4. (Vietnam TST 2001) Dóy số nguyờn dương a1, a2, …, an, … thoả món ủiều kiện
1 ≤ an+1 – an ≤ 2001 với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng tồn tại vụ số cặp số p, q sao cho q > p và aq chia hết cho ap.
26 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Nguyờn lý Dirichlet trong ủại số
Trong ủại số nguyờn lý Dirichlet ủược thể hiện qua tớnh chất cơ bản sau: Nếu trờn ủoạn [a, b] cú n số thực x1, x2, …, xn (n ≥ 2) thỡ tồn tại cỏc chỉ số i ≠ j sao cho |xi-xj| ≤ (b- a)/(n-1).
Vớ dụ 5. Giữa 7 số thực bất kỳ luụn tỡm ủược 2 số x và y sao cho . 3 1 1 0 ≤ + − < xy y x ”. Gọi cỏc số ủó cho là a1, a2, …, a7. Với mỗi số thực a, tồn tại số α thuộc khoảng (-π/2, π/2) sao cho a = tg(α). Giả sử a1 = tg(α1), a2 = tg(α2), …, a7 = tg(α7). Theo tớnh chất nờu trờn, trong 7 số α1, α2, …, α7 tồn tại hai số cú hiệu khụng vượt quỏ π/6. Giả sử hai số này là α
và β, trong ủú α > β. Khi ủú . 3 1 6 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 = − ≤ = + − < α β π β α β α tg tg tg tg tg tg Như vậy cỏc số x = tg(α) và y = tg(β) là cỏc số cần tỡm.
Định lý Kronecker về sự trự mật là một ủịnh lý cú nhiều ứng dụng trong giải tớch, ủại số, giải tớch phức. Dưới ủõy ta xột chứng minh rất sơ cấp của ủịnh lý này (ở dạng tương ủương)
Định lý Kronecker. Nếu α là số vụ tỷ thỡ tập hợp S ={ {nα} | n ∈ N*} trự mật trong [0, 1].
Chứng minh. Ta cần chứng minh rằng với mọi khoảng (a, b) ⊂ [0, 1], tồn tại số nguyờn dương n sao cho {nα} ∈ (a, b).
Trước hết, ta tỡm số nguyờn dương N sao cho N > 1/(b-a). Bõy giờ xột N+1 số {α}, {2α}, …, {(N+1)α} thuộc ủoạn [0, 1]. Theo nguyờn lý Dirichlet, tồn tại hai số {pα}, {qα} với 1 ≤ p < q ≤ N+1 sao cho |{pα} – {qα}| ≤ 1/N.
Để ý rằng {qα} – {pα} = qα - [qα] - pα + [pα] = (q-p)α - [qα] + [pα]. Do ủú nếu {qα} – {pα} > 0 thỡ {(q-p)α} = {qα} – {pα}, cũn nếu {qα} – {pα} < 0 thỡ {(q-p)α} = 1 – ({qα} – {pα})
Ta xột hai trường hợp
Trường hợp 1. 1/N > {qα} – {pα} > 0. Khi ủú ủặt k = q – p, ta tỡm ủược số nguyờn dương k sao cho 0 < {kα} < 1/N.
Bõy giờ ta gọn m là số nguyờn dương nhỏ nhất sao cho m{kα} > a thỡ ta cú (m- 1){kα} ≤ a. Do ủú m{kα} ≤ a + {kα} < a + 1/N < b. Suy ra m{kα} ∈ (a, b) ⊂ [0, 1].
27 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Nhưng mkα = m[kα] + m{kα}. Do 0 < m{kα} < 1 nờn từ ủõy ta cú {mkα} = m{kα}. Đặt n = mk, ta cú {nα} ∈ (a, b) (ủpcm).
Trường hợp 2. 0 > {qα} – {pα} > -1/N. Khi ủú ủặt k = q – p, ta tỡm ủược số nguyờn dương k sao cho 1 – 1/N < {kα} < 1. Đặt β = 1 - {kα} thỡ 0 < β < 1/N. Chứng minh tương tự như trờn, ta tỡm ủược số nguyờn dương m sao cho mβ thuộc (1-b, 1-b), tức là
1 – b < m(1 - {kα}) < 1 – a a < m{kα} – m + 1 < b a < {m{kα}} < b Cuối cựng, ta cú mkα = m[kα] + m{kα} nờn {mkα} = {m{kα}} nờn ủặt n = mk ta cú ủiều phải chứng minh.
Một tỡnh huống rất ủơn giản khỏc của nguyờn lý Diriclet lại cú những ứng dụng rất hiệu quả trong nhiều bài toỏn chứng minh bất ủẳng thức, ủặc biệt là cỏc bất ủẳng thức cú ủiều kiện. Đú là chỳ ý sau: Với m là một số thực cho trước và n ≥ 3 số thực a1, a2, …, an bất kỳ thỡ luụn tỡm ủược hai số trong cỏc số này nằm cựng một phớa ủối với m.
Gọi hai sốủú là x và y thỡ ta cú bất ủẳng thức hiển nhiờn sau: (x-m)(y-m) ≥ 0, từủú xy + m2 ≥ m(x+y). Như vậy, ta ủó so sỏnh ủược hai ủại lượng khụng cựng bậc với nhau. Sau ủõy chỳng ta sẽ xem xột một số vớ dụ ỏp dụng.
Vớ dụ 6. Cho x, y, z là cỏc số thực dương thoả món ủiều kiện x + y + z + 1 = 4xyz. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ x + y + z. í tưởng ủầu tiờn ta nghĩủến là xử lý ủiều kiện bằng phộp thế 1 4 1 − + + = yz y x z vào bất ủẳng thức cần chứng minh, viết lại thành xy y x y x xy y x + − ≥ + − − + + ) 1 ( 1 4 1
Đến ủõy, ủường lối chứng minh ủó hỡnh thành. Vế trỏi rừ ràng ≥ 1 với mọi x, y cũn vế phải sẽ ≤ 1 nếu x, y nằm cựng phớa nhau ủối với 1. Nhưng ủiều này, theo nhận xột ủơn giản ở trờn ta luụn cú thể chọn ủược. Vớ dụ 7. Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm. Chứng minh rằng (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 Áp dụng bất ủẳng thức CBS, ta cú (a + b + c)2 ≤ (a2 + 1 + 1)(1 + b2 + c2) = (a2 + 2)(b2 + c2 + 1). Như vậy ta chỉ cũn cần chứng minh (b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(b2 + c2 + 1)
28 | Trần Nam Dũng – 6/2010
(b2 – 1)(c2 – 1) ≥ 0
Điều này luụn cú ủược nếu ta chọn b2, c2 cựng phớa nhau ủối với 1.
Bài tập
5. Cho a, b, c > 0, x = a + 1/b, y = b + 1/c, z = c + 1/a. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 2(x+y+z) xy + yz + zx ≥ 2(x+y+z)
6. (USA MO 2001) Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thoả món ủiều kiện a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chứng minh rằng minh rằng
0 ≤ ab + bc + ca – abc ≤ 2.
7. Với i = 1, 2, …, 7 cỏc số ai, bi là cỏc số thực khụng õm thoả món ủiều kiện ai + bi ≤ 2. Chứng minh rằng tồn tại cỏc chỉ số i ≠ j sao cho |ai – aj| + |bi – bj| ≤ 1. rằng tồn tại cỏc chỉ số i ≠ j sao cho |ai – aj| + |bi – bj| ≤ 1.
8. (VMO 1996) Cho x, y, z là cỏc số thực dương thoả món ủiều kiện xy + yz + zx + xyz = 4. Chứng minh rằng rằng
x + y + z ≥ xy + yz + zx.
9. Tỡm số thực k nhỏ nhất sao cho xyz + 2 + k[(x-1)2 + (y-1)2 + (z-1)2] ≥ x + y + z với mọi x, y, z > 0.
Nguyờn lý Dirichlet trong tổ hợp
Tổ hợp là mảnh ủất màu mỡ nhất cho cỏc phương phỏp và kỹ thuật chứng minh. Và nguyờn lý Dirichlet khụng phải là một ngoại lệ. Trong tổ hợp, một ủặc ủiểm ủặc trưng là sự bựng nổ tổ hợp của cỏc trường hợp, vỡ vậy, nguyờn lý Dirichlet cựng với cỏc nguyờn lý khỏc như nguyờn lý cực hạn, nguyờn lý bất biến chớnh là những cụng cụ quan trọng ủể chỳng ta ủịnh hướng trong “biển” cỏc trường hợp.
Nguyờn lý Dirichlet thường ủược sử dụng trong cỏc bài toỏn ủồ thị, tụ màu, cỏc bài toỏn về thi ủấu thể thao (ủồ thị cú hướng), quen nhau (ủồ thị vụ hướng).
Vớ dụ 8. Trong một giải búng chuyền cú 8 ủội tham gia, thi ủấu vũng trũn 1 lượt. Chứng minh rằng tỡm ủược 4 ủội A, B, C, D sao cho A thắng B, C, D, B thắng C, D và C thắng D.
Trong búng chuyền khụng cú hoà, do ủú 8 ủội thi ủấu vũng trũn 1 lượt thỡ sẽ cú tất cả 28 trận thắng. Theo nguyờn lý Dirichlet, tồn tại ủội búng A cú ớt nhất 4 trận thắng. Xột 4 ủội thua A. 4 ủội này ủấu với nhau 6 trận, do ủú tồn tại một ủội thắng ớt nhất 2 trận (trong số cỏc trận ủấu giữa 4 ủội này với nhau). Giả sửủú là B và C, D là 2 ủội thua B. Cuối cựng, nếu C thắng D thỡ A, B, C, D là 4 ủội cần tỡm, cũn nếu D thắng C thỡ 4 ủội cần tỡm là A, B, D, C.
Bài toỏn Ramsey là một trong những bài toỏn kinh ủiển mà những trường hợp cơ sở của nú rất thỳ vị và phự hợp với mức ủộ toỏn sơ cấp.
29 | Trần Nam Dũng – 6/2010
Vớ dụ 9. Chứng minh rằng trong một nhúm 6 người bất kỳ cú 3 người ủụi một quen nhau hoặc 3 người ủụi một khụng quen nhau.
Hai người bất kỳ cú thể quen nhau hoặc khụng quan nhau. Xột một người A bất kỳ thỡ cú 5 người khỏc hoặc quen A hoặc khụng quen A. Do ủú, theo nguyờn lý Dirichlet, phải xảy ra một trong hai trường hợp:
1) A quen ớt nhất 3 người
2) A khụng quen ớt nhất 3 người
Ta xột trường hợp thứ nhất: A quen với ớt nhất 3 người, chẳng hạn B, C, D. Nếu trong 3 người B, C, D cú ớt nhất một cặp quen nhau, chẳng hạn B quen C thỡ ta cú A, B, C ủụi một quen nhau. Trong trường hợp ngược lại, ta cú B, C, D ủụi một khụng quen nhau. Trường hợp thứ hai ủược xột hoàn toàn tương tự. Bài toỏn ủược chứng minh.
Vớ dụ 10. Trong một nhúm gồm 2n+1 người với mỗi n người tồn tại một người khỏc n người này quen với tất cả họ. Chứng minh rằng trong nhúm người này cú 1 người quen với tất cả mọi người.
Ta chứng minh rằng trong nhúm người này cú n+1 người ủụi một quen nhau. Rừ ràng cú 2 người quan nhau và nếu như cú k người ủụi một quen nhau (trong ủú k ≤ n) thỡ tồn tại một người khỏc trong số họ quen với k người này. Từủú suy ra tồn tại n+1 người ủụi một quen nhau A1, A2, …, An+1.
Xột n người cũn lại. Theo ủiều kiện,tồn tại một người Ai quen với tất cả n người này. Nhưng khi ủú Ai quen với tất cả mọi người.
Bớ quyết thành cụng của nguyờn lý Dirichlet chớnh là kỹ thuật “xõy chuồng” và “tạo thỏ”. Trong nhiều bài toỏn, chuồng là gỡ, thỏ là gỡ khỏ rừ ràng, nhưng trong nhiều bài toỏn, xõy chuồng và tạo thỏ là cả một sự tinh tế. Ta phải biết “chọn cỏc thành phần chớnh” và “hướng ủến mục tiờu”.
Vớ dụ 11. Cỏc số từ 1 ủến 200 ủược chia thành 50 tập hợp. Chứng minh rằng trong một cỏc tập hợp ủú cú ba số là ủộ dài 3 cạnh của một tam giỏc.
Thoạt nhỡn bài toỏn cú vẻ khỏ rối. Nhưng nếu ủể ý rằng với 0 < a < b < c thỡ ủiều kiện cần và ủủ ủể a, b, c là ủộ dài ba cạnh của một tam giỏc là a + b > c thỡ bài toỏn trở nờn ủơn giản hơn. Rừ ràng nếu chỉ xột cỏc số từ 100 ủến 200 thỡ ba số bất kỳ ủều là ủộ dài 3 cạnh của 1 tam giỏc (a + b ≥ 100 + 101 = 201 > c). Từ ủú chỉ cần xột 101 con thỏ là cỏc số từ 100 ủến 200 rồi ỏp dụng nguyờn lý Dirichlet cho 50 cỏi chuồng tập hợp là xong. Ở ủõy, rừ ràng cỏc số từ 1 ủến 99 chỉ cú tỏc dụng gõy nhiễu.
Vớ dụ 12. Trờn bàn cờ quốc tế cú 8 quõn xe, ủụi một khụng ăn nhau. Chứng minh rằng trong cỏc khoảng cỏch ủụi một giữa cỏc quõn xe, cú hai khoảng cỏch bằng nhau. Khoảng
30 | Trần Nam Dũng – 6/2010
cỏch giữa hai quõn xe bằng khoảng cỏch giữa tõm cỏc ụ vuụng mà quõn cỏc quõn xe ủứng.
Trước hết ta mụ hỡnh hoỏ bài toỏn. Để ý rằng khoảng cỏch giữa ụ (p, q) và ụ (m, n) bằng (p-m)2 + (q-n)2. Ta cần chứng minh rằng nếu p1, p2, …, p8 là một hoỏn vị của (1, 2, 3, …, 8) thỡ tồn tại cỏc tập chỉ số {m, n} ≠ {p, q} sao cho (m-n)2 + (pm-pn)2 = (p-q)2 + (pp – pq)2. 8 quõn xe tạo ra 28 khoảng cỏch. Nhưng nếu ta tỡm 2 khoảng cỏch bằng nhau giữa cả 28 quõn xe này thỡ ta sẽ gặp khú khăn. Ta giới hạn trong việc tỡm cỏc cặp chỉ số dạng {n, n+1}. Cú 7 cặp như vậy. Khi ủú, ta chỉ cần tỡm n ≠ m sao cho (pn+1-pn)2 = (pm+1-pm)2. Vỡ 1 ≤ pi ≤ 8 nờu (pn+1-pn)2 chỉ cú thể là 1 trong 7 giỏ trị 12, 22, …, 72. Vỡ thế chỉ cú thể xảy ra hai trường hợp.
Trường hợp 1. Tồn tại n ≠ m sao cho (pn+1-pn)2 = (pm+1-pm)2. Khi ủú cỏc cặp quõn xe tại ụ (n, pn), (n+1, pn+1) và (m, pm), (m+1, pm+1) là cỏc cặp xe cần tỡm.
Trường hợp 2. Cỏc số (pn+1-pn)2ủụi một phõn biệt. Khi ủú tồn tại n sao cho (pn+1-pn)2 = 4.
Lỳc này, xoay hàng thành cột, ta lại ủi ủến việc hoặc tồn tại n ≠ m sao cho (qn+1-qn)2 = (qm+1-qm)2 hoặc tồn tại k sao cho (qk+1-qk)2 = 22. Trong trường hợp thứ nhất, bài toỏn ủược giải quyết tương tự như trường hợp 1 ở trờn. Trong trường hợp thứ
hai, cỏc quõn xe tại ụ (n, pn), (n+1, pn+1) và (qk+1,k+1), (qk, k) là cỏc cặp xe cần tỡm.
Bài tập