HỌCPHỔ THÔNG VIỆT NAM HIỆN HÀNH
2.1. Phân tích chương trình
Trong phần này chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung chương trình liên quan đến khái niệm giới hạn mà không tách biệt phần giới hạn vô cực của hàm số. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình hiện hành và so sánh với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 nhằm tìm ra sự tiến triển về chương trình của khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu phần này là: Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 năm 2000 (TLHDGD) (xem như đây chính là tài liệu giải thích cho chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000) và Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH) và SGV.C11 và SGV.N11 (chúng tôi xem hai quyển SGV này như là tài liệu giải thích cho chương trình hiện hành).
Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn để xem chương trình hiện hành nói gì trong việc thể hiện các quan điểm của khái niệm giới hạn.
“Giới hạn dãy số: Khái niệm giới hạn của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Dãy số dần tới vô cực.
Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn của dãy số ( thông qua ví dụ cụ thể) - Biết ( không chứng minh)
+ Nếu limuRnR=L, un ≥ ∀0, nthì un ≥0, à limv un = L + Định lí về lim( n n), lim( . ), limn n n
n
u v u v u
± v Về kĩ năng:
- Biết vận dụng lim1 0, lim 1 0, limqn 0
n = n = = với q <1để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.”
[CTHH, tr162]
Như vậy trong phần giới hạn dãy số, việc CTHH yêu cầu thông qua ví dụ cụ thể hình thành cho học sinh khái niệm giới hạn của dãy số, phải chăng, CTHH muốn học sinh hiểu được khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ?
Còn các định lí thì không yêu cầu chứng minh mà chỉ cần biết vận dụng vào việc tìm các giới hạn đơn giản phần nào cho thấy TCHH cũng thể hiện quan điểm đại số của khái niệm này. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn dãy số đơn giản.
“Giới hạn hàm số: Khái niệm giới hạn của hàm số. Giới thiệu một số định lí về giới hạn của hàm số. Giới hạn một bên. Giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số ở vô cực và giới hạn vô cực của hàm số.
Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn hàm số (với ghi chú: không dùng ngôn ngữ ε δ, để định nghĩa giới hạn).
- Biết (không chứng minh) + Nếu lim ( ) , ( ) 0
x xo f x L f x
→ = ≥ với x≠x0thì
0
0, à lim ( )
x x
L v f x L
≥ → =
+ Định lí về giới hạn:
0 0 0
lim [ ( ) ( )], lim [f(x).g(x)], lim ( ) ( )
x x x x x x
f x g x f x
→ ± → → g x
Về kĩ năng:
Trong một số trường hợp đơn giản tính được:
- Giới hạn của hàm số tại một điểm - Giới hạn một bên của hàm số - Giới hạn của hàm số tại ± ∞”
[CTHH, tr163]
Ở phần giới hạn hàm số cũng tương tự như phần giới hạn dãy số, CTHH có vẻ như thể hiện quan điểm đại số của giới hạn. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn các hàm số.
Để thấy rõ hơn sự tiến triển về mặt yêu cầu chương trình của khái niệm giới hạn trong thể chế hiện hành so với thể chế chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tôi dựa vào SGV.C11, SGV.N11, TLHDGD, CTHH lập bảng so sánh như sau:
Bảng so sánh chương trình:
Yếu tố so sánh CTCLHN CTHH
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan: Giới hạn dãy số→ Giới hạn hàm số → Hàm số liên tục.→Đạo hàm→Tiệm cận
x x
Công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số: Giới hạn dãy số
x x
Ngôn ngữ hình thức ε δ, : Không dùng ngôn ngữ ε δ, để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số
x x
Các định lí, quy tắc tính giới hạn: Yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn.
x x
Liên quan đến vô cực +) Không
phân biệt +∞
hay −∞, tồn tại kí hiệu ∞. +)
lim ( )
x a f x
→ = ∞
chỉ là kí hiệu chứ không phải là số nên không được áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn cho các trường hợp
lim ( )
x a f x
→ = ±∞
Phân biệt +∞ và
−∞, không tồn tại kí hiệu ∞ nhưng có nhận xét rằng âm vô cực và dương vô cực được gọi chung là vô cực.
+) lim ( )
x a f x
→ = +∞
(hoặc lim ( )
x a f x
→ = −∞ ) nghĩa là hàm số f(x) có giới hạn là +∞ (hoặc −∞) và được phép vận dụng các định lí về giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào SGKHH.
Định lí giới hạn kẹp và định lí về tính duy nhất của giới hạn, định lí về tính bị chặn của dãy số có giới hạn hữu hạn.
Có đưa vào Không đưa vào.
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan như trên cho thấy CTHH Việt Nam khá chú trọng đến trình tự logic tóan học của khái niệm giới hạn số với các khái niệm liên quan.
Bên cạnh đó, cũng như CTCLHN, CTHH cũng yêu cầu không dùng ngôn ngữ ε δ, để định nghĩa giới hạn hàm số.
Điều khác biệt lớn giữa CTCLHN và CTHH là sự phân biệt +∞ và− ∞ và thừa nhận lim ( )f x = ±∞ cũng là giới hạn của hàm số, nên đã đưa vào những quy tắc và định lí liên quan.
Việc khác biệt này được SGV.C11 giải thích như sau::
“Đặc biệt, trong SGK trước đây, tùy trường hợp mà kí hiệu ∞có thể được hiểu theo nhiều cách khác nhau như +∞ −∞, hay hỗn hợp cả hai. Tuy nhiên, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12, ta chỉ nghiên cứu tính chất của hàm số ở +∞hay −∞ chứ không xét chung chung ở vô cực. Ngay ở bậc đại học, khi xét tập số thực mở rộng ta cũng bổ sung hai phần tử là +∞và −∞chứ không sử dụng kí hiệu ∞. Như vậy, SGK cơ bản phân biệt một cách rõ ràng
à
−∞v + ∞, đồng thời xem ±∞là giới hạn của dãy số, chứ không giống sách giáo khoa năm 2000 là dùng khái niệm lim n
n u
→∞ = ∞nhưng lại không coi ∞là giới hạn của dãy số (uRnR), vì lí do ∞là một kí hiệu chứ không phải là một số thực.”
[SGV.C11, tr122]
Còn SGV.N11 thì giải thích: “Vì là một tập sắp thứ tự, việc trình bày như thế là hợp lí, đơn giản hơn và có phần dễ hiểu hơn”
[SGV.N11, tr169]
Cả hai cách giải thích đều tham chiếu từ tính chất đặc trưng của tập hợp số thực R và tập số thực mở rộng R ; từ quan điểm toán học. Sách giáo khoa cơ bản còn đề cập đến vai trò của khái niệm giới hạn trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12 và như vậy thể chế đã tính đến vai trò công cụcủa khái niệm giới hạn.
Về các dạng vô định:
Giảng dạy tường minh về các dạng vô định không bị bắt buộc trong chương trình hiện hành. Sách giáo viên cơ bản giải thích về điều này như sau:
“Chương trình yêu cầu không đưa vào một mục chuyên biệt về Giới hạn dạng vô định như sách giáo khoa trước đây và sách giáo khoa nâng cao với mục đích chủ yếu là giảm tải. Tuy nhiên, nghiên cứu giới hạn không thể tránh khỏi việc tính các giới hạn thuộc các dạng vô định. Vì thế SGK chỉ đưa vào các ví dụ, bài tập đơn giản nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đạo hàm trong chương sau và khảo sát hàm số ở lớp 12. Do đó giáo viên không nên khai thác quá sâu vào các bài tập mà việc khử dạng vô định đòi hỏi các kĩ thuật biến đổi phức tạp. Hơn nữa yêu cầu học sinh giải các bài tập phức tạp, lắt
léo về giới hạn thuộc dạng vô định thì cũng chỉ có tác dụng rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số chứ chưa hẳn làm cho các em hiểu rõ thêm về giới hạn của hàm số.”
[SGV.C11, tr123]
Từ phân tích trên chúng tôi đưa ra câu hỏi:
Phải chăng khi dạy học khái niệm giới hạn, thể chế hiện hành không đặt nặng việc tính toán giới hạn (nghĩa là không nhắm vào quan điểm đại số) và mong muốn muốn học sinh hiểu rõ về khái niệm giới hạn từ các quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ? Các SGKHH có thực hiện đúng yêu cầu của chương trình không?
Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích các SGKHH để tìm câu trả lời cho câu hỏi trên.
Trong SGK Mỹ, chúng tôi tìm thấy một lựa chọn khác về mặt chương trình như sau:
- SGK Mỹ định nghĩa giới hạn hàm số độc lập với khái niệm giới hạn dãy số.
- Trình tự đưa vào khái niệm giới hạn hàm số và các khái niệm liên quan như sau: Hàm số liên tục→Tiệm cận→Đạo hàm→Tích phân→Giới hạn hàm số.
- Giới hạn vô cực của hàm số không được định nghĩa, " "∞ chính là "+ ∞",
lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) ,
x a x a x
f x ± f x f x
→ = ±∞ → = ±∞ →±∞ = ±∞ chỉ là kí hiệu mà thôi. Và do đó không có bất kì một quy tắc đại số nào cho việc tính các giới hạn vô cực của hàm số.
- Như vậy chúng tôi nhận thấy sự khác biệt giữa chương trình Mỹ và chương trình Việt Nam như sau (đây chỉ là dự đoán vì chúng tôi không có tài liệu về chương trình Mỹ mà chỉ có một quyển SGK Mỹ mà thôi):
- Chương trình Việt Nam định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số dựa vào khái niệm giới hạn dãy số, còn chương trình Mỹ định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực hàm số độc lập như vốn có của nó.
- Chương trình Việt Nam chú trọng đến trình tự logic của khái niệm trong khi chương trình Mỹ chú trọng đến vai trò công cụ của khái niệm toán học.
- Chương trình Mỹ không thừa nhận lim ( ) ,
x a f x
→ = ±∞ lim ( )
x f x
→±∞ = ±∞, lim ( )
x a
± f x
→ = ±∞ là những giới hạn mà chỉ xem chúng là những kí hiệu như chương trình chỉnh lý hợp nhất mà thôi.