Hàm mũ và hàm logarit
4.3Nhóm con một tham số
Định nghĩa 4.3.1. Nhóm con một tham số γ trong nhóm ma trận G là đồng cấu trơn từ nhóm cộng R vào G
γ : R→G.
Nếu ta xác định được γ trên U là lân cận mở của 0 thì với x ∈R, 1
nx∈ U và
γ(x) = γn(1 nx).
Ví dụ 4.3.1. Cho k ∈ {R,C,H} và A ∈Mn(k). Thì
γ(u) =euA =I +uA+u2A
2
2! +....
là nhóm con một tham số của GL(n, k) và γ0(0) = A.
Mệnh đề 4.3.2. Cho γ là nhóm con một tham số của GL(n, k) thì tồn tại A ∈
Mn(k) sao cho
γ(u) =euA.
Chứng minh. Cho σ(u) = logγ(u) thì σ là đường cong trong Mn(k) với
γ(u) =eσu.
Cho σ0(0) = A. Ta cần chỉ ra σ(u) là đường thẳng đi qua 0 trong Mn(k), lúc đó
σ(u) = uA. Cho u cố định σ0(u) = lim v→0 σ(u+v)−σ(u) v = lim v→0 logγ(u+v)−logγ(u) v = lim v→0 logγ(u)γ(v)−logγ(u) v . Vìu+v = v+u ⇒γ(u+v) = γ(v+u)⇒γ(u)γ(v) =γ(v)γ(u)⇒ γ(u) vàγ(v) giao hoán. Vì thế
logγ(u)γ(v) = logγ(u) + logγ(v).
Nên
σ0(u) = lim
v→0
logγ(v)
v = σ0(0).
Điều này chứng minh σ0(u) độc lập với u suy ra σ(u) là đường thẳng đi qua 0 trong Mn(k).
Như ta đã biết ở chương III nếu A ∈ Mn(k) thì A là tiếp tuyến của GL(n, k) tạiI.Vậy vectơ tiếp tuyến bất kỳ vớiGL(n, k)là đạo hàm tại 0 của nhóm con một tham số nào đó. Bây giờ ta chứng minh điều này cũng đúng với các nhóm trực giaoϑ(n, k).
Mệnh đề 4.3.3. Nếu A là vectơ tiếp tuyến với ϑ(n, k) thì tồn tại duy nhất một nhóm con một tham số γ trong ϑ(n, k) sao cho
Chứng minh. Theo định nghĩa A = ρ0(0) với ρ là đường cong trong ϑ(n, k). Vì thế ρ(u)ρ(u)T = I. Cho nên ρ0(0) +ρ0(0)T = 0. Nghĩa là A+AT = 0.
Choγ(u) =euA là nhóm con một tham số của GL(n, k), nó nằm trongϑ(n, k)vì
γ(u)γ(u)T =euAeuAT =eu(A+AT) = I.
Mệnh đề được chứng minh.
Vì thế với GL(n, k) và ϑ(n, k) ta có tương ứng 1-1 giữa vectơ tiếp tuyến và nhóm con một tham số. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lấy k =R ta có không gian vectơ tiếp tuyến của O(n) = ϑ(n,R) làso(n) (không gian vectơ của tất cả các ma trận đối xứng lệch). Vì thế
dimO(n) = dimso(n) = n(n−1)
2 .
Lấy k =C ta có không gian vectơ tiếp tuyến của U(n) = ϑ(n,C) là su(n)(không gian vectơ của tất cả các ma trận phức hermitian lệch). Vì thế
dimU(n) =dimsu(n) = n2.
Lấy k = H ta có
dimSp(n) =n(2n+ 1).