2 Hàm điều hòa bị chặn
2.3 Ước lượng Cauchy
Nếuf là hàm chỉnh hình và bị chặn bởiM trên hình cầu B(a, r) ⊂ C
thì
|f(m)(a)| 6 m!M
rm
với mọi số nguyên không âm m, đây là Ước lượng Cauchy từ giải tích phức. Định lý tiếp theo cho kết quả tương tự đối với hàm điều hòa bị chặn xác định trên hình cầu trong Rn.
Định lý 2.3.1 (Ước lượng Cauchy). Cho α là một đa chỉ số. Khi đó có một số dương Cα sao cho
|Dαu(a)| 6 CαM
r|α|
với mọi hàm u điều hòa và bị chặn bởi M trên B(a, r).
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng a = 0. Nếu u là hàm điều hòa và bị chặn bởi M trên B. Khi đó theo (1.6.9) ta có:
|Dαu(0)| = Z S u(ξ)DαP(0, ξ)dσ(ξ) 6 M Z S DαP(0, ξ)dσ(ξ) = CαM. với Cα = R S DαP(0, ξ)dσ(ξ).
Nếu u điều hòa và chặn bởi M trên B(0, r), khi đó áp dụng kết quả trên tới mở rộng ur ta được
|Dαu(a)| 6 CαM
r|α| .
Thay r bằng r−ε và cho ε giảm dần tới 0, ta thu được kết luận tương tự nếu u điều hòa trên hình cầu mở trên B(0, r) và bị chặn bởi M tại đó.
Hệ quả sau đây cho thấy rằng đạo hàm của hàm điều hòa bị chặn trên Ω không thể tăng quá nhanh gần ∂Ω. Gọi d(a, E) là khoảng cách từ điểm a tới tập E.
Hệ quả 2.3.1. Cho u là hàm điều hòa bị chặn trên Ω và cho α là một đa chỉ số. Khi đó có một hằng số C sao cho
|Dαu(a)| 6 C
d(a, ∂Ω)|α|
với mọi a ∈ Ω.
Chứng minh. Với mỗi a ∈ Ω, áp dụng ước lượng Cauchy (Định lý 2.3.1) với r = d(a, ∂Ω).