HỌCPHỔ THÔNG VIỆT NAM HIỆN HÀNH
2.2.1. Khái niệm giới hạn vô cực của dãy số
2.2.1.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:
Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào các hoạt động giúp học sinh tiếp cận khái niệm mà các SGK đã đưa ra.
Chúng tôi giải thích lại các kí hiệu như sau : SCL: Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
SGK.C11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích cơ bản lớp 11 SGK.N11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích nâng cao lớp 11
Bảng so sánh hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số.
SCL SGK.C11 SGK.N11
Xét dãy số uRnR=(-1)PnP2n.
Dạng khai triển của nó là
-2, 4, -6, 8, -10,…, (-1)PnP2n, … Ta nhận thấy khi n càng lớn thì
un càng lớn. Nó có
“Có nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là 0.1 mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ giấy này lên tờ giấy khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.
Gọi uR1R là bề dày của 1 tờ giấy, uR2 Rlà bề dày của hai tờ giấy, uR3R là bề dày của ba tờ giấy, …, uRnRlà bề dày của n tờ giấy. Tiếp tục như vậy ta có dãy số vô hạn (uRnR).
Bảng sau cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.
uR1 … uR1000 … uR1000000 … uR1000000000 … uRn …
0.1 … 100 … 100000 … 100000000 …
10 n …
a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của uRnR khi n tăng lên vô hạn.
“Xét dãy số (uRnR) với uRnR=2n-3.
Ta thấy khi n tăng thì uRnR trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.
Nói cách khác, mọi số hạng của
thể lớn bao nhiêu tùy ý;
miễn là n đủ lớn.
Chẳng hạn un =2n
>1000 thì chỉ việc lấy n>500. Ta nói ràng dãy số đã cho dần tới vô cực”
[SCL, tr113]
b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới mặt trăng? (cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000km hay 384.10P9Pmm)
(Ta cũng chứng minh được rằng
n 10
u = n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, dãy số uRnR nói trên được gọi là dần tới dương vô cực khi n→ +∞)”
[SGK.C11,tr117]
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước. Ta nói rằng dãy số (2n- 3) có giới hạn là
+∞” [SGK.N11, tr138]
- Nhìn vào hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số của ba sách giáo khoa, chúng ta thấy chỉ có hoạt động của SGK.C11 yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau khi đã trình bày thực nghiệm số. Tuy nhiên cả ba hoạt động đều không yêu cầu học sinh tự thực hiện các thực nghiệm số và cũng không đặt trong một tình huống cần thiết phải khảo sát uRnR khi n ngày càng lớn. Từ đây chúng tôi cho rằng có thể khi dạy giới hạn vô cực của hàm số theo cả hai SGK, giáo viên cũng trình bày thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để hiểu khái niệm giới hạn vô cực của hàm số và dự đoán giới hạn vô cực của hàm số.
Chúng ta cũng chú ý rằng về mặt thuật ngữ SGK.C11 vẫn dùng cụm từ “dãy số dần tới dương vô cực”. Trong khi SGK.N11 đã sử dụng cụm từ “dãy số có giới hạn là +∞”. Tham khảo nghiên cứu của Cornu (1983) liên quan đến các quan niệm tự nhiên của học sinh đối với các cụm từ mô tả khái niệm giới hạn trong thể chế Pháp, chúng tôi cho rằng sự khác nhau này ít nhiều ảnh hưởng đến các quan niệm của học sinh Việt Nam sau khi tiếp cận khái niệm giới hạn.
2.2.1.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số:
Sau đây là ba định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số trong ba quyển sách giáo khoa được nghiên cứu.
Bảng so sánh khái niệm giới hạn vô cực của dãy số.
SCL SGK.C11 SGK.N11
“Ta nói rằng dãy số (uRnR) dần tới vô cực nếu mọi số dương M ( lớn bao nhiêu tùy ý) tồn tại một số dương N sao cho với mọi n>N thì un >
Ta viết
limuRnR=∞hay
un → ∞” [SCL, tr113]
- “Ta nói dãy số (uRnR) có giới hạn +∞ khi n→ +∞
nếu uRnR có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limun = +∞ hay un → +∞ khi n→ +∞
- Dãy số uRnRđược gọi là có giới hạn là −∞khi n→ +∞ nếu lim(-uRnR)=+∞
Kí hiệu: limun = −∞ hay un → −∞ khi n→ +∞” [SGK.C11, tr118]
“- Ta nói dãy số uRnR có giới hạn là +∞
nếu với mọi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim( )un = +∞hoặc limun = +∞ hoặc un → +∞
- Ta nói dãy số uRnR có giới hạn là −∞
nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số âm đó. Khi đó ta viết: lim( )un = −∞hoặc limun = −∞
hoặc un → −∞” [SGK.N11, tr139]
Như vậy, các SGKHH không dùng ngôn ngữ hình thức (M, N) như SGKCL để định nghĩa giới hạn dãy số ở vô cực mà định nghĩa dãy số có giới hạn là dương vô cực thông qua cụm từ “uRnRcó thể lớn hơn một một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi” theo yêu cầu của chương trình hiện hành.
Với sự phân biệt −∞và + ∞, các SGKHH đã có định nghĩa riêng biệt cho từng trường hợp giới hạn vô cực của dãy số.
Có một điểm khác biệt trong cách định nghĩa của hai bộ SGK hiện hành. Trong khi SGK.N11 định nghĩa tường minh trường hợp “dãy số có giới hạn là -∞” thì SGK.C11 lại định nghĩa trường hợp này thông qua khái niệm “dãy số có giới hạn là +∞”.
Trong SGK.C11, sau định nghĩa là một ví dụ về biểu diễn các số hạng của dãy số uRnR trên trục số, đây là một minh họa hình học thể hiện uRnR có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Qua đó chúng ta nhận thấy mặc dù không định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ hình thức ( ,ε Ν) hay ( , )ε δ nhưng SGK.C11 cố gắng để giúp học sinh hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn và tiếp cận được khái niệm giới hạn vô cực của dãy số theo quan điểm xấp xỉ f(x) bằng việc đưa ra hoạt động ban đầu trong phạm vi số và một ví dụ minh họa hình học về biểu diễn các số hạng của dãy số dần tới vô cực.
Còn SGK.N11 thì không có dạng ví dụ này mà chỉ có ví dụ về việc áp dụng định nghĩa trên để chứng minh một số dãy số có giới hạn vô cực như:
limn= +∞, lim n = +∞, lim3 n= +∞
Như vậy chúng ta thấy cả hai SGKHH đều muốn thể hiện quan điểm xấp xỉ f(x) trong việc định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và SGK.C11 thể hiện điều đó rõ hơn.
2.3.1.3 Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của dãy số được nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích.
+ SGK.C11
Sau khi đưa ra định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số với ví dụ minh họa có biểu diễn hình học minh họa thể hiện uRnRcó thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi SGK.C11 đã đưa ra các nhận xét và định lí sau:
“Nhận xét:
• limun = +∞ ⇔lim(−un)= −∞
• limnk = +∞ nếu k nguyên dương
• limqn = +∞ nếu q>1” [SGK.C11, tr118]
“Định lí:
a. “Nếu limun =avà limvn = ±∞ thì lim n 0
n
u v =
b. “Nếu limun = >a 0, limvn =0 và vRnR>0 với mọi n thì lim n
n
u v = +∞
c. “Nếu limun = +∞và limvn = >a 0 thì limu vn. n = +∞”
[SGK.C11, tr119]
Các nhận xét và định lí trên đều được thừa nhận mà không hề có một sự giải thích hay chứng minh nào, sau đó là hai ví dụ vận dụng trực tiếp các nhận xét và định lí trên, điều này cho thấy SGK.C11 không chỉ mong muốn học sinh hiểu được khái niệm giới hạn vô cực của dãy số theo quan điểm xấp xỉ mà còn mong muốn học sinh biết vận dụng “đại số các giới hạn” vào việc tính giới hạn vô cực của các dãy số.
SGK.N11
Sau định nghĩa lim(un)= +∞là hoạt động áp dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn vô cực của các dãy số : limn= +∞, lim n = +∞, lim3 n = +∞.
Sau định nghĩa limun = −∞, SGK.N11 đưa ra các chú ý, nhận xét, định lí như sau:
- Nhận xét: "limun = −∞ ⇔lim(−un)= +∞"
- Chú ý : “Dãy số có giới hạn −∞và + ∞ được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần dến vô cực.”
- Nhận xét: “Nếu limun = +∞thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. Do đó 1 1
n n
u = u trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.
- Định lí: “Nếu limun = +∞thì lim 1 0
un = ” [tr140]
Mặc dù chương trình hiện hành đã phân biệt −∞ và + ∞, không chấp nhận kí hiệu ∞, SGK.N11 cũng đã đáp ứng yêu cầu đó nhưng vẫn chấp nhận tên gọi chung “dãy số có giới hạn vô cực hay dãy số dần đến vô cực” như SCL.
Việc SGK.N11 định nghĩa tường minh trường hợp “dãy số có giới hạn là -∞” sau đó nêu nhận xét limun = +∞ ⇔lim(−un)= −∞ và SGK.C11 định nghĩa trường hợp này thông qua
khái niệm “dãy số có giới hạn là +∞” sau đó nêu nhận xét: "limun = −∞ ⇔lim(−un)= +∞", chúng tôi thấy có thể xuất hiện trong các SGKHH một kĩ thuật khi chứng minh một dãy số (uRnR) dần ra -∞ đó là chứng minh dãy số (-uRnR) dần ra +∞ và ngược lại.
Chúng ta lưu ý một điểm mới của SGK.N11 so với các SGK đang cùng xem xét là việc lần đầu tiên các quy tắc đại số trên các vô cực được giới thiệu chính thức và rõ ràng trong SGK Việt Nam.
“Quy tắc 1: Nếu limun = ±∞,và limvn = ±∞thì limu vn nđược cho trong bảng sau:
Quy tắc 2: Nếu limun = ±∞,và limvn = ≠L 0thì limu vn nđược cho trong bảng sau:
LimuRn Dấu của L Lim(uRnRvRnR) +∞
+∞
−∞
−∞
+
− +
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Quy tắc 3: Nếu limun = ≠L 0và limvn =0và vRnR>0 hoặc vRnR<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim n
n
u
v được cho trong bảng sau:
[SGK.N11, tr140,141]
limun limvn lim(u vn n)
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
Dấu của L Dấu của vRn Lim(uRnR/vRnR) +
+
−
−
+
− +
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Và sau mỗi quy tắc, SGK.N11 đều đưa ra ví dụ vận dụng trực tiếp quy tắc đó, vậy ta có thể thấy SGK.N11 đưa ra nhiều quy tắc đại số hơn SGK.C11 và như vậy quan điểm đại số được thể hiện mạnh hơn.
Bảng sau đây cho phép so sánh số lượng các định lý thể hiện các quy tắc đại số trên các giới hạn vô cực của dãy số của ba quyển sách giáo khoa đang xét.
Bảng so sánh các nhận xét, định lí, quy tắc.
SCL SGK.C11 SGK.N11
Định lí: “Nếu limuRnR=0
(un ≠ ∀ ∈0, n *) thì lim 1
un = ∞.
Ngược lại
limuRnR=∞thì lim 1 0
un = ” [SCL, tr114]
Nhận xét: "lim
lim( ) "
n n
u u
= +∞
⇔ − = −∞
[tr118]
Một vài giới hạn đặc biệt:
a. “limnk = +∞ nếu k nguyên dương b. lim
qn = +∞ nếu q>1
[SGK.C11, tr118]
Nhận xét:
"lim
lim( ) "
n n
u u
= −∞
⇔ − = +∞
“Dãy số có giới hạn −∞ và + ∞ được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Nếu lim n ì un
x u th
→∞ = +∞ trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. Do đó
1 1
n n
u = u trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn”
[tr139]
Nhận xét: “limnk = +∞ nếu k nguyên dương.
Định lí:
a. “Nếu
limun =avà
limvn = ±∞ thì lim n 0
n
u v =
b. Nếu
limun = >a 0, limvn =0 và vRnR>0 với mọi n thì
Định lí: “Nếu limun = +∞thì lim 1 0 un = ” [tr140]
Quy tắc 1:
LimuRn LimvRn Lim(uRnRvRnR) +∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
Quy tắc 2: limun = ±∞, limvn =L
lim n
n
u
v = +∞”
c. “Nếu
limun = +∞và limvn = >a 0 thì limu vn. n = +∞” [SGK.C11, tr119]
Dấu của L
Dấu của vRn
Lim(uRnR/vRnR) +
+
−
−
+
− +
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Quy tắc 3: limvRnR=L
LimuR
n
Dấu của L
Lim(uRnRvRnR )
+∞
+∞
−∞
−∞
+
− +
−
+∞
−∞
−∞
+∞
Từ bảng so sánh trên chúng ta nhận thấy ở phần giới hạn dãy số, các SGK hiện hành đưa vào nhiều quy tắc đại số hơn SCL. Và SGK.N11 giới thiệu nhiều quy tắc đại số trên các giới hạn vô cực nhất.
Như vậy chúng ta thấy có nhiều yếu tố lý thuyết giải thích cho đại số trên các giới hạn. Điều này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho quan điểm đại số của khái niệm giới hạn trong kiểu nhiệm vụ tính giới hạn. Và giải quyết mẫu thuẫn về việc thiếu các yêu tố công nghệ mà SCL đã mắc phải như đã nói ở chương 1.
2.2.1.4. Phân tích phần bài tập :
Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu các SGKHH, nên chỉ quan tâm đến các KNV có mặt trong SCL để thấy sự tiến triển của các SGKHH mà không thống kê số lượng các nhiệm vụ trong mỗi KNV ở SCL.
. Bảng sau tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số trong 3 quyển sách giáo khoa nghiên cứu.
Bảng tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số
KIỂU NHIỆM VỤ SGK.C11 SGK.N11 SCL
TR1R: Chứng minh dãy số có giới hạn vô cực 4 có
TR2R: Tìm giới hạn của dãy số. 5 29 có
TR3R: Tìm n để uRnR>M cho trước 1
TR4R: Quan sát bảng giá trị của dãy số và nhận xét về giá trị của uRnR khi n tăng lên vô hạn
1
Tổng cộng 7 33
Các KNV có mặt trong SCL đã được Nguyễn Thành Long (2004) và Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) làm rõ kỹ thuật các các yếu tố công nghệ của nó, ở đây chúng tôi không nhắc lại nữa.
KNV TR3Rchỉ xuất hiện một lần duy nhất trong câu b của hoạt động mở đầu khái niệm giới hạn vô cực đã nêu ở trên. Và SGV.C11 cũng chỉ nêu đáp án chứ không nêu kĩ thuật giải KNV này.
KNV TR4Rthì trong phát biểu của nó đã bao hàm kĩ thuật giải.
Nhìn vào bảng trên ta thấy, trong SGK.N11 cũng giống như SCL là chỉ có 2 kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số , nhưng có đến 33 nhiệm vụ. Còn trong SGK.C11 số kiểu nhiệm vụ là 3 với tổng cộng 7 nhiệm vụ. Chúng tôi cũng nhận thấy sự chênh lệch rất lớn giữa số lượng bài tập ở SGK.C11 (7 bài tập) và SGK.N11 (33 bài tập).
Ở phần phân tích định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số ở trên, chúng tôi đã dự đoán “có thể xuất hiện trong SGK.C11 một kĩ thuật khi chứng minh một dãy số (uRnR) dần ra -∞ đó là chứng minh dãy số (-uRnR) dần ra +∞”. Nhưng trong SGK này chúng tôi không hề tìm thấy bất kì ví dụ hay bài tập nào thuộc KNV này, và do đó cũng không hề xuất hiện kĩ thuật này.
Trong các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số thì tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ tính giới hạn dãy số chiếm số lượng nhiều nhất (5/7 ví dụ và bài tập trong SGK.C11 và 29/33 ví dụ và bài tập trong SGK.N11 ). Không có KNV nào mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa.
Việc giải các bài tập thuộc các kiểu nhiệm vụ chỉ đòi hỏi các thao tác đại số và vận dụng các quy tắc đại số của khái niệm giới hạn, điều này cho thấy các SGK phổ thông hiện hành vẫn chú trọng quan điểm đại số trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Nghĩa là vết của OM2 vẫn chiếm ưu thế trong các SGKHH.
Một sự lựa chọn khác: Như đã nói ở trên, trong SGK Mỹ, chúng tôi không tìm thấy phần khái niệm giới hạn của dãy số cũng như khái niệm giới hạn vô cực của dãy số. Bởi vì SGK Mỹ không định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số thông qua khái niệm giới hạn của dãy số.