PHẦN II: NỘI DUNG
8.Kiểm tra quan hệ Mặt phẳn g- Mặt phẳng
Begin
- Nhập tọa độ 3 điểm A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb ), C(xc, yc, zc) để xác định tọa độ mp(ABC)
- Nhập tọa độ 3 điểm M(xm , ym , zm), P(xp , yp , zp ), Q( xq , yq , zq) để xác định tọa độ mặt phẳng mp(MPQ).
- Tính tọa độ các véc tơ của mp( ABC) vector AB = ( xb - xa , yb - ya , zb - za ) vector AC = ( xc - xa , yc - ya , zc - za )
(3 điểm A,B,C tạo thành mp(ABC) nên vector AB không cùng phương với vectơ AC)
-Tính tích có hướng của 2 vector AB, AC là n = (AB x AC),n chính là pháp vector của mp(ABC) có tọa độ :
n = AB x AC = (( yb - ya )*( zc - za ) - ( yc - ya )*( zb - za ), ( zb - za )*( xc - xa ) - ( zc - za )*( xb - xa ), ( xb - xa )*( yc - ya ) - ( xc - xa )*( yb - ya )) Nếu chúng ta đặt: A = ( yb - ya )*( zc - za ) - ( yc - ya )*( zb - za ) B = ( zb - za )*( xc - xa ) - ( zc - za )*( xb - xa ) C = ( xb - xa )*( ya - yb ) - ( xc - xa )*( xb - xa) D = -xaA - yaB - zaC .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng mp(ABC) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 - Tính tọa độ các vector của mặt phẳng mp(MPQ) :
vector MP = ( xp - xm , yp - ym , zp - zm ) vector MQ = (xq - xm , yq - ym , zq - zm )
(3 điểm M, P, Q tạo thành mp(MPQ) nên vector MP không cùng phương với vector MQ)
- Tính tích có hướng của 2 vector MP, MQ là m = MP x MQ, m chính là pháp vector của mp(MPQ), có tọa độ :
m = MP x MQ
KĨ THUẬT ĐỒ HỌA Trang 41
yp -ym zp -zm zp -zm xp -xm xp - xm yp - ym yq -ym zq -zm , zq -zm xq -xm , xq - xm yq - ym m =
hay có thể viết như sau: m = MP x MQ = (( yp - ym )*( zq -zm ) - (yq - ym )*( zp -zm ), ( zp -zm )* (xq - xm ) - ( zq -zm ) *(xp - xm ), (xp - xm )*( yq - ym ) - (xq - xm )*( yp - ym )) Nếu chúng ta đặt: A1 = (yp - ym )*( zq -zm ) - (yq - ym )*( zp -zm ) B1 = ( zp -zm )* (xq - xm ) - ( zq -zm ) *(xp - xm ) C1 = (xp - xm )*(yp - ym ) - (xq - xm )*( xp - xm) D1 = -xmA1 - ymB1 - zmC1 .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng mp(MPQ): mp(MPQ) = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 - Xét sự tương quan của 2 mặt phẳng trên:
• Nếu (A/A1 = B/B1 = C/C1) xuất ra kết quả “Hai mặt phẳng trùng nhau“.
• Nếu (A/A1 = B/B1 = C/C1 <> D/D1) xuất ra kết quả “Hai mặt phẳng song song với nhau“.
• Nếu (A/A1 <> B/B1) hoặc (B/B1 <> C/C1) hoặc(A/A1 <> C/C1)xuất ra kết quả “Hai mặt phẳng cắt nhau“.
- Hai mặt phẳng mp(ABC) và mp(MPQ) cắt nhau theo một giao tuyến là đường thẳng có phương trình là hệ phương trình của hai mặt phẳng mp(ABC) và mp(MPQ):
Ax + By + Cz + D = 0 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 - Tính tọa độ giao điểm thuộc giao tuyến:
• Nếu (A/A1 <> B/B1) thì tọa độ z có thể được chọn tuỳ ý cho đơn giản, dùng định thức cấp 2 tìm tọa độ giao tuyến :
Ax + By + Cz + D = 0 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 Ta tính được: Dx1 = AB2 - A1B Dx1= B1(-D - Ck1 ) + B( D1 + C1k1 ) Dy1= A(-D1 – C1k1 ) + A1( D + C1k1 ) Suy ra: X1 = Dx1/ D Y1 = Dy1/ D Z1= k1 ⇒ Tọa độ I(X1 , Y1 , Z1) • Tìm tọa độ điểm thứ 2:
Dx2 = AB2 - A1B Dx2= B1(-D - Ck2 ) + B( D1 + C1k2 ) Dy2 = A(-D1 - C1k2 ) + A1( D + C1k2 ) X2 = Dx2/ D Y2 = Dy2/ D Z2 = k2 ⇒ Tọa độ J(X2 , Y2 , Z2)
• Xuất tọa độ 2 điểm thuộc giao tuyến J(X2, Y2 , Z2 ) và I(X1, Y1, Z1) - Nếu hai mặt phẳng song song, tính khoảng cách của 2 mặt phẳng:
• Tìm giao điểm của đường thẳng d qua điểm M( xm, ym, zm) và vuông góc với mp(ABC), có vector chỉ phương là pháp vector của mp(ABC) là vector n=(A,B,C).
• Viết phương trình tham số của đường thẳng d: X = At + xm
Y = Bt + ym
Z = Ct + zm
• Thay X, Y, Z vào phương trình mặt phẳng mp(ABC): A( At + xm)+B( Bt + ym) + C(Ct + zm) + D = 0
t = -(Axm + Bym + Czm + D ) / ( A2 + B2 + C2 )
• Thay t vào phương trình tham số của đườngthẳng d: + Ta có tọa độ điểm cắt H(Xh, Yh, Zh): Xh= A(-(Axd + Byd + Czd + D ) / ( A2 + B2 + C2 ))+ xd Yh= B(-(Axd + Byd + Czd + D ) / ( A2 + B2 + C2 )) + yd Zh= C(-(Axd + Byd + Czd + D ) / ( A2 + B2 + C2 )) + zd
• Khoảng cách hai mp(ABC) và mp(MPQ) là đoạn MH:
dmh =|MH | = sqrt ( ( xh - xm)2 + ( yh - ym )2 + ( zh - zm )2 )
• Xuất khoảng cách dmh End.
9. Kiểm tra tính đồng phẳng
của đa giác