2 H m a iãu hỏa dữợi vợi kẳ dà yáu
2.3 ìợc lữủng dung lữủng
Trữớng hủp °c biằt m chúng ta quan tƠm ð Ơy l cĂc lợp
Eχ(Ω), ð õ trồng χ : R− → R− cõ cĐp tông nhanh tÔi vổ cũng. iãu n y rĐt hỳu ẵch º hiºu cĂc lợp n y qua tốc ở giÊm dung lữủng cừa cĂc têp mực con.
Dung lữủng Monge - Ampere  ữủc giợi thiằu v nghiản cựu bði Ẹ Bedford v Ạ Taylo trong [BT1].
miãn. Dung lữủng cừa têp K ối vợi Ω ữủc xĂc ành bði CapΩ(K) = supn Z K (đcu)n|u ∈ PSH(Ω),−1 ≤ u ≤0o. ành nghắa 2.3.2. ˆ Eχ(Ω) := nϕ ∈ PSH(Ω)| Z +∞ 0 tnχ0(−t)CapΩ({ϕ < −t})dt < +∞o. CĂc lợp Eχ(Ω) v Eˆχ(Ω) cõ mối quan hằ mêt thiát vợi nhaụ Mằnh ã 2.3.3. CĂc lợpEˆχ(Ω)l lỗi v dữợi cỹc Ôi ờn ành: náu ϕ ∈ Eˆχ(Ω) v ψ ∈ PSH−(Ω) thẳ max(ϕ, ψ) ∈ Eˆχ(Ω). Hỡn nỳa luổn cõ Eˆχ(Ω) ⊂ Eχ(Ω), trong khi Eχˆ ⊂Eˆχ(Ω) ð õ χˆ(t) = χ(2t). Chựng minh. Tẵnh lỗi cừa Eˆχ(Ω) ữủc suy ra tứ kh¯ng ành sau: náu ϕ, ψ ∈ Eˆχ(Ω) v 0 ≤a ≤ 1 thẳ
{aϕ+ (1−a)ψ < −t} ⊂ {ϕ < −t} ∪ {ψ < −t}. Tẵnh ờn ành dữợi cỹc Ôi l hiºn nhiản.
GiÊ sỷ ϕ ∈ Eˆχ(Ω). Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ thº giÊ sỷ rơng ϕ ≤ 0 v χ(0) = 0. °t ϕj := max(ϕ,−j). Tứ Hằ quÊ 2.1.5 ta cõ Z Ω (−χ)◦ϕj(đcϕj)n = Z +∞ 0 χ0(−t)(đcϕj)n(ϕj < −t)dt ≤ Z +∞ 0 χ0(−t)CapΩ(ϕ < −t)dt < +∞, Suy ra ϕ ∈ Eχ(Ω) =⇒Eˆχ(Ω)⊂ Eχ(Ω). Bao h m thực cỏn lÔi ữủc chựng minh tữỡng tỹ, sỷ dửng bĐt ¯ng thực thự hai trong Hằ quÊ 2.1.5
Chú ỵ rơng Eχˆ(Ω)⊂ Eˆχ(Ω), khi χˆ(t) =χ(2t), suy ra bơng cĂch Ăp dửng bĐt ¯ng thực cừa Hằ quÊ 2.1.5 vợit = s.
Khi χ(t) =−(−t)p ta cõEχˆ(Ω) = Eχ(Ω). Nhữ vêy ta nhên ữủc °c trững cừa cĂc lợp Ụ Cegrell Ep(Ω) theo nghắa tốc ở giÊm
cừa dung lữủng cừa cĂc têp mực con. iãu n y l khĂ hỳu ẵch vẳ ành nghắa thự hai khổng sỷ dửng ở o Monge- Ampere cừa h m ( hay cừa cĂc sĐp x¿ cừa nõ).
Hằ quÊ 2.3.4. Ep(Ω) = n ϕ ∈ PSH−(Ω)| Z +∞ 0 tn+p−1CapΩ({ϕ < −t})dt < +∞o. iãu n y cụng ữa ra cho chúng ta mởt °c trững cừa cĂc lợp
Fa(Ω). Hằ quÊ 2.3.5. Fa(Ω) = [ χ(0) 6= 0 χ(−∞) =−∞ Eχ(Ω).
Chựng minh. Bao h m thực ⊃ ữủc suy tứ Mằnh ã 2.2.2. º chựng minh bao h m thực ngữủc lÔi, ta ch¿ cƯn chựng minh náu u ∈ Fa(Ω) thẳ tỗn tÔi h m χ sao cho u ∈ Eˆχ(Ω): iãu n y l do
∪Eχ = ∪Eˆχ. °t
h(t) := tnCapΩ({u < −t}) v ˜h(t) := sup
s>t
h(s), t > 0.
H m ˜h l bà ch°n, giÊm v hởi tử vã0 tÔi vổ cũng. X²t χ(t) := −1
q
˜
h(−t)
vợi mồit < 0.
Khi õ, χ : R− → R− l h m lỗi, tông vợi χ(0) 6= 0 v χ(−∞) = −∞. Hỡn nỳa Z +∞ 0 tnχ0(−t)CapΩ({ϕ < −t})dt≤ 1 2 Z +∞ 0 −h˜0(s) ˜ h1/2(s)ds = ˜h 1/2(0) < +∞, ữủc suy ra tứ Hằ quÊ 2.1.5.
Chú ỵ rơng mởt h m a iãu hỏa dữợi Ơm u thuởc F(Ω) khi v ch¿ khi h˜(0)< +∞ (xem Hằ quÊ 2.1.5).
Ta kát thúc phƯn n y vợi kát quÊ saụ Cho χ : R− → R− l h m tông, lóm khĂc hơng. H m ngữủc cừa nõ χ−1 : R− → R− l h m lỗi, do õ vợi mồi ϕ ∈ PSH(Ω), h m χ−1◦ϕ l a iãu hỏa dữợi, v ta cõ
đcχ−1 ◦ϕ = (χ−1)0◦ϕđcϕ+ (χ−1)00dϕ∧dcϕ≥ 0. BƠy giớ ta cõ
CapΩ({χ−1 ◦ϕ < −t}) = CapΩ({ϕ < χ(−t)})
giÊm (rĐt) nhanh náu χ cõ cĐp tông (rĐt) nhanh tÔi vổ cũng. Do vêy χ−1 ◦ϕ thuởc lợp Eχˆ(Ω) n o õ, ð Ơy χˆ ữủc ho n to n xĂc ành bði χ v cõ xĐp x¿ cũng cĐp tông. Nõi riảng iãu n y ch¿ ra rơng lợp Eχ(Ω) °c trững cĂc têp a cỹc, dũ cĐp tông cừaχ nhữ thá n ọ Ta cõ ành lỵ:
ành lỵ 2.3.6. Cho P ⊂ Ω l mởt têp a cỹc àa phữỡng. Khi õ vợi bĐt ký h m tông, lóm χ : R− → R− vợi χ(−∞) = −∞, ãu tỗn tÔi h m ϕ ∈ Eχ(Ω) sao cho P ⊂ {ϕ = −∞}. Nõi riảng, ta cõ thº chồn ϕ∈ Eexp(Ω) ð õ
Eexp(Ω) := nϕ ∈ F(Ω);
Z
Ω
e−ϕ(đcϕ)n < +∞o.