Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng ( PDE-Partial differential equations ) là phƣơng trình mà trong đó các hàm chƣa biết phụ thuộc vào một tập các đạo hàm riêng của chúng đối với hai hay nhiều biến độc lập. Ví dụ đối với hàm U(x,y) phụ thuộc hai biến độc lập x, y. Dạng tổng quát phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng đƣợc cho bởi:
AUxx + BUxy +CUyy + DUx + EUy + FU = G(x, y), (2.4) trong đó: A, B, C, D, E, F là các hàm tổng quát của U(x,y). Uxx, Uxy, Uyy, Ux, Uy là kí hiệu của đạo hàm.
Sở dĩ phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có đƣợc tầm quan trọng của một công cụ toán học nhƣ thế bởi nó mô hình hóa đƣợc hầu hết các hiện tƣợng vật lý. Ví dụ phƣơng trình nhiệt trong không gian một hay hai chiều mô tả nhiệt đƣợc phân bố nhƣ thế nào trong một đoạn dài hoặc một khu vực tƣơng ứng. Các ví dụ khác của các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tƣợng vật lý là phƣơng trình sóng và phƣơng trình Laplace, v.v... Các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng cũng đƣợc mở rộng sang các lĩnh vực nhƣ tài chính mà tiêu biểu là các phƣơng trình biểu diễn mô hình Black-Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian.
Các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có thể đƣợc phân loại theo các đặc tính khác nhau nhƣ:
- Bậc: Đƣợc xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trong phƣơng trình.
- Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y). Nếu G(x,y) =0 thì phƣơng trình đƣợc gọi là đồng nhất, ngƣợc lại là không đồng nhất.
- Tính tuyến tính: Một phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng đƣợc gọi là tuyến
tính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm U(x,y) và đạo hàm riêng của chúng, ngƣợc lại là phƣơng trình phi tuyến tính.
Ngoài ra các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng đƣợc phân loại theo hệ số. Theo cách này chúng đƣợc chia thành ba loại: phƣơng trình Parabolic, Hyperbolic và Elliptic. Ví dụ phƣơng trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nào sau đây:
+ Parabolic: Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2-4AC=0 + Hyperpolic: Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B2- 4AC >0
+ Elliptic: Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B2- 4AC <0
Sự phân loại này còn đƣợc mở rộng cho các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng bậc cao hơn tuy nhiên tiêu chí phân loại khác nhau phụ thuộc vào bậc của phƣơng trình. Ngoài ra việc phân loại này rất có ích trong việc mô tả lại các hiện tƣợng vật lý của từng loại phƣơng trình. Việc giải các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng nói chung là không dễ dàng. Tuy nhiên một số phƣơng pháp đã đƣợc phát triển trong quá trình đi tìm lời giải cho các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng. Những phƣơng pháp này biến đổi từ việc phân tích các lƣợc đồ cho tới các kỹ thuật số hoàn chỉnh. Ngày nay các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng đã đƣợc biết đến trong các lĩnh vực đồ họa máy tính và hoạt hình giúp giải quyết nhiều vấn đế rất hiệu quả.