CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.3. Không gian h ội tụ
Như đã biết, các khái niệm của tôpô đều mô tả được sự hội tụ nhưng không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith, đó là cấu trúc hội tụ và không gian hội tụ.
Định nghĩa 1.3.1. Một cấu trúc hội tụ λ trên tập X là ánh xạ đi từ X vào tập powerset của tập tất cả các lọc trên X thỏa mãn các điều kiện sau
Nếu λ là cấu trúc hội tụ trên tập X thì cặp ( , )X λ được gọi là không gian hội tụ. Đôi khi, ta cũng ký hiệu X thay cho cặp ( , )X λ . Nếu F∈λ( )x điều này có nghĩa là F hội tụ về x. Khi đó, mỗi tôpô τ trên X đều được đồng nhất với cấu trúc hội tụ tự nhiên λτ trên X được xác định như sau
Lưu ý rằng, trong trường hợp này U xτ( ) là τ -lân cận lọc tại x.
Ví dụ 1.3.1. Cho ( , )X λ là không gian hội tụ hoặc không gian tôpô. Ta định nghĩa cấu trúc hội tụ à trờn X như sau
Khi đú, ( , )X à là khụng gian hội tụ hoặc biến đổi siờu lọc.
Định nghĩa 1.3.2.Cho hai không gian hội tụ X và Y. Ánh xạ f :X →Y liên tục tại x∈X nếu F →x trong X thì f F( )→ f x( ) trong Y.
Nếu f liên tục tại mọi x∈X thì ánh xạ f được gọi là liên tục trên X . Từ định nghĩa cấu trúc hội tụ và sự liên tục của hai không gian hội tụ cho ta nhận xét sau
\begin{itemize}
• Cho λ và à là hai cấu trỳc hội tụ trờn tập X . Ta núi λ mịn hơn à nếu với mọi x∈X thỡ λ( )x ⊆à( )x điều này cũng tương đương với ỏnh xạ đồng nhất
( , )X λ →( , )X à liờn tục.
• Nếu ( , )X τ1 và ( ,Y τ2) là hai không gian tôpô thì ánh xạ f : ( , )X τ1 →( ,Y τ2) liên tục tại x∈X nếu ánh xạ f : ( ,X λτ1)→( ,Y λτ2) liên tục tại x∈X .
• Cho X, Y và Z là ba không gian hội tụ. Nếu ánh xạ f :X →Y và g Y: →Z liên tục thì ánh xạ g f X° : →Z liên tục. Trong trường hợp đặc biệt, g f° liên tục nếu f và
g liên tục.
Từ các không gian hội tụ đã biết, chúng ta sẽ xây dựng một cấu trúc hội tụ mới đó là cấu trúc hội tụ đầu và cuối. Cấu trúc này sẽ cho phép chúng ta xây dựng không gian con, tích,...
Định nghĩa 1.3.3.Cho họ { }Xi i I∈ của các không gian hội tụ Xi và ánh xạ fi:X →Xi với X là tập bất kỳ. Lọc F hội tụ đến x trong cấu trúc hội tụ đầu trên X đối với ( )fi i I∈ nếu và chỉ nếu f Fi( )→ f xi( ) trong Xi với i∈I.
Dễ thấy rằng cấu trúc hội tụ đầu là cấu trúc hội tụ thô nhất trên X tác động đến các fi liên tục. Đặc biệt, cấu trúc hội tụ đầu cũng chính là cấu trúc hội tụ.
Định nghĩa 1.3.4.Cho họ { }Xi i I∈ của các không gian hội tụ Xi và ánh xạ fi:X →Xi với X là tập bất kỳ. Lọc F hội tụ đến x trong cấu trúc hội tụ cuối trên X đối với ( )fi i I∈ nếu và chỉ nếu F =[ ]x hoặc nếu tồn tại hữu hạn i1,...,in điểm xk∈Xik và lọc Fk
hội tụ đến xk trong
ik
X sao cho ( ) ,
ik k
f x = ∀x k và
1( )1 1( )
i n n
F ⊇ f F ∩ ∩ f F .
Dễ thấy rằng cấu trúc hội tụ cuối là cấu trúc hội tụ mịn nhất trên X tác động đến các fi liên tục.
Ví dụ 1.3.3. Cho X là không gian hội tụ và ánh xạ q X: →Y toàn ánh với Y là tập tùy ý.
Cấu trúc hội tụ thương là cấu trúc hội tụ cuối trên Y đối với q. Một lọc F hội tụ đến y nếu và chỉ nếu tồn tại x1,...,xk∈X và với mỗi k lọc Fk hội tụ đến xk sao cho q x( k)=y và
( )1 ( n)
q F ∩ ∩ q F ⊆F. Khi đó, không gian hội tụ Y được gọi là không gian hội tụ thương.
Cho ( , )X λ là không gian hội tụ.
Định nghĩa 1.3.5. Một không gian hội tụ X được gọi là
Từ định nghĩa 1.3.5 cho ta quy tắc sau
Bổ đề 1.3.1.Nếu ánh xạ f :X →Y liên tục với X và Y là hai không gian hội tụ thì
( ( )) ( ( ))
f a A ⊆a f A với mọi A⊆X .
Định nghĩa 1.3.6. Một cấu trúc hội tụ λ trên không gian thực X được gọi là cấu trúc không gian véctơ hội tụ nếu hai ánh xạ
Cặp ( , )X λ được gọi là không gian véctơ hội tụ. Hơn nữa, các tích X×X và ×X được trang bị cấu trúc hội tụ tích theo ví dụ 1.3.2.
Trong không gian véctơ hội tụ X , tập con B của X bị chặn nếu lọc NB hội tụ về 0. Lọc F trên X bị chặn nếu lọc
hội tụ về 0. Không gian X được gọi là bị chặn địa phương nếu mọi lọc hội tụ trong X đều chứa một tập bị chặn.
Định nghĩa 1.3.7.Không gian véctơ hội tụ X được gọi là lồi địa phương nếu mỗi lọc F hội tụ về 0 trong X thì bao lồi
cũng hội tụ về 0.
Trong không gian véctơ hội tụ X . Ta nói rằng