Phép chiếu toán tử được Mori đưa ra lần đầu tiên năm 1965 [32] với mục đích áp dụng lý thuyết về hàm tương quan của Kubo [27] để khắc phục một khó khăn cơ bản mà các lý thuyết về quá trình không thuận nghịch thời đó mắc phải, đó là tính phân kỳ của các số hạng trong khai triển của các đại lượng động lực khi hệ chịu tác dụng của trường ngoài.
Ý tưởng của phương pháp chiếu toán tử mà Mori đưa ra là bất kỳ một đại lượng động lực A(t) nào cũng có thể viết được dưới dạng
A(t) = Ξ(t).A+A0(t), A0(t) =
Z ∞
0
Ξ(t−s).f(s)ds, (1.41) trong đó, Ξ(t) được xác định bởi phép biến đổi Laplace, f(t) là hàm ngẫu nhiên mô tả tính ngẫu nhiên của tương tác. Khi đó hình chiếu của một vectơ G lên trục A được xác định bởi
P G= (G, A∗)(A, A∗)−1A, (1.42) với A∗ là liên hợp Hermite của A, kí hiệu (A, B) biểu diễn hàm tương quan của hai toán tửAvà B. Phương trình này xác định một toán tử tuyến tính HermiteP trong không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện P(1−P) = 0. Từ
đó ta định nghĩa tích vô hướng trong số hạng đầu tiên của (1.41) là hình chiếu của A(t) lên trục A, và số hạng thứ hai A0(t) là thành phần thẳng góc với nó, cụ thể là
Ξ(t) = (A(t), A∗)(A, A∗)−1, A0(t) = (1−P)A(t). (1.43) Như vậy, Ξ(t) mô tả sự diễn tiến theo thời gian của hình chiếu của đại lượng A(t).
Tiếp theo phương pháp chiếu toán tử của Mori, một loạt kỹ thuật chiếu đã được giới thiệu để giải quyết nhiều bài toán khác nhau [16], [17], [18], [19], [25], [35], [39]. Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chiếu toán tử độc lập trạng thái [21] mà nhóm Kang N. L. đã giới thiệu năm 2000. Các toán tử chiếu độc lập trạng thái được định nghĩa như sau:
P X =hXiJk/hJki, P¯ = 1−P, (1.44) trong đó Jk là thành phần theo phương k của véctơ mật độ dòng J~,
~
J =X
α,µ
~jα,µa+αaµ, (1.45)
với~j là véctơ mật độ dòng một điện tử. Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu trung bình tập hợp đại lượng X
hXi ≡ TR{ρ0[X, J`]}, (1.46) với ρ0 là toán tử mật độ cân bằng,TR{X}là kí hiệu phép lấy vết đại lượng
Chương 2
KẾT QUẢ GIẢI TÍCH
Chương này sẽ trình bày phần tính toán giải tích hàm dạng phổ, phần tử ma trận của mật độ dòng điện theo phương giam giữ của dây lượng tử thế bán parabol để từ đó tính toán giải tích và thu được biểu thức tường minh của công suất hấp thụ.