Dàn véctơ hội tụ khối địa phương

CHƯƠNG 2: SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ

2.1. Dàn véctơ hội tụ khối địa phương

Định nghĩa 2.1. Cho L là dàn véctơ. Khi đó

• Một cấu trúc hội tụ không gian véctơ λ trên L được gọi là khối địa phương.

• Cặp ( , )L λ được gọi là dàn véctơ hội tụ khối địa phương nếu mỗi lọc ∈λ(0) tồn tại lọc thô hơn ∈λ(0) có cơ sở gồm các tập hợp khối.

Nói một cách khác, dàn véctơ hội tụ khối địa phương chính là cấu trúc hội tụ liên kết với tôpô trên không gian Riesz khối địa phương. Dễ thấy rằng không gian Riesz khối địa phương L là dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Thật vậy, một lọc  hội tụ đến 0 trong L nếu (0)⊆ với (0) là lọc lân cận tại 0 trong L. Vì L là khối địa phương nên (0) có cơ sở gồm các tập hợp khối.

Ví dụ 2.1.1. Cho L là dàn véctơ Archimedes. Lọc  trên L hội tụ đến f ∈L đối với cấu trúc hội tụ thứ tự λo nếu và chỉ nếu tồn tại dãy ( ), (ln un)⊂L sao cho

• sup{l :n∈}= =f inf{u :n∈}

• n n 1 n 1 n, [ ]n, , l ≤l + ≤u + ≤u l u n∈ n∈

Khi đó, cấu trúc hội tụ thứ tự λo là cấu trúc hội tụ không gian véctơ Hausdorff và dĩ nhiên là khối địa phương. Hơn nữa, một dãy (fn) trong L hội tụ về f ∈L đối với λo nếu và chỉ nếu (fn) hội tụ thứ tự đến f .

Ví dụ 2.1.2. Cho L là dàn véctơ Archimedes và λr là chuyển hóa Mackey của λo tức là  hội tụ về 0 đối với λr nếu và chỉ nếu tồn tại tập U ⊆L mà U bị chặn đối với λo sao cho

U ⊆

  với  là lân cận lọc tại 0 trong . Dẫn đến tập bị chặn đối với λo là tập bị chặn thứ tự trong L. Khi đó, cấu trúc hội tụ λr xác định như sau

1 1

(0) , : ,

r u L n u u

n n

λ +  

∈ ⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ − ∈

 

Suy ra λr là cấu trúc hội tụ không gian véctơ và dĩ nhiên là khối địa phương. Hơn nữa, một dãy (fn) trong L hội tụ về f ∈L đối với λr nếu và chỉ nếu (fn) hội tụ đều tương đối về f .

Từ đó, cấu trúc hội tụ đều tương đối λr thỏa mãn tính chất sau

Mệnh đề 2.1.1. Cho L là dàn véctơ hội tụ khối địa phương. Với bất kỳ u∈L+ thì lọc

1 1

, :

u u n n n

  

= −  ∈

 hội tụ về 0 trong L. Đặc biệt, nếu L là dàn véctơ Archimedes thì cấu trúc hội tụ đều tương đối λr là cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất trên L.

Chứng minh. Giả sử λ là cấu trúc hội tụ khối địa phương trên L. Với bất kỳ u>0, ta sẽ chứng minh lọc

1 1

, : (0)

u u n

n n λ

  

= −  ∈∈



Thật vậy, vì λ là khối địa phương nên tồn tại lọc  có cơ sở  gồm các tập hợp khối sao cho

0 và u

→ ⊆

  

Do đó với mỗi B∈ tồn tại nB∈ sao cho : 1

B

u B

α α n

 

≤ ⊆

 

 

Vì B∈ là khối nên 1u,1u B, n ,n nB

n n

− ⊆ ∀ ∈ ≥

 

  

Suy ra  ⊆ nên ∈λ(0). Nếu L là dàn véctơ Archimedes và theo ví dụ 2.1.2 thì λr là cấu trúc hội tụ khối địa phương mịn nhất trên

Như đã nói, dàn véctơ hội tụ khối địa phương được xem là tổng quát hóa của không gian Riesz khối địa phương, sự tổng quát hóa đó được thể hiện qua một số kết quả sau

Mệnh đề 2.1.2. Cho λ là cấu trúc hội tụ không gian véctơ trên dàn véctơ L. Ta xét các mệnh đề sau

i) λ là cấu trúc hội tụ khối địa phương.

ii) Ánh xạ ∨:L L× ( , )f g ∨ ∨ ∈f g L liên tục đều.

iii) Ánh xạ ∧:L L× ( , )f g ∧ ∧ ∈f g L liên tục đều.

iv) Ánh xạ Lu u ∈L liên tục đều.

v) Ánh xạ Luu+∈L liên tục đều.

vi) Ánh xạ Luu−∈L liên tục đều.

Khi đó, mệnh đề i) suy ra mệnh đề ii) đến vi).

Chứng minh. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh i) suy ra ii). Thật vậy, xét hai lọc  , ∈λ(0) và không mất tính tổng quát giả sử hai lọc  và  có cơ sở gồm các tập hợp khối lần lượt

{F ii: ∈I}, {Gj: j∈J}.

Do đó, tồn tại lọc ∈λ(0) sao cho

( )( )

( )⊆ ∨ ×∨ ( × )

    

trong đó ( ) ={( ) :K K∈} với ( )H ={( , )u v ∈ ×L L u v: − ∈K}, còn lọc ( × ) được định nghĩa tương tự. Hơn nữa, (∨ ×∨)(( × )) là cơ sở trên tập hợp của các dạng

{ }

, ( , ) : ,

i j i j

H = u∨v f ∨g u− ∈f F v− ∈g G Do vậy với mọi f g u v, , , ∈L thì u∨ − ∨ ≤v f g f − + −u g v Suy ra Hi j, ⊆{(u v, )|∃ ∈f F gi, ∈Gj:u− ≤v f + g}

Vì Fi và Gj là khối nên Hi j, ⊆{( , ) :u v u− ∈ +v Fi Gj =(Fi +Gj)}

Suy ra (F G× )⊆ ∨ ×∨( )((F G× ))

Dễ kiểm tra được ii) suy ra iii), v) và vi), còn iv) được suy ra từ v), vi). Vậy i) suy ra ii) đến vi).

Chú ý. 2.1.1. Để ý rằng điều kiện ii) đến vi) là tương đương. Hơn nữa, trong không gian tôpô trường hợp i) cũng tương đương với mỗi điều kiện từ ii) đến vi). Tuy nhiên, đây

cũng không phải trường hợp tổng quát cho cấu trúc hội tụ không gian véctơ.

Mệnh đề 2.1.3. Cho L là dàn véctơ hội tụ khối địa phương với cấu trúc hội tụ λ. Khi đó, ta có các kết quả sau

i) Tập con bị chặn thứ tự của L là bị chặn đối với λ. ii) Bao đóng của tập con khối trong L là khối.

iii) Bao đóng của không gian con Riesz trong L là không gian con Riesz của L. Đặc biệt, bao đóng của ideal trong L là ideal trong L.

Chứng minh.

i) Được suy ra từ mệnh đề 2.1.1.

ii) Cho tập A⊆L là khối và f ∈a A( ) thì tồn tại lọc F∈λ( )f sao cho A∈F

iii) Giả sử K là không gian con Riesz của L và xét f ∈a K( ). Theo mệnh đề 2.1.2 và bổ đề 1.3.1 cho ta f+∈a K( ). Vì K là không gian con tuyến tính của L và theo định lí 1.2.2 nên K là không gian con Riesz của L. Nếu K là ideal nên từ ii) thì a K( ) cũng là ideal trong L.

Mệnh đề 2.1.4. Cho L là dàn véctơ hội tụ khối địa phương Hausdorff với cấu trúc hội tụ λ. Khi đó, ta có các kết quả sau

i) L là Archimedes.

ii) Nón L+ của L là đóng.

iii) Nếu lưới tăng (fα) hội tụ đến f trong L thì (fα) tăng đến f trong L. Tương tự, nếu

iv) lưới giảm (fα) hội tụ đến f trong L thì (fα) giảm đến f trong L. v) Mỗi bó của L là đóng trong L.

Chứng minh.