3 Hàm phạt chính xác và áp dụng
3.2.1 Bài toán tối ưu vecto tuyến tính
Trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm và các kết quả chung về bài toán tối ưu vecto tuyến tính.
Bài toán tối ưu vecto tuyến tính là bài toán có dạng:
max{Cx : x∈ X}, (LV P) trong đó X ⊆ Rn là đa diện lồi, compact và C là ma trận cỡ p×n.
Từ nay về sau, để đơn giản ta chỉ xét quan hệ thứ tự cho bởi nón lồi
Rp+ = {x ∈ Rp : xj ≥0,∀j = 1, .., p}.
Khi đó cho hai điểm x, y ∈ K, ta có các ký hiệu sau: 1. x ≤y ⇔ xi ≤yi,∀i = 1, .., p và x 6= y,
2. x < y ⇔ xi < yi,∀i = 1, .., p,
3. x 5 y ⇔xi ≤ yi,∀i = 1, .., p.
Ta có các định nghĩa sau về nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu lý tưởng:
Định nghĩa 3.1.
Điểmx∗ ∈ X được gọi lànghiệm hữu hiệu (haynghiệm tối ưu Pareto)của bài toán(LV P)nếu không tồn tạix ∈ X sao choCx≥ Cx∗ và Cx6= Cx∗
Điểm x∗ ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (LV P) nếu không tồn tại x∈ X sao cho Cx > Cx∗
Điểmx∗ ∈ X được gọi lànghiệm hữu hiệu lý tưởng của bài toán (LV P) nếu Cx∗ ≥ Cx,∀x ∈ X
Ta ký hiệu tập tất cả các nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu lý tưởng của bài toán(LV P)lần lượt làXE, W XE và IXE.
Ví dụ 3.1. Xét bài toán max{Cx, x ∈ X}, trong đó
C = 1 0 0 1 và X = {x ∈ R2 : hai, xi ≥ bi, i = 1, ..,5}, (3.16) được minh họa như Hình 3.1.Bằng hình học dễ thấy
XE = [v1, v2]∪ [v2, v3].
Hình 3.1: Tập XE không lồi.
Định lý sau đây cho phép ta tìm được một nghiệm hữu hiệu của bài toán (LV P) thông qua việc giải một quy hoạch tuyến tính thông thường, còn được gọi là định lý vô hướng hóa.
Định lý 3.3. Nếu x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán(3.17) với λ > 0 thì x∗ là nghiệm hữu hiệu của bài toán (LV P). Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm hữu hiệu của bài toán (LV P) thì tồn tại vecto λ ∈ Rp và λ ≥0, λ 6= 0 sao cho x∗ là nghiệm tối ưu của quy hoạch tuyến tính sau
max{hλ, Cxi : x∈ X}. (3.17)
Chứng minh. Gọi x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (3.17). Nếu x∗ không phải là nghiệm hữu hiệu của bài toán (LV P) thì tồn tại x0 sao cho Cx0 ≥
Cx∗ và Cx0 6= Cx∗ . Từ đây và từ giả thiết λ >0, kéo theo
hλ, Cx0i > hλ, Cx∗i.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (3.17), do đó x∗ là nghiệm hữu hiệu của (LV P).
Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm hữu hiệu của (LV P). Gọi C là bao lồi của tập
H = {y ∈ Rp, y = Cx−Cx∗, x ∈ X}.
Ta sẽ chỉ ra C ∩ Rp+ = {0}. Thật vậy, C 6= ∅ vì 0 ∈ H. Lấy y ∈ C, theo định nghĩa bao lồi, ta có y1, y2 ∈ H sao cho
y = ty1 + (1−t)y2,0 ≤t ≤ 1.
Do y1, y2 ∈ H nên tồn tại x1, x2 ∈ X thỏa mãn
Lấy x = tx1 + (1−t)x2 thì x ∈ X do X là đa diện lồi, suy ra Cx = tCx1 + (1−t)Cx2. Từ đó ta có Cx−Cx∗ = tCx1 + (1−t)Cx2 −Cx∗ = t(Cx1 −Cx∗) + (1−t)(Cx2 −Cx∗) = ty1 + (1−t)y2 = y.
Do x∗ là nghiệm hữu hiệu nên từ đây suy ra nếu y ≥0, thì y = 0. Do y là một điểm bất kỳ thuộc C nên suy ra C ∩ Rp+ = {0}. Theo định lý tách, tồn tại λ 6= 0 sao cho
λTy ≥ 0,∀y ∈ Rp+, (3.19)
λTy ≤ 0,∀y ∈ H. (3.20)
Ở đây, bằng cách chia cho
p P j=1λj 6= 0, ta có thể coi rằng p P j=1λj = 1. Từ (3.19) suy ra λT ≥ 0.
Từ (3.20) và từ định nghĩa của H suy ra
λT(Cx−Cx∗) ≤ 0,∀x ∈ X.
Điều này có nghĩa rằng x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán một mục tiêu (3.17).
Ta có mệnh đề quan trọng sau đây về tập nghiệm hữu hiêu của bài toán (LV P)
Mệnh đề 3.1. Cho XE là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán (LV P), khi đó
1. Tập XE 6= ∅,
2. Tập XE là hợp của một số diện của X. Chứng minh.
1) Theo định lý Weierstrass, do X ⊂ Rn là tập compact nên bài toán (3.17) luôn có nghiệm. Mà theo định lý vô hướng hóa, mọi nghiệm của bài toán (3.17) đều là nghiệm tối ưu của bài toán (LV P) nên tập XE 6= ∅.
2) Theo định lý vô hướng hóa, mọi x ∈ XE đều tồn tại λ ∈ Rp+ để x là nghiệm của bài toán (3.17). Mà chúng ta đã biết tập nghiệm của một quy hoạch tuyến tính là một diện của khúc lồi ràng buộc. Do đó XE là hợp của một số diện của X.
Chú ý 3.1. EX là tập liên thông theo nghĩa là mọi x, y ∈ XE, x 6= y thì đều có một đường gấp khúc từ x đến y nằm trong XE.