Phƣơng pháp PCA ở trên còncó nhƣợcđiểm là chỉ làm nổi bật lên các đặc trƣng của từngảnh mà chƣa quan tâm đến các ảnhđó làcủa cùng một ngƣời hay củanhững ngƣờikhác nhau. Phƣơng pháp phân tách tuyến tính [4] (LDA – Linear Discriminant Analysis) có thể khắc phục đƣợc những nhƣợcđiểmđó.Nhiệm vụ chính của phƣơng pháp là tính sự biến thiên giữa các ảnh của những ngƣời khác nhau và tính sự biến thiên giữa các ảnh của cùng một ngƣời, sau đó tìm một phép biến đổiđể làm cựcđại tỉ số của hai sự biến thiên trên. Nghĩa là, tậpảnh huấn luyện sẽ đƣợc biến đổi sang một không gian mới sao cho sự khác nhau giữa các ảnh của những ngƣời khác nhau đƣợc tăng lên tốiđa, còn sự giống nhau giữa các ảnh của cùng một ngƣời đƣợc làm cực tiểu.Hình 2.8 là một ví dụ minh họa trực quan ý nghĩa của phép biến đổi này. Hình2.8(a) là một cách biến đổikhông tốt khi các hình chiếu của các điểm thuộc hai lớp vẫn lẫn lộn với nhau; hình2.8(b) là một cách biến đổi khá tốt khi hình chiếu của các điểm thuộc cùng một lớp gần nhau, còn hình chiếu của các điểm khác lớp xa nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Thông thƣờng trong phƣơng pháp LDA, sự phân bố ngoại và sự phân bố nội đƣợc dùng làm tiêu chíđể phân lớp. Ma trận phân bố nội đƣợc tính nhƣ sau:
trong đó:
là ảnh thứ i của lớp j.
j là giá trị trung bình của lớp j.
C là số lƣợng lớp.
Nj là số lƣợng ảnh trong lớp j.
N là tổng số ảnh trong tập huấn luyện. Ma trận phân bố ngoại:
trong đó là giá trị trung bình của tất cả các lớp.
Không gian mới của LDA đƣợc hình thành từ tập vector W = [W1,..,Wd], thỏa mãn
Ma trận phân bố nội Sw biểu diễn sự phân bố gần nhau của các ảnhtrong các lớp và ma trận phân bố ngoại Sb mô tả sự tách biệt của các lớp. Khi các ảnh đƣợc chiếu lên các vector của W, các ảnh sẽ đƣợc phân bố gần nhau trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
mỗi lớp và sẽ đƣợc tách biệt giữa các lớp, càng nhiều càng tốt. Nói cách khác, các vector này cực tiểu hóa mẫu số và cực đại hóa tử số của công thức (2.11). Nếu ma trậnSw là khảnghịch,tỉ sốởcông thức (2.11) sẽđạt cực đạikhi các vector củaWlà các vector riêng của . Đối với bài toán nhận dạng mặt ngƣời, ma trậnSw thƣờng không khảnghịch, vì số lƣợngảnh nhỏ hơn rất nhiều so với số chiều biểu diễnảnh. Có nhiều phƣơng pháp khác nhau để giải quyết vấn đề của LDA nhƣ phƣơng pháp giả nghịchđảo, phƣơng pháp không gian con hoặc phƣơng pháp không gian null.
Trong luận văn này, phƣơng pháp giả nghịch đảođƣợc dùngđể giải quyết vấn đề trên. Vìảnh gốc có kích thƣớc 112×92, mỗiảnh có thể coi là một điểm trong không gian 10304 chiều, số chiều này quá lớn để có thể thực hiện LDA nên trƣớc hết cần sử dụng phƣơng pháp PCA để giảm bớt số chiều của không gian này. Sau đó, áp dụngphƣơng pháp giả nghịch đảo với tập dữ liệu mới để tìm ma trận biến đổiW.
Để tính ma trận giả nghịch đảo , Swđƣợc phân tíchnhƣ sau:
trong đó:
= diag(1, .., k) chứa các giá trị riêng dƣơng của Sw, nghĩa là các phần tử trên đƣờng chéo chính của là các giá trị riêng củaSw, còn các phần tử khác đều bằng 0.
k là hạng của Sw.
Q1 chứa các vector riêng của Sw tƣơng ứng với kgiá trị riêng dƣơng. Khi đó ma trận giả nghịch đảo của Sw là:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Cuối cùng, các vector riêng của ứng với các giá trị riêng dƣơng chính là các vector cột của ma trận biến đổiW.
Hình2.7 là một sốảnh sau khi biến đổi theo phƣơng phápphân tách tuyến tính.
Hình 2.7. Ảnh sau khi biến đổi theo LDA