IV -CHỨNG MINHTỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
C.MỘT SỐ DẠNG HÌNH CƠ BẢN
I,Từ một điểm nằm nghoài (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến II,Đa giác nội tiếp đường tròn (Đường tròn ngoại tiếp) III, Hai đường tròn cắt nhau
IV,Hai đường tròn tiếp xúc V, Nửa đường tròn
VI,Đường tròn nội tiếp Đa giác VII,Không có đường tròn
BÀI TẬP
DẠNG 1 : Từ một điểm ở ngoài đường tròn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đường tròn
Bài 1 : Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai cát tuyến MAB,MCD. a) Chứng minh MA.MB = MC.MD
b) AD cắt BC tại N .Chứng minh NA.ND = NB.NC
c) Kẻ tiếp tuyến MP . Chứng minh MP2 = MA.MB = MC.MD
Bài 2 ( Đề năm 02-03)
Cho đường tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (Q, P là hai tiếp điểm) và một cát tuyến cắt đường tròn tại A và B.
a. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh 4 điểm P, Q, O, I nằm trên một đường tròn
b. PQ cắt AB tại E. Chứng minh MP 2 = ME. MI c. Qua A kẻ một đường thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần lượt tại H,K.Chứng minh Tứ giác AHIQ nội tiếp và KB = 2. HI
Bài 3( Đề năm 06-07)Cho điểm A ở bên ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M≠B, M ≠C ). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. Chứng minh : a) MECF ,MHFK là tứ giác nội tiếp.
b) MF2 = MD.ME
b) MF vuông góc với HK.
c) DF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A . Đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần lượt tại B,C.Qua C kẻ một đường thẳng song song với AB cắt (O) tại D .AD cắt (O) tại E .Chứng minh: a) AE.AD = OA2 – OD2
GA2 = GE.GC
c) Chứng minh : GA= GB
Bài 5 : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB và cát tuyến MCD .Tia phân giác của góc CAD cắt CD tại I . Chứng minh a) MI = MA
b) BI là tia phân giác của góc CBD.
Bài 6 : Từ điểm M nằm ngoại (O) kẻ cát tuyến MCD. Tiếp tuyến với (O) tại C,D cắt nhau tại A.Gọi H là hình chiếu của A trên OM. Chứng minh:
a) 5 điểm C,D,O,A,H cùng thuộc một đường tròn. b) MH.MO = MC.MD
c) Kẻ tiếp tuyến MB
Chứng minh MH.MO = MB2 Từ đó H cố định.
d)* A,H,B thẳng hàng. e)*AH cắt (O) tại E .Cm ME là tiếp tuyến của (O)
Bài 7 : cho (O) và đường thẳng d cắt (O)
Tại A,B. M thuộc đường thẳng d và nằm ngoài (O) .Kẻ 2 tiếp tuyến MC,MD . Chứng minh:
a)Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn đi qua 2 điểm cố định b)Xác định vị trí của M để tam giác MCD vuông
Bài 8 : Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn (O). Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O).
a) Chứng minh SO vuông góc với AB.
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh OI.OE = R2.
d) Cho biết SO = 2R và MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R.
DANG2 : Đa giác nội tiếp đường tròn
Bài 9: (đề 06-07) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc
E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh
a) CEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM c) BE. DN = EN . BD
Bài 10: Cho tam giác PQR nội tiếp đường tròn tâm O, đ ường phân giác trong của góc P cắt cạnh QR tại D và đ ường tròn ngoại tiếp tại I.
a)Chứng minh OI vuông góc với cạnh QR. b)Chứng minh đẳng thức QI2 = PI.DI
c)Gọi H là hình chiếu vuông góc của P trên cạnh QR. Cm QPˆH = RPˆ O
d)Chứng minh góc HPˆ O = |Q - R|
Bài11: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đư ờng tròn tâm O, kẻ đường kính AD.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật .
b) Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD; AH là đường cao của tam giác (H trên cạnh BC). Chứng minh HM vuông góc với cạnh AC.
d) Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R.
Chứng minh : r + R ≥ AB.AC
Bài 12: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) .Đường cao AH .Kẻ đường kính AD.
Chứng minh: a) AB.AC = AH.AD
b) Diện tích tam giác ABC = ( AB.AC.BC):(4.OA)
Bài 13 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O) .Tia phân giác của các góc B , C cắt nhau ở E và cắt (O) lần lượt tại F,D. Chứng minh:
a) AD // BF
b) Tứ giác ADEF là hình thoi c) Qua E kẻ một đường thẳng song song với AC cắt AB tại G Chứng minh tứ giác BEGD nội tiếp DF cắt AC tại H .Chứng minh
H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF
Bài 14 : Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đường tròn, chúng cắt nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đường tròn tại E, F và cắt AC tại I.
b) Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm trên một đường tròn c) Chứng minh IE=IF
d) Chứng minh ID là phân giác góc BIC
e) Cho B,C cố định , khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên đường nào ?
Bài15 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O). D,E là điểm chính giữa của cung AB, AC. DE cắt AB và AC tại H,K.
a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD tại I, Chứng minh rằng AI vuông góc với DE c) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp
d) Chứng minh rằng IK//AB
e) tam giác ABC có thêm điều kiện gì ? thì AI//EC
Bài 16 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. P là điểm chính giữa của cung AB( phần không chứa C,D). Hai đây PC, PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minhrằng:
a) Góc CID bằng góc CKD. b) Tứ giác CDEF nội tiếp được.
c) PC.PE = PD.F d) IKCD nội tiếp e) IK//AB.
f) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB,AD kéo dài lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF bằng hai phương pháp.
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM vuông góc với BD.
c) Tiếp tuyến tại B và D với đường tròn (O) cắt EF lần lượt tại I, J. Chứng minh I và J lần lượt là trung điểm của CE và CF. d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AD và cung
nhỏ AD, biết AB=6 và AD=6 3.
Bài 18 :Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính BD(AC cắt BO). Kéo dài AB và DC cắt nhau ở E;CB và DA cắt nhau tại F.
b) Chứng minh BCGF , ABGF nội tiếp c) Chứng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG
d) Chứng minh B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACG. e) Cho góc ABC bằng 1350, hãy tính độ dài AC theo BD.
Bài 19 :Cho tam giácABC cân tại A( góc A<900) nội tiếp đường tròn (O). Một điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:
a) Góc AMD bằng góc ABC. b) Tam giác BMD cân
c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một cung tròn cố định và độ lớn của góc BDC không đổi .
DẠNG 3 : Hai đường tròn cắt nhau
Bài20( Đề 03-04)Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O
1) và (O
2) về phía nửa mặt phẳng bờ O
1O
2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F . Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đ ường tròn O
1, O
2 thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I.
1. Chứng minh IA vuông góc với CD
3. Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm EF
Bài 21: Cho hai đường tròn (O
1) và (O
2) cắt nhau tại A và B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc với AB , vẽ cát tuyến chung EBF bất kỳ ( C,E thuộc (O
1) ,E thuộc cung BC ) . a)Chứng minh A, O1, C thẳng hàng và AD đi qua O2
b) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và FD .Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp và K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
c) Khi E di chuyển trên cung BC thì K di chuyển trên đường nào
Bài 22 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường tròn tâm I đường kính AB cắt đường tròn tâm K đường kính AC tại điểm thứ hai H .Qua A kẻ cát tuyến EF ( E thuộc (I) .Gọi M là trung điểm của EF ,N là trung điểm của BC .Chứng minh
a) B,H,C thẳng hàng
b) 6 điểm A , I , H , N , K, M cùng thuộc đường tròn c) AB là tiếp tuyến của (K) và AC là tiếp tuyến của (I)
d) Khi EF quay quanh A thì M di chuyển trên một đường tròn cố định
Bài 23: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi BC là một tiếp tuyến chung ngoài . BC ở . OI cắt (O) tại D cắt (I) tại E .Chứng minh
a) A , B , C cùng thuộc một đường
b) B thuộc đường tròn nội tiếp tam giác CDE
c) OI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC và ngược lại d) Cho R=6 cm ; r =2 cm tính diện tích của hình giới hạn bởi đoạn
thẳng BC với các cung AB, AC
Bài 24: Cho (O) và (P) tiếp xúc ngoài tại A . Đường thẳng OP cắt (O) , (P) lần lượt tại B,C .Tiếp tuyến chung MN ( M thuộc (O) ) cắt tiếp tuyến chung tại A ở I .Chứng minh: a) I thuộc đường tròn đường kính OP
b) MN2 = 4. OA.PN
c) BM vuông góc với CN
d) AM cắt (O) tại E và AN cắt (P) tại F .chứng minh : BC2 = ME2 + NF2
Bài 25 : Hai đường tròn (O; R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại điểm A (R > r). Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài
(B ẻ (O) ; Cẻ (O’). M là trung điểm của OO’, H là hình chiếu của M trên BC.
a) Tính góc OHO’
b) Chứng minh OH là tia phân giác của góc AOB
c) Chứng minh AH là tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn (O) và (O’)
d) Cho R = 4 cm ; r = 1 cm . Tính các độ dài BC ; AM
Bài 26 : Cho hai đường tròn (O1),(O2) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng (d) tiếp xúc với (O1),(O2) lần lượt tại B, C.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
c) Chứng minh góc O 1MO
2 bằng 900
d) Các tia BA, CA lần lượt cắt (O1),(O2) tại các giao điểm thứ hai D, E. Chứng minh diện tích tam giácADE bằng diện tích tam giác ABC .
Dạng 5 : Nửa đường tròn
Bài 27: Cho M thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính AB .Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By .Tiếp tuyến tại M cắt Ax , By lần lượt ở C ,D .Các đường thẳng AD, BC cắt nhau ở N .Chứng minh : a) CD - AC = BD b) Tam giác CDO vuông
c) MN // AC d) CD.MN = CM.DB e) Xác định vị trí của M để Diện tích đường tròn đường kính CD nhỏ nhất
g) MN cắt AB tại H .Chứng minh : MN = NH
Bài 28 : Cho C thuộc nửa đường tròn đường kính AB . I là điểm chính giữa của cung AC .AI cắt BC tại M .Chứng minh : a) MI.MA = MC.MB b) tam giác ABM cân
c) AC cắt BI tại H ,MH cắt AB tại N .Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác NIC d) Gọi K là điểm đối xứng với H qua I .Chứng minh KA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
Bài 29 :Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đờng tròn
(D ≠ A và D ≠ B). Dựng hình bình hành ABCD. Từ D kẻ DM vuông góc với đờng thẳng AC tại M và từ B kẻ BN vuông góc với đ ờng thẳng AC tại N.
a. Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đ ờng tròn. b. Chứng minhAD . ND = BN . DC
c. Tìm vị trí của D trên nửa đờng tròn sao cho BN . AC lớn nhất.
Bài 30 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì
nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D.
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh ΔMNK cân.
3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 31 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R và một điểm M bất kì nằm trên nửa đường tròn (M khác A và B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I.Dường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM).
a) Chứng minh các tia OC,OD là các tia phân giác của các góc ACM và BOM.
d) Tìm một vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó theo R.
Các bài khác
Bài 32 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm M di động trên đờng tròn. Gọi N là điểm đối xứng với A qua M, P là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BN với đờng tròn (O); Q.R là giao điểm của đ - ờng thẳng BM lần lợt với AP và tiếp tuyến tại A của đ ờng tròn (O).
a) Chứng minh rằng điểm N luôn luôn nằm trên đ ờng tròn cố định tiếp xúc với đờng tròn (O). Xác định tâm và BK của đường tròn đó.
b) Chứng minh RN là tiếp tuyến của đờng tròn (B;AB) c) Tứ giác ARNQ là hình gì ? Tại sao ?
Bài 33 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Dây CD không qua O vuông góc với AB tại H. Dây CA cắt đ ờng tròn đờng kính AH tại E và đờng tròn đờng kính BH cắt dây CB tại F. Chứng minh rằng :
a) CEHF là hình chữ nhật.
b) EF là tiếp tuyến chung của các đờng tròn đờng kính AH và đờng kính BH.
c) 12 12 12
CBCA CA
Bài 34 Cho tam giác vuông ABC ( Cˆ = 900), O là trung điểm của AB và D là điểm trên cạnh AB ( D không trùng với A, O, B ). Gọi I và J thứ tự là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ACD và BCD. 1. Chứng minh OI song song với BC
2. Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn
3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc ACB khi và chỉ khi OI = OJ
Bài 35 : Cho tam giác vuông MNP ( Mˆ = 900), Đờng cao MH (H
trên cạnh NP). Đờng tròn đờng kính MH cắt cạnh MN tại A và cắt
cạnh MP tại B.
1) Chứng minh AB là đờng kính của đờng tròn đờng kính MH 2) Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.
3) Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I. Chứng minh IN = IP
Bài36: Cho tam giác vuông ABC (AC > AB, Aˆ = 900). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đ ờng tròn nội tiếp với cạnh AB , BC , CA lần lợt tại M , N , P.
2. Đờng thẳng AI cắt PN tại D . Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờng tròn
3*. Đờng thẳng BI và CI kéo dài cắt AC , AB lần l ợt tại E và F. Chứng minh BE. CF = 2 BI .CI
Bài 37 :Cho đờng tròn tâm(O). AB là dây cố định của đờng tròn
