Chương 3 Đồng cấu
3.1Đường cong trong không gian vectơ
Chúng ta sẽ định nghĩa bất biến đầu tiên của nhóm ma trận, đó là số chiều của nó. Những nhóm ma trận mà có số chiều khác nhau thì không thể đẳng cấu với nhau. Số chiều của nhóm ma trận là số chiều của không gian gồm các vectơ tiếp tuyến của nó (không gian này là không gian vectơ), vì vậy trước tiên chúng ta sẽ định nghĩa điều này.
Cho V là không gian vectơ thực Rn hữu hạn chiều. Đường cong Y trong V là hàm liên tục Y : (a, b) →V với (a, b) là khoảng mở trong R.
Ta nhắc lại một ít về giới hạn của Y(t):
Y : (a, b) →V t 7→Y(t)
β = {e1, ..., en} là cơ sở của V. Tọa độ của Y(t) đối với cở β là Y(t) = (Y1(t), ..., Yn(t)) Nếu lim t→t0 Y1(t) tồn tại, ta ký hiệu nó là Y1(t0) lim t→t0 Y2(t) tồn tại, ta ký hiệu nó là Y2(t0)... lim t→t0 Yn(t) tồn tại, ta ký hiệu nó là Yn(t0).
Lúc đó ta nói lim t→t0 Y(t) tồn tại, ta ký hiệu nó là lim t→t0 Y(t) = (Y1(t0), ..., Yn(t0)).
Cho c ∈ (a, b), ta nói Y khả vi tại c nếu
lim
h→0
Y(c+h)−Y(c) h
tồn tại. Khi giới hạn này tồn tại, nó là vectơ trong V. Chúng ta ký hiệu nó là
Y0(c) và gọi nó là vectơ tiếp tuyến của Y tại Y(c). Nếu ta chọn cơ sở cho V và biểu diễn Y như (Y1, ..., Yn)(với Yimang giá trị thực), thì Y0(c)tồn tại khi và chỉ khi (∀i = 1, n) Y0
i(c) tồn tại và
Y0(c) = Y10(c), ..., Yn0(c)
Bây giờ xemMn(R),Mn(C), Mn(H)như những không gian vectơ thực (số chiều
n2, 2n2, 4n2). Nếu G là nhóm ma trận trong Mn(k) thì đường cong trong G là đường cong trong Mn(k) thỏa Y (u)∈ G,∀u ∈(a, b).
Giả sử ta có các đường cong Y, σ : (a, b)→ G, lúc đó đường cong tích được định nghĩa như sau:
(Y σ) (u) =Y (u)σ(u).
Mệnh đề 3.1.1. Nếu Y, σ : (a, b)→G là những đường cong khả vi tại c ∈(a, b), thì đường cong tích Yσ cũng khả vi tại c∈ (a, b) và
(Y σ)0(c) = Y (c)σ0(c) +Y0(c)σ(c).
Chứng minh. Nếu Y (u) = (Yij(u)), σ(u) = (σij(u)) thì
(Y σ) (u) = P k Yik(u)σkj(u) (Y σ)0(u) = P k n Y0 ik(u)σkj(u) +Yik(u)σ0 kj(u)o
=Y0(u)σ(u) +Y (u)σ0(u).
Mệnh đề 3.1.2. Nếu G là nhóm ma trận trong Mn(k), T là tập tất cả những vector tiếp tuyếnY0(0) với đường cong Y : (a, b) →G, Y (0) = I (0 ∈ (a, b)), thì T là không gian con của Mn(k).
Chứng minh. Nếu Y0(0), σ0(0) ∈T thì:
(Y σ) (0) =Y (0)σ(0) = I.I = I
và
(Y σ)0(0) = Y0(0)σ(0) +Y (0)σ0(0) = Y0(0) +σ0(0)
Vậy T đóng đối với phép cộng vectơ.
T cũng đóng đối với phép nhân vô hướng. Thật vậy
Cho Y0(0) ∈ T và r ∈ R. Đặt σ(u) = Y (ru) ta được σ(0) = Y (0) = I và (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
σ0(0) = rY0(0). Ta lại có Mn(k) là không gian vectơ hữu hạn chiều. Vậy T là không gian vectơ con hữu hạn chiều của Mn(k).
Định nghĩa 3.1.3. Số chiềucủa nhóm ma trận G là số chiều của không gian vectơ
T (tập tất cả các vectơ tiếp tuyến với G tại I). Ví dụ 3.1.1.
i) U(1) có số chiều là 1. ii) dim Sp(1) = 3.
Cho Y : (a, b) → Sp(1) là đường cong với Y (0) = 1 thì Y 0(0) là phần tử của H = R4. Trước tiên ta chỉ ra rằng Y0(0) nằm trong không gian sinh bởi
i, j, k. Nghĩa là nó là quarternion có phần thực 0.
ChoY (t) =x(t)+iy(t)+jz(t)+kw(t), vớix(0) = 1vày(0) = 0,z(0) = 0,
w(0) = 0.
Do x(0) đạt giá trị lớn nhất của hàm x nên Y0(0) = 0 +iy0(0) +jz0(0) + kw0(0)
⇒Y0(0) ∈ hi, j, ki
Đảo lại, cho q = iµ + jυ + kλ thì tồn tại ánh xạ Y : (−ε, ε) → Sp(1) Y (t) = p1−sin2µt−sin2υt−sin2λt+isinµt+jsinυt+ksinλtlà đường cong trong Sp(1) thỏa Y0(0) =q.
iii) dim GL(n,R) = n2
Hàm định thức det : Mn(R) → R liên tục và detI = 1. Vì thế có quả cầu
ε quanh I trong Mn(R) sao cho mỗi A trong quả cầu này đều có detA6= 0
nghĩa là A∈ GL(n,R).
Nếuv là vectơ bất kì trong Mn(R), ta định nghĩa đường cong σ trongMn(R)
trong GL(n,R). Vì vậy không gian vectơ T chính là Mn(R) có số chiều n2.
Tương tự ta cũng chứng minh được dimGL(n,C) = 2n2.
Tiếp theo ta sẽ tính giới hạn trên của số chiều O(n), U(n), Sp(n) và sau đây là một vài bước chuẩn bị.
Định nghĩa 3.1.4. A∈Mn(R) được gọi là đối xứng lệchnếu A+AT = 0 nghĩa làaij = −aji ∀i, j. Đặc biệt, tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng 0. Ví dụ 3.1.2. Nếu A là ma trận đối xứng lệch thì mọi lũy thừa bậc lẻ của A đều là ma trận đối xứng lệch. Thật vậy:
A+AT = 0⇒A= −AT ⇒ A2n+1 = (−AT)2n+1 ⇒A2n+1 =−(A2n+1)T ⇒ A2n+1+ (A2n+1)T = 0.
Mệnh đề 3.1.5. Ký hiệu so(n) là tập tất cả các ma trận đối xứng lệch trong
Mn(R), thì so(n) là không gian vectơ con của Mn(R) và số chiều của nó bằng
n(n−1)
2 .
Chứng minh. Ma trận không thuộc so(n) và với A, B ∈ so(n), ta có
(A+B) + (A+B)T = A+AT +B+BT = 0.
Cho nên so(n) đóng đối với phép cộng vectơ. Nó cũng đóng dưới phép nhân vô hướng, bởi vì với A ∈ so(n) và r ∈ R, thì (rA)T
= rAT nên rA + (rA)T = r A+AT
= 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Để tính số chiều củaso(n)ta cần lấy cơ sở của nó. Kí hiệu Eij là ma trận có phần tử tại vị trí ij = 1, ji = −1, các phần tử còn lại đều bằng 0. Ta chỉ định nghĩa
Eij cho i < j. Dễ thấy đây là cơ sở của so(n) và số chiều của nó là:
(n−1) + (n−2) +...+ 1 = n(n−1)
2 .
Định nghĩa 3.1.6. Ma trậnB ∈ Mn(C)được gọi làhermitianlệch nếuB+BT = 0
Nếu bjk = c+id thì ¯bkj = −bjk = −c−id và bkj = −c +id. Đặc biệt, khi j=k ta có c +id = −c +id ⇒ c = 0 nên các phần tử trên đường chéo chính là
thuần ảo.
Kí hiệu su(n) là tập tất cả các ma trận hermitian lệch trong Mn(C). Dễ thấy
su(n) không là không gian vectơ trên trường số phức C.
Mệnh đề 3.1.7. su(n)⊂ Mn(C) là không gian vectơ thực có số chiều
n+ 2n(n−1)
2 = n
2.
Chứng minh. Ta chứng minh nó là không gian vectơ thực giống như đối vớiso(n). Để kiểm tra số chiều của su(n), ta lấy Eij là ma trận có phần tử ij = 1, ji =−1, các phần tử khác đều bằng 0. Ta chỉ định nghĩaEij cho i < j, E0
ij là ma trận có phần tử ij =ji =i, các phần tử khác đều bằng 0. Ta định nghĩa E0
ij cho i≤ j . Dễ thấy đó là cơ sở của su(n) và dễ dàng tính được số chiều
n+ 2n(n−1)
2 = n
2.
Chúng ta định nghĩa tương tự cho ma trận trong Mn(H) và gọi C ∈ Mn(H)
là symplectic lệch nếu C +CT = 0. Ký hiệu sp(n) là tập tất cả các ma trận symplectic lệch, thì sp(n) là không gian vectơ con của Mn(H) và số chiều của nó là
3n+ 4n(n−1)
2 = n(2n+ 1).
Mệnh đề 3.1.8. Nếu β là đường cong đi qua đơn vị (β(0) = I)
trong O(n) thì β0(0) là phép đối xứng lệch, trong U(n) thì β0(0) hermitian lệch,
trong Sp(n) thì β0(0) symplectic lệch.
Chứng minh. Trong mỗi trường hợp ta đều có đường cong tích là hằng
β(u).βT (u) = I
⇒ β0(0).βT (0) +β(0).(βT)0(0) = 0.
⇒ β0(0) + (βT)0(0) = 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hệ quả 3.1.9.
dimO(n)≤ n(n2−1)
dimU(n)≤n2
dimSp(n)≤ n(2n+ 1).