Trong giai đoạn tiến hoá quần thể, ta có thể dùng hai phép toán di truyền cổ điển: lai và đột biến.
Sau khi xếp hạng và loại bớt một số nhiễm sắc thể, và giả sử còn lại N/2 nhiễm sắc thể tốt nhất, các nhiễm sắc thể này được dùng để lai ghép. Hai nhiễm sắc thể bất kỳ được chọn để lai ghép. Một số khả năng là: ghép đôi từng cặp hai nhiễm sắc thể từ trên xuống dưới; ghép đôi chúng một cách ngẫu nhiên; hoặc ghép đôi nhiễm sắc thể 1 với nhiễm sắc thể N/2, 2 với N/2-1;Mỗi cặp nhiễm sắc thể cha - mẹ sẽ tạo ra hai nhiễm sắc thể con mới. Ví dụ, nhiễm sắc thể 6 được ghép với 2, và 3
được ghép với 1, từ bảng 3.2. Tiếp theo một điểm lai ngẫu nhiên được chọn, ta gọi là phép lai một điểm. Các số nhị phân ở phía bên phải của điểm lai được hoán vị để tạo ra hai nhiễm sắc thể con cháu mới.
Ta sẽ minh hoạ phép lai trên các nhiễm sắc thể 6 và 2. Giả sử rằng điểm lai được chọn ngẫu nhiên là giữa bit 5 và 6:
6 = (10101|0010101)
2 = (11100|1100101)
Hai con của kết quả lai là: 6 = (10101|1100101)
2 = (11100|1100101)
Như vậy, từng cặp nhiễm sắc thể cha mẹ sẽ tạo ra hai nhiễm sắc thể con cháu mới, sau khi cho lai tạo hết các cặp nhiễm sắc thể cha mẹ, số nhiễm sắc thể con cháu là N/2. Đưa các nhiễm sắc thể mới này vào quần thể thay cho các nhiễm sắc thể đã bị loại bỏ để tham gia vào các quá trình tiến hoá tiếp theo, ta có số nhiễm sắc thể trong quần thể là N (bằng số nhiễm sắc thể lúc ban đầu). Ảnh hưởng của phép lai là để sắp xếp lại các gen, với mục đích đưa ra các tổ hợp tốt hơn của các gen. Ngoài phép lai một điểm như đã trình bày ở trên còn có các phép lai khác như:
Lai hai điểm
Với phép lai hai điểm, hai điểm lai sẽ được lựa chọn ngẫu nhiên. Trong trường hợp này các nhiễm sắc thể bố mẹ chỉ hoán vị các bít nằm giữa hai điểm lai.
Lai đồng nhất
Lai đồng nhất không sử dụng điểm lai. Nó đề cập từng vị trí bit của hai nhiễm sắc thể cha - mẹ, và hoán vị hai bit đó với xác suất các bít trong nhiễm sắc thể cha - mẹ được hoán vị là 50%.
Lai số học
Phép lai này được dùng cho phiên bản thập phân, được định nghĩa như tổ hợp tuyến tính của hai nhiễm sắc thể cha - mẹ: x1 và x2, các con sinh ra sẽ là
2 1
'
1 ax 1 a x
x và x'2 ax2 1 a x1. Toán tử này dùng giá trị ngẫu nhiên a [0 1],
Một phép lai số học khác là từ hai nhiễm sắc thể cha mẹ, có 3 con sinh ra là:
Nhiễm sắc thể c1 cho giá trị trung bình (trung điểm) của x1 và x2, nhiễm sắc thể c2 và c3 cho hai điểm ngoại suy từ trung điểm. Nếu x1 và x2 là đồng nhất thì ba
con mới sinh ra vẫn giống như x1 hoặc x2. Đây là chức năng quan trọng để cho con
cháu giữ được phẩm chất tốt của bố mẹ.
Lai Heuristic
Phép lai này sử dụng các giá trị hàm mục tiêu của hai nhiễm sắc thể cha mẹ để quyết định hướng tìm kiếm, nó chỉ tạo ra một con, và cũng có thể không tạo ra con nào cả.
Toán tử này phát sinh một con duy nhất x3 từ hai cá thể cha mẹ x1 và x2 theo luật sau đây:
(3.6)
Trong đó, r là số ngẫu nhiên giữa 0 và 1, và x2 không xấu hơn x1.
Có thể toán tử này phát sinh một con không thoả mãn ràng buộc. Trong trường hợp này, một giá trị ngẫu nhiên r khác được phát sinh và một con khác được tạo. Nếu sau lần thử mà không tìm được một lời giải mới nào thoả mãn các dàng buộc, toán tử này sẽ bỏ cuộc và sẽ không tạo ra con nào.
Dường như phép lai Heuristic đóng góp độ chính xác cho lời giải tìm được. Các trách nhiệm của nó là (1) tìm chính xác cục bộ, và (2) tìm theo hướng hứa hẹn nhất.
Tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể mà có những cách định nghĩa phép lai - Heuristic khác nhau thích hợp cho các bài toán đó.
Phép đột biến làm thay đổi một (số) gen (các vị trí trong một nhiễm sắc thể)
với xác suất bằng tốc độ đột biến. Giả định rằng gen thứ 7 trong nhiễm sắc thể 2'
được chọn để đột biến. Và đột biến chính là thay đổi giá trị gen này: 0 thành 1 và 1
thành 0. Như vậy, sau đột biến này '
Thông thường xác suất đột biến khoảng 1%, tức là 1% bit 1bit bất kỳ của một cá thể bất kỳ trong quần thể bị đột biến.
Sau khi lai và đột biến, các nhiễm sắc thể con cháu và nhiễm sắc thể đột biến lại được lượng giá, và quá trình được lặp lại. Sau một số thế hệ, khi không còn cải thiện thêm được gì nữa, nhiễm sắc thể tốt nhất sẽ được xem như lời giải của bài toán tối ưu (thường là toàn cực). Thông thường, ta cho dừng thuật giải di truyền sau một số bước lặp cố định tuỳ thuộc điều kiện về tốc độ và tài nguyên máy tính.
Trên đây tác giả đã trình bày những nội dung chính của thuật giải di truyền, còn nhiều vấn đề chưa đề cập, tùy vào từng bài toán cụ thể sẽ có những quá trình tiến hoá khác nhau. Tác giả đã sử dụng phép chọn lọc tranh đua và phép lai Heuristic mới là việc dùng đa lai tạo, tức là dùng nhiều hơn 2 cha mẹ góp sức để tạo một con với phiên bản thập phân, sẽ được trình bày kỹ hơn khi áp dụng vào các bài toán thiết kế cụ thể.