = sup{|Ou(a)| : u điều hòa trên Ω và |u| < 1 trên Ω}.
2.5 Nguyên lý cực đại
Hệ quả (1.4.2) là nguyên lý cực đại trong dạng tổng quát nhất của nó. Nó phát biểu rằng: Nếu u là hàm giá trị thực điều hòa trên Ω và
u 6 M tại biên của Ω, thì u 6 M trên Ω. vấn đề ở đây ta xem ∞ như một điểm biên (Một lần nữa hàm u(x, y) = y trên H cho thấy tại sao điều này là cần thiết). Thường ta có thể bỏ qua các điểm vô cực khi
u bị chặn. Kết quả tiếp theo cho thấy điều này luôn làm được trong không gian hai chiều.
Định lý 2.5.1. Giả sử Ω ⊂ R2 và Ω 6= R2. Nếu u là hàm điều hòa giá trị thực, bị chặn trên Ω thỏa mãn:
lim
k→∞supu(ak) 6 M (2.5.1)
với mọi dãy (ak) trong Ω hội tụ tới một điểm trong ∂Ω thì u 6M trên
Chứng minh. Vì Ω 6= R2, ∂Ω không rỗng. Cho ε > 0 và chọn dãy trong Ω hội tụ tới một điểm trong ∂Ω. Từ giả thiết unhỏ hơn M+εtrên đoạn cuối dãy này. Điều này cho thấy có một hình cầu đóng B(a, r) ⊂ Ω mà trên đó u < M +ε. Đặt Ω0 = Ω\B(a, r) và đặt v(z) = ln z −a r
với z ∈ Ω0. Khi đó v dương và điều hòa trênΩ0 và v(z) → ∞khi z → ∞
ở trong Ω0.
Cho t > 0, bây giờ ta định nghĩa hàm điều hòa wt trên Ω0 xác định bởi