3 Hàm phạt chính xác và áp dụng
3.2.2 Hàm phạt chính xác cho bài toán tối ưu trên tập
Bài toán tối ưu trên tập Pareto được phát biểu như sau
max{f(x), x ∈ XE}, (P) trong đóf là hàm mục tiêu tuyến tính xác định trên Rn,XE là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán (LV P), đóng vai trò như tập ràng buộc. Như đã biết, tập nghiệm hữu hiệu XE là tập liên thông, nhưng nói chung XE là một tập con không lồi của X. Vì vậy bài toán (P) là một quy hoạch không lồi, tức là một nghiệm địa phương bất kỳ của bài toán chưa chắc đã là nghiệm toàn cục. Sau đây là ví dụ minh họa cho tính chất trên.
Ví dụ 3.2. Xét bài toán max{f(x), x ∈ XE}, trong đó f là hàm tuyến tính theo x được minh họa bởi Hình 3.2, XE là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vecto trong ví dụ (3.1). Khi đó bằng hình học, ta dễ nhận thấy v1 là nghiệm tối ưu địa phương nhưng không phải là nghiệm tối ưu toàn cục.
Bây giờ chúng ta xét một ví dụ thực tế có mô hình toán học là bài toán tối ưu trên tập Pareto.
Ví dụ 3.3. Một tổng công ty gồm 12 nhà máy, sản xuất 6 loại sản phẩm khác nhau. Gọi xj là số đơn vị sản phẩm loại j, j = 1, ..,6 mà tổng công ty cần sản xuất. Vecto x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6) được gọi là một phương án sản xuất. Ký hiệu X là tập tất cả các phương án sản xuất thỏa mãn điều kiện cho phép của công ty. Như thường lệ,X còn được gọi là tập chấp nhận được. Với mỗi phương án chấp nhận được x ∈ X, giả sử rằng hd, xi
là lợi nhuận mà tổng công ty thu được, hcj, xi là mức sử dụng lao động ở nhà máy j, j = 1, ..,12, trong đó d, cj ∈ R6. Mục đích của công ty là xác định được phương án sản xuất có lợi nhuận lớn nhất trong khi vẫn duy trì được mức sử dụng lao động cao ở mỗi nhà máy. Khi đó mô hình toán học của bài toán này như sau:
max{hd, xi, x ∈ XE},
trong đó XE là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán 12 mục tiêu max{Cx, x ∈ X},
với C là ma trận (12×6) với các hàng Cj, j = 1, ..12 và tập chấp nhận được X ⊂ R6.
Ký hiệu V(X) là tập tất cả các đỉnh của đa diện lồi X ⊂ Rn. Sau đây là tính chất nghiệm tối ưu của bài toán (P). Do hàm mục tiêu f(x) là tuyến tính và cũng là hàm lõm trên tập liên thông đường gấp khúc XE
nên ta có định lý về tính chất nghiệm tối ưu của bài toán (P) như sau:
Định lý 3.4. Bài toán (P) đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh hữu hiệu x∗ của bài toán (LV P), tức là x∗ ∈ XE ∩V(X)
Do XE không được cho ở dạng tường minh nên để xử lý khó khăn đó, ta sẽ định nghĩa
G(X) := {x ∈ Rn : Cy ≥ Cx, y ∈ X}
và
r(x) := max{eT(Cy −Cx) : Cy ≥Cx, y ∈ X}. (3.21) Chúng ta biết rằng nếu tập XE 6= ∅ thì r hữu hạn trên G(X). Thông thường ta đặt r(x) = −∞ nếu x /∈ G(X). Vậy nên miền hữu dụng của r
là G(X). Rõ ràng G(X) là đa diện lồi nếu X là đa diện lồi. Ta có kết quả sau: Bổ đề 3.1. Giả sử XE 6= ∅, khi đó 1. r(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X, 2. r(x) = 0, x ∈ X khi và chỉ khi x ∈ XE, 3. r là hàm lõm. Chứng minh. 1) Rõ ràng r(x) ≥ 0 vì nếu cho y = x thì r(x) = 0
2) Giả sử r(x) = 0. Nếu x /∈ XE thì tồn tại y ∈ X sao cho Cy ≥
Cx và Cy 6= Cx. Suy ra r(x) > 0, mâu thuẫn với giả thiết r(x) = 0, do đó x ∈ XE.
Ngược lại, nếu x ∈ XE thì r(x) = 0 vì nếu r(x) > 0 thì tồn tại y ∈ X
sao cho Cy ≥ Cx và Cy 6= Cx. Điều này trái với giả thiết x ∈ XE. Do đó
r(x) = 0.
3)Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử X = {x : Ax ≥ b}, trong đó A
là ma trận cỡ m×n, b là ma trận cỡ n×1, khi đó r(x) = max{eTCy −eTCx: Cy ≥Cx, y ∈ X} = −eTCx+ max{eTCy :Cy ≥ Cx, Ay ≥b} = −eTCx+ max{eTCy : C A y ≥ Cx b } = −eTCx+ min{uT Cx b : uT C A ≥ CTe}. Ta chú ý rằng nếu ϕj(x) là hàm affine thì ϕ(x) = min{ϕj(x), j ∈ I} là hàm lõm và nếu |I| < +∞ thì ϕ(x) là hàm lõm tuyến tính từng khúc. Ở đây, uT Cx b và −eTCx là các hàm tuyến tính theo x. Do đó r là hàm lõm. Theo bổ đề (3.1) thì XE = {x ∈ X : r(x) = 0}= {x ∈ X : r(x) ≤ 0}.
Vậy bài toán tối ưu trên tập pareto XE có thể viết lại thành
max{f(x) : r(x) ≤ 0, x ∈ X}. (3.22) Khi đó với mỗi N > 0, ta định nghĩa bài toán phạt sau:
max{f(x)−N r(x) : x ∈ X}. (3.23) GọiXE∗ vàS(N) là tập nghiệm tối ưu của các bài toán (3.22) và (3.23).Đặt
N∗ := sup{N ≥ 0 : S(N)∩XE}. (3.24) Chúng ta có kết quả sau đây
Định lý 3.5. Giả sử f là hàm lồi trên X. Khi đó N∗ < +∞ và 1. S(N) ⊂ XE∗ nếu N∗ < N < +∞,
2. S(N)∩XE = ∅ nếu 0 ≤N < N∗.
Chứng minh. Nếu mọi đỉnh của X đều là nghiệm hữu hiệu thì N∗ = 0, khi đó bài toán (3.23) luôn đạt được giá trị tối ưu tại một đỉnh của X. Bây giờ giả sử tồn tại một đỉnh của X không là nghiệm hữu hiệu. Đặt
M0 := min{r(x) : x ∈ V(X) : r(x) > 0} > 0,
và
+∞> U0 > max{f(x) : x ∈ X}, L0 := f(x0), với x0 ∈ XE.
Do X bị chặn nên U0 luôn tồn tại. Lấy N là số thỏa mãn
N > N0 := (U0 −L0)/M0,
và x là một nghiệm bất kỳ của (3.23) thuộc tập đỉnh V(X). Do ϕ(x) :=
f(x)−N r(x) là hàm lồi nên nghiệm tối ưu luôn tồn tại. Khi đó
f(x)−N r(x) ≥f(y)−N r(y),∀y ∈ X ⊃ XE,
và
f(x)−N r(x) ≥f(x0)−N r(x0)).
Suy ra
Từ giả thiết N > (U0 − L0)/M0, suy ra r(x) = 0. Điều đó có nghĩa là
x ∈ XE. Vậy N∗ ≤ N0 < +∞ trong cả hai trường hợp.
Bây giờ lấy N > N∗. Theo định nghĩa của N∗ thì tồn tại N0 sao cho
N∗ ≤ N0 < N và S(N0)∩ XE 6= ∅.
Lấy x0 ∈ S(N0)∩ XE và xN là một điểm của S(N). Khi đó
f(xN)−N r(xN) ≥f(x0)−N r(x0), và f(x0)−N0r(x0) ≥f(xN)−N0r(xN). Cộng các vế của các bất đẳng thức ta được (N0−N)(r(xN)−r(x0)) ≥ 0. Do N0 < N nên r(xN) ≤ r(x0) = 0 (vì x0 ∈ XE), suy ra r(xN) = 0. Do đó, theo bổ đề (3.1) thì xN ∈ XE.
Bằng lý luận tương tự chúng ta có thể chứng minh được
S(N)∩XE = ∅ nếu 0≤ N < N∗.
Kết luận chương 3
Chương này đã trình bày khái niệm về hàm phạt chính xác, điều kiện đủ để tồn tại hàm phạt chính xác cho bài toán tối ưu lồi, bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính,bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu vecto và áp dụng hàm phạt chính xác vào bài toán tối ưu trên tập này.
Tài liệu tham khảo
[1] Lê Dũng Mưu và Nguyễn Văn Hiền,Nhập môn Giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, (sẽ ra).
[2] Lê Dũng Mưu, Nhập môn các phương pháp tối ưu, NXB Khoa học kỹ thuật, 1998.
[3] Trần Vũ Thiệu và Nguyễn Thị Thu Thủy,Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011.
[4] Hoàng Tụy, Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Hà Nội, 2006.
[5] Le Dung Muu, On a Lagrangian Penalty Function Method for Nonlin- ear Programming Problems, Applied Mathematics and Optimization, 25(1992)1-9.
[6] Le Dung Muu, A Convex-Concave Programming Method for Op- timizing over The Efficient Set, Acta Mathematica Vietnamica, 25(2000)67-85.
[7] Le Tu Luc and Le Dung Muu, Global Optimization Approach to Op- timizing over The Efficient Set, In Recent Advances in Optimiza- tion, Lecture Notes in Economics and Mathematicals Systems, 452, Springer, 1997.
[8] Alexander J. Zaslavski, A Sufficient Condition for Exact Penalty in Contrained Optimization, SIAM J.Optimization, 16(2005)250-262.