Cho A = (a1, a2,…, an) là dóy gồm n số phõn biệt. Một dóy con k phần tử của A là dóy B gồm k số hạng phần tử của A xuất hiện theo ủỳng thứ tự mà chỳng xuất hiện trong A. Cú nghĩa là B = (ai1, ai2,…, aik) với i1 < i2 < …< ik. Dóy con B ủược gọi là tăng nếu ai1 < ai2 <…< aik, và giảm nếu ai1 > ai2 >…> aik.
Ta quan tõm ủến ủộ dài lớn nhất của dóy con tăng và giảm của A. Suy luận trực quan cho thấy phải cú một sự cõn ủối nhất ủịnh giữa hai ủộ dài này. Nếu như dóy con tăng dài nhất là ngắn, chẳng hạn cú chiều dài là s, thỡ mọi dóy con của A cú ủộ dài s+1 phải chứa cặp
44 | Trần Nam Dũng – 6/2010
phần tử giảm, như vậy cú rất nhiều cặp phần tử giảm. Vỡ thế ta trụng ủợi rằng dóy con giảm dài nhất sẽ lớn. Một trường hợp cực biờn xảy ra khi s = 1. Khi ủú cả dóy số A là giảm.
Làm sao ta cú thể số húa ủiều dự cảm rằng ủộ dài của dóy con tăng dài nhất và dóy con giảm dài nhất khụng thể cựng nhỏ ? Kết quả nổi tiếng của Erdos và Szekeres (1935) cho chỳng ta cõu trả lời cho cõu hỏi này và ủõy là một trong những kết quảủầu tiờn của tối ưu tổ hợp.
Định lý 4 (Erdos-Szekeres 1935). Cho A = (a1, a2,…, an) là dóy gồm n số thực phõn biệt. Nếu n ≥ rs + 1 thỡ hoặc A cú dóy con tăng ủộ dài s+1 hoặc A cú dóy con giảm ủộ dài r+1 (hay cả hai).
Chứng minh. (của Seidenberg 1959). Ta cho tương ứng mỗi phần tử ai của A với cặp “ủiểm số“ (xi, yi) trong ủú xi là số phần tử của dóy con tăng dài nhất kết thỳc tại ai và yi là số phần tử của dóy con giảm dài nhất bắt ủầu từ ai. Chỳ ý rằng khụng cú hai phần tử nào cú cựng ủiểm số, tức là (xi, yi) ≠ (xj, yj) với mọi i ≠ j. Thật vậy, nếu ta cú ... ai ... aj ..., thỡ hoặc ai < aj và dóy con tăng dài nhất kết thỳc tại ai cú thể kộo dài ủến aj (và do ủú xi < xj), hoặc ai > aj và dóy con giảm dài nhất bắt ủầu từ aj cú thểủược bắt ủầu từ ai (và như thế yi > yj).
Bõy giờ ta tạo ra một lưới gồm n chuồng thỏ. n
s
1
1 r n
Ta ủặt mỗi phần tử aivào chuồng với tọa ủộ (xi, yi). Mỗi một phần tử của A cú thể ủược ủặt vào một chuồng vỡ 1 ≤ xi, yi ≤ n với mọi i = 1, 2, ..., n. Hơn nữa, khụng cú chuồng nào ủược chứa nhiều hơn một phần tử, vỡ (xi, yi) ≠ (xj, yj) với mọi i ≠ j. Vỡ |A| = n ≥ rs + 1, ta cú nhiều vật hơn là số chuồng thỏ ủược tụ ủậm trong hỡnh vẽ trờn. Như vậy phải cú một phần tử ai nằm ngoài miền tụ ủậm. Nhưng ủiều này cú nghĩa là xi ≥ s+1 hoặc yi ≥ r + 1 (hoặc cả hai), ủỳng ủiều chỳng ta cần.
Tập hợp cỏc số thực ủược sắp toàn phần. Điều này cú nghĩa là với hai số phõn biệt x, y thỡ hoặc x < y hoặc y < x. Bổ ủề dưới ủõy, thuộc về Dilworth, sẽ tổng quỏt húa ủịnh lý Erdos-Szekeres cho cỏc tập hợp mà trong ủú hai phần tử cú thể khụng so sỏnh ủược.
45 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Một thứ tự bộ phận (yếu) trờn tập hợp P là quan hệ hai ngụi < giữa cỏc phần tử của P. Ta núi hai phần tử x và y là so sỏnh ủược nếu x < y hoặc y < x (hoặc cả hai). Một xớch là
một tập hợp Y ⊆ P sao cho hai phần tử bất kỳ của Y là so sỏnh ủược. Nếu khụng cú hai phần tử khỏc nhau nào của Y là so sỏnh ủược, thỡ Y ủược gọi là ủối xớch.
Bổ ủề 5 (Dilworth 1950). Trong mọi thứ tự bộ phận trờn tập hợp P gồm n ≥ sr + 1 phần tử, tồn tại xớch cú kớch thước s+1 hoặc ủối xớch cú kớch thước r+1.
Chứng minh. Giả sử rằng khụng cú xớc ủộ dài s+1. Khi ủú ta cú thể ủịnh nghĩa hàm số f: P {1,..., s} trong ủú f(x) là số phần tử lớn nhất của một xớch cú phần tử lớn nhất x. Theo nguyờn lý chuồng và thỏ, sẽ cú r+1 phần tử của P cú cựng ảnh qua ỏnh xạ f. Theo ủịnh nghĩa của f, cỏc phần tử này khụng so sỏnh ủược; và như vậy chỳng tạo thành một ủối xớch cú kớch thước r+1.
Bài tập 5. Từ bổủề Dilworh hóy suy ra ủịnh lý Erdos-Szekeres.
Bài tập 6. Cho n2+1 ủiểm trong mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại dóy gồm n+1 ủiểm (x1,y1),(x2,y2),…,(xn+1,yn+1) sao cho x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn+1 và y1 ≥ y2 ≥ … ≥ yn+1, hoặc dóy gồm n+1 ủiểm sao cho x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn+1 và y1 ≤ y2 ≤ … ≤ yn+1