2 H m a iãu hỏa dữợi vợi kẳ dà yáu
2.4 Miãn giĂ trà cừa toĂn tỷ Monge-Ampere phực
Trong phƯn n y ta luổn kỵ hiằu à l ở o Borel dữỡng cố ành cừa khối tờng hỳu hÔnà(Ω)< +∞cĂi m ữủc chi phối bði dung lữủng Monge - Amperẹ
ở o n y ữủc nghiản cựu rởng rÂi bði S. Kolodziej trong [K 1,2,3]. Kát quÊ chẵnh trong viằc nghiản cựu cừa ổng ta Ôt ữủc trong [K2], cõ thº phĂt biºu nhữ sau: cố ànhε :R → [0,+∞) l h m liản tửc giÊm v °t
Náu
à(K) ≤Fε(CapΩ(K)), v Z +∞
0
ε(t)dt < +∞,
vợi mồi têp con compact K ⊂ Ω thẳ à = (đcϕ)n vợi h m liản tửc ϕ ∈ PSH(Ω) v ϕ|∂Ω = 0. iãu kiằn R+∞
0 ε(t)dt < +∞ nghắa l ε giÊm ừ nhanh tợi 0 tÔi vổ cũng. iãu n y cho ta ữợc lữủng vã lữủng trản ε(−lnCapΩ(K)/n) giÊm nhanh nhữ thá n o, tứ õ à(K) & 0 khi CapΩ(K) →0.
Khi R+∞
0 ε(t)dt = +∞, ta văn cõ thº ch¿ ra rơng à = (đcϕ)n
vợi h m ϕ∈ F(Ω), những ϕ nõi chung khổng bà ch°n. ành lỵ 2.4.1. GiÊ sỷ vợi mồi têp con compact K ⊂ Ω,
à(K) ≤Fε(CapΩ(K)). (2.3) Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt h m ϕ ∈ F(Ω) thọa mÂn à = (đcϕ)n, v
CapΩ({ϕ < −s}) ≤exp(−nH−1(s)), vợi mồi s > 0, ð Ơy H−1 l h m ngữủc cừa H(x) =eRx
0 ε(t)dt+eε(0) +à(Ω)1n. Nõi riảng, ϕ∈ Eχ(Ω) vợi −χ(−t) = exp(nH−1(t)/2).
Chựng minh. GiÊi sỷ à, nõi riảng, triằt tiảu trản cĂc têp a cỹc. Suy ra tỗn tÔi duy nhĐt h m ϕ ∈ Fa(Ω) sao cho (đcϕ)n = à (xem [Ce2]). °t
f(s) := −1
nlogCapΩ({ϕ < −s}),∀s > 0.
H m f l tông v f(+∞) = +∞, vẳ CapΩ triằt tiảu trản cĂc têp a cỹc.
Tứ Hằ quÊ 2.1.5 v (2.3) ta cõ vợi s > 0 v t > 0, ta cõ
tnCapΩ(ϕ < −s−t) ≤ à(ϕ < −s) ≤ Fε(CapΩ({ϕ < −s})). Do õ
Ta xĂc ành dÂy tông (sj)j∈N bơng quy nap. °t sj+1 = sj +eε◦f(sj), vợi mồi j ∈ N. Viằc chồn s0:
Chồn s0 ≥ 0 ừ lợn sao cho f(s0) ≥ 0. CƯn chưc chưn rơng s0 = s0(à) cõ thº chồn ởc lêp vợi ϕ. Tứ Hằ quÊ 2.1.5 suy ra
CapΩ({ϕ < −s}) ≤ à(Ω)
sn ,∀s > 0.
Tứ õ f(s) ≥ logs − 1/nlogà(Ω). Suy ra f(s0) ≥ 0 náu s0 =
à(Ω)1/n.
Sỹ tông cừa sj: p dửng (2.4) ta nhên ữủcf(sj) ≥j+f(s0) ≥j. Do õ limjf(sj) = +∞. X²t hai trữớng hủp:
Náu s∞ = limsj ∈ R+, thẳ f(s) ≡ +∞ vợi s > s∞ nghắa l CapΩ(ϕ < −s) = 0 vợi mồi s > s∞. Do õ ϕ bà ch°n dữợi bði
−s∞, nõi riảng ϕ ∈ Eχ(Ω) vợi mồi χ.
Trữớng hủp thự hai, GiÊ sỷ sj → +∞. Vợi mội s > 0, tỗn tÔi N = Ns ∈ N sao cho sN ≤ s ≤ sN+1. Ta cõ thº ữợc lữủng ữủc s 7→Ns, s≤ sN+1 = N X 0 (sj+1−sj) + s0 = N X 0 eε◦f(si) + s0 ≤ e N X 0 ε(j) +s0 ≤e N Z 0 ε(t)dt+ ˜s0 := H(N), ð õ s˜0 = s0+ẹε(0). Do õ H−1(s) ≤ N ≤ f(sN) ≤ f(s), suy ra CapΩ(ϕ < −s) ≤ exp(−nH−1(s)). BƠy giớ °t g(t) =−χ(−t) = exp(nH−1(t)/2). Khi õ
R+∞ 0 tng0(t)CapΩ(ϕ < −t)dt ≤ n 2 Z +∞ 0 tn 1 ε(H−1(t)) +s0 exp(−nH−1(t)/2)dt
≤ CR0+∞(t+ 1)nexp(n(α−1)t)dt < +∞.
iãu n y chựng tọ rơngϕ∈ Eχ(Ω)trong õχ(t) = −exp(nH−1(−t)/2). BƠy giớ ta s³ tờng quĂt hõa kát quÊ chẵnh cừa Ụ Cegrell (xem
[Ce1]).
ành lỵ 2.4.2. Cho χ : R− → R− l mởt h m tông sao cho χ(−∞) = −∞. GiÊ sỷ tỗn tÔi mởt h m bà ch°n àa phữỡng F :
R+ → R+ sao cho lim supt→+∞F(t)/t <1, v
Z
Ω
(−χ)◦udà≤ F(Eχ(u)), vợi mồi u ∈ T (Ω). (2.5) trong õ Eχ(u) =R
Ω
(−χ)◦u(đcu)n kỵ hiằu l χ− nông lữủng cừa u.
Khi õ tỗn tÔi mởt h m ϕ ∈ Eχ(Ω) thọa mÂn à = (đcϕ)n.
Chựng minh. GiÊi sỷ à, nõi riảng, triằt tiảu trản cĂc têp a cỹc. Suy ra tỗn tÔi h m u ∈ T (Ω) v f ∈ L1loc((đcu)n) sao cho à =
f(đcu)n (xem [Ce2]).
X²t àj := min(f, j)(đcu)n. Theo trản õ l ở o hỳu hÔn v bà ch°n vẳ l ở o Monge-Ampere cừa mởt h m bà ch°n. Do õ tỗn tÔi ϕj ∈ T (Ω) (xem [K1]) sao cho
(đcϕj)n = min(f, j)(đcu)n.
Theo nguyản lỵ so sĂnh ϕj l dÂy giÊm. °t ϕ = lim
j→∞ϕj. Tứ (2.5) suy ra Eχ(ϕj)(F(Eχ(ϕj)))−1 ≤ 1, do õ sup
j≥1
Eχ(ϕj) < ∞. Vêy ϕ ∈ Eχ(Ω).
Do tẵnh liản tửc cừa toĂn tỷ Monge - Ampere cũng vợi cĂc dÂy giÊm ta kát luên rơng (đcϕ)n = à.
Khi χ(t) = −(−t)p (lợp Fp(Ω), p≥ 1, kát quÊ trản ữủc thiát lêp bði ỤCegrell (xem [Ce1]). iãu kiằn (2.5) cụng l iãu kiằn
cƯn trong trữớng hủp n y v h m F cõ thº lĐy ho n to n l h m hiằn: tỗn tÔiϕ ∈ Fp(Ω)sao choà = (đcϕ)n khi v ch¿ khi àthọa mÂn (2.5) vợi F(t) = Ctp/(p+n), ối vợi hơng số C > 0 n o õ.
Thỹc ra ở o à thọa mÂn (2.5) vợi χ(t) = −(−t)p, v F(t) =
C.tp/(p+n), p > 0 khi v ch¿ khi Fp(Ω)⊂ Lp(Ω) (xem [GZ]). Cuối cũng chú ỵ n y rơng iãu kiằn n y cõ thº ữủc mổ tÊ theo nghắa chi phối bði dung lữủng.
Mằnh ã 2.4.3. Náu Fp(Ω) ⊂ Lp(à), thẳ tỗn tÔi C > 0 sao cho à(K) ≤ C.CapΩ(K)p+pn. vợi mồi K ⊂ Ω.
Ngữủc lÔi náu à(.) . CapαΩ(.) vợi α > p/(p + n) n o õ, thẳ
Fp(Ω)⊂ Lp(à).
Chựng minh. ìợc lữủng (2.5) ữủc Ăp dửng cho u = u∗K, l h m cỹc trà tữỡng ối cừa têp compact K, ta cõ
à(K) = Z Ω 1K.dà ≤ Z Ω (−u∗K)pdà ≤ C. Z Ω (−u∗K)p(đcu∗K)n p n+p = C.[CapΩ(K)]n+pp.
Ngữủc lÔi giÊ sỷà(K) ≤ C.CapΩα(K)vợi mồi têp compactK ⊂ Ω, ð õ α > p/(n+ p). Khi õ (2.5) ữủc thọa mÂn. Thêt vêy, náu u ∈ Fp(Ω), thẳ Z Ω (−u)pdà = p ∞ Z 1 tp−1à(u < −t)dt+O(1) ≤C.p ∞ Z 1 tp−1(CapΩ(u < −t))αdt+ O(1)
≤ C ∞ Z 1 tn+p−1CapΩ(u < −t)dt α . ∞ Z 1 t[p−1−α(n+p−1)]/βdt β +O(1), trong õ α +β = 1.
Tẵch phƠn thự nhĐt hởi tử tứ Hằ quÊ 2.3.4, tẵch phƠn thự hai l hỳu hÔn vẳ p−1−α(n+p−1)> α−1 = −β ⇒ u ∈ Lp(à).
KT LUN Luên vôn  trẳnh b y:
- Tờng quan v hằ thống cĂc kát quÊ vã cĂc tẵnh chĐt cừa h m a iãu hỏa dữợi, toĂn tỷ Monge - Amp±re, nguyản lỵ so sĂnh... - CĂc kát quÊ nghiản cựu vã cĂc lợp h m a iãu hỏa dữợi vợi ký dà yáụ Cử thº l :
+ CĂc xĐp x¿ chẵnh tưc vợi kát quÊ chẵnh l :
Náu u ∈ DM A(Ω), thẳ vợi mội têp Borel B ⊂ Ω\ {u = −∞},
R B (đcu)n = lim j→∞ R B∩{u>−j}
(đcuj)n, vợi uj := max(u,−j) l cĂc xĐp x¿ chẵnh tưc.
+ CĂc kát quÊ vã ữợc lữủng dung lữủng vợi kát quÊ chẵnh: Vợi p > 0 tũy ỵ, ta cõ
Ep(Ω) = {ϕ ∈ PSH−(Ω);
Z +∞
0
tn+p−1CapΩ({ϕ < −t})dt < +∞}. ð ƠyCapΩ kỵ hiằu l dung lữủng Monge - Ampere ữủc giợi thiằu bði ẸBedford v B.Ạ TaylọEp(Ω) = Eχ(Ω), vợi χ(t) := −(−t)p. + CĂc kát quÊ nghiản cựu vã miãn giĂ trà cừa toĂn tỷ Monge - Ampere vợi kát quÊ chẵnh l : GiÊ sỷ vợi mồi têp compact K ⊂ Ω, à(K) ≤ Fε(CapΩ(K)), ð õ Fε(x) = x[ε − (εlnx)/n]n. Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt h m ϕ ∈ F(Ω) sao cho à = (đcϕ)n v CapΩ(ϕ < −s) ≤ exp(−nH−1(s)) vợi mồi s > 0, ð õ H−1 l h m ngữủc cừa H(x) = eR0xε(t)dt+s0(à). Nõi riảng ϕ ∈ Eχ(Ω)
T i liằu tham khÊo TING VIT
[DH ] N.Q.Diằu v L.M.HÊi, Cỡ sð lẵ thuyát a thá và, Nxb Ôi Hồc sữ phÔm H Nởị 2009.
TING ANH
[BT1 ] ẸBedford and B.ẠTaylor, A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math. 149 (1982), nọ 1-2, 1- 40.
[BT2 ] ẸBedford and B.ẠTaylor, Fine topology, Silov boundary, and (đcu)n , J. Funct. Anal. 72 (1987), nọ 2, 225- 251.
[B ] S. Benelkourchi, A note on the approximation of plurisubharmonic functions, C. R. Math. Acad. Scị Paris, 342 (2006), 647- 650.
[BGZ ] S. Benelkourchi, V. Guedj and Ạ Zeriahi, A priori estimates for weak solutions of complex Monge- Ampere equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa C1. Scị (5), Vol VII (2008), 1- 16.
[BJZ ] S. Benelkourchi, B.Jennane and Ạ Zeriahi, polyỏs inequalities, global uniform integrability and the size of plurisubharmonic lemnis- cates, Ark. Mat, 43 (2005), 85- 112.
[B11 ] Z. Blocki, On the definition of the Monge- Ampốre operator in
C2 . Math. Ann. 328 (2004), nọ 3, 415- 423.
[B12 ] Z. Blocki, The domain of definition of complex Monge- Ampốre operator, Amer. J. Math. 128 (2006), nọ 2, 519- 530.
[Ce1 ] Ụ Cegrell, Pluricomplex energỵ Acta Math. 180 (1998), nọ 2, 187-217.
[Ce2 ] Ụ Cegrell, The general definition of the complex Monge-Ampere operator, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54 (2004), nọ 1, 159- 179. [CKZ ] Ụ Cegrell, S. Kolodziej and Ạ Zeriahi, Subextension of plurisub-
harmonic functions with weak singularities. Math. Z. 250 (2005), nọ 1, 7-22.
[GZ ] V.Guedj and Ạ Zeriahi, The weighted Monge- Ampere energy of quasi plurisubharmonic functions, J. Funct. An. 250 (2007), 442- 482.
[Ki ] C.Ọ Kiselman, Sur la d²finition de l'op²rateur de Monge - Amp±re complexe, "Analyse complexe": Proceedings, Toulouse 1983, 139 - 150. Lectuere Notes in Math 1994, Springer - Verlag, Berlin.
[Kl1 ] M. Klimek, Extremal plurisubharmonic functions and invariant pseudodistances, Bull. Soc. Math. France, 113 (1985), 123-142.
[Kl2 ] M. Klimek, Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford, 1991. [K1 ] S.Kolodziej, The range of the complex Monge-Ampere operator,
Indiana Univ. Math. J. 43 (1994), nọ 4, 1321-1338.
[K2 ] S.Kolodziej, The complex Monge-Ampere equation, Acta Math. 180 (1998), nọ 1, 69-117.
[K3 ] S.Kolodziej, The complex Monge-Ampere equation and pluripo- tential theory, Mem. Amer. Math. Soc. 178 (2005), nọ 840, x+64 pp.
[RR ] M.M Rao, Z.D Ren, Theory of Orlicz spaces, Monogr. Textbooks, Pure and Appl.Math., vol. 146, Dekker, New - York, 1991.
[Z ] Ạ Zeriahi, Pluricomplex Green functions and the Dirichlet Problem for the complex Monge-Ampere operator. Michigan Math. 44 (1997), nọ 3, 579-596.