2.1. Lời giải chính xác cho bài toán kết cặp
Như đã dé cập. các tính toán HF luôn cho năng lượng của hệ cao hơn năng lượng thực tế là đo chưa tính tới tương quan kết cặp. Tuy nhiên, việc giải bài toán kết cặp dựa
trên lý thuyết siêu dẫn BCS dé khắc phục nhược điểm trên đã dẫn đến một van dé mới là số hat của hệ không được bảo toàn một cách chính xác [15]. Đối với các hệ có số hạt rất lớn như trong các chất bán dẫn kim loại hoặc mẫu khí, đại lượng độ bất định về số lượng hat AN* là nhỏ và có thê bỏ qua được. Tuy nhiên. số hạt của hệ trong lý thuyết BCS không bảo toàn do toán tử số hạt không giao hoán với Hamiltonian của hệ (không phải là số lượng tử tốt). Đôi với các hệ hữu hạn hạt như trong hạt nhân nguyên tử.
độ bất định về số lượng hạt AN? trong lý thuyết BCS là đáng kẻ và cần phải được
xem xét tới, đặc biệt là trong các hạt nhân có khói lượng nhẹ và trung bình [53].
Đề giải quyết được nhược điểm trên của lý thuyết BCS, nhóm nghiên cứu của Volya
cùng với các cộng sự đã đề xuất ra một cách tiếp cận khác, đỏ chính là phương pháp lời giải chính xác cho bài toán kết cặp vào năm 2001 [22]. Phương pháp EP đảm bao số hạt của hệ hạt nhân luôn được bảo toàn một cách chính xác. Bằng cách sử dụng các toán tử giả spin (Partial quasispin operators) được mô tả trong lý thuyết đại số SU(2), Hamiltonian kết cặp của hệ có thể được biểu diễn đưới dang đơn giản hơn đồng thời có khả năng chéo hóa trực tiếp dé thu được các hàm riêng và trị riêng chính xác. Một
bộ các hàm riêng và trị riêng như vậy được gọi là lời giải chính xác bài toán kết cặp.
Hiệu ứng kết cặp của hạt nhân được mô tả thông qua Hamiltonian kết cặp có dạng
như sau [15. 40]:
+ ] : - j~m
H = DEO) ne 3>... a jvc = (=1) F ays (2.1)
Am aa Ae Ae”
trong đó £, là năng lượng đơn hat (single-particle energy), G là cường độ kết cặp được
hiệu chỉnh tùy thuộc vào độ mạnh yếu của các liên kết cặp giữa các nucleon trong
hạt nhân, độ và a,, là toán tử sinh (creation operator) và toán tử huy (annihilation
operator) một nucleon ở trạng thái jm=nijm tôn tại trong không gian suy biến
2@,=2/+l ứng với năng lượng đơn hạt ¢,. Ký hiệu ~ dùng để biểu diễn toán tử
1S
nghịch đảo thời gian (time-reversal operator). Hamiltonian kết cặp (2.1) mô tả một hệ gdm N neutron hoặc Z proton chuyển động trong trường trung bình HF và tương tác với nhau thông qua tương tác kết cặp với cường độ tương tác kết cặp G. Cu thé,
phương pháp EP sử dụng 3 toán tử giả spin tại các trạng thái j đơn hạt có dang như sau
[22]
L; =Ð đua... (2.2)
i; (+ ye (23)
1J=~Š |ata„=—|=-(N,—o 24"Ẳ' “mm — 2) =5\ i ny Q2. )
với N, và Q, =(2j+1)/2 là toán tử số hạt và số bậc suy biến do kết cặp của một mức đơn hạt j, tương tự như trong lý thuyết BCS. Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán
của nhóm SU(2) có dạng như sau
[¿/.z | =25,L;, [tt | =8,Li, [1z | =-6,.L}. (2.5)
Khi đó, phương trình Hamiltonian kết cặp (2.1) được viết lại có đạng như sau
H=ỀS`e/Q,+25)e,L¡+GỀ`L)L;-. (26)
J J wv
Hamiltonian được biêu diễn thông qua các toán tử giả spin đã làm cho bài toán kết cặp tương đương với bai toán tương tác spin trong từ trường để mô tả các trạng thái
tách vạch trong hiệu ứng Zeeman trong vật lý nguyên tử [54]. Với mọi toán tử giả spin
L, có giá trị L) = L; L, ={, +(”] giao hoán với Hamiltonian, dẫn đến L, là một>
số lượng tử tốt (Good quantum number) trong bài toán kết cặp. với L, ứng với trị riêng
L, (L, +1) của Ly. Giá trị cực đại của L, được lấy là Q, /2, đại diện cho trường hợp
tất cả các hạt kết cặp với nhau trong các mức đang xét đến và N,=29,, với LE =L,=2,/2. Các đại lượng giá spin L, và hình chiếu là Li được biểu diễn
J
16
thông qua số hạt chiếm đóng N, và số hạt không kết cặp (senority) s, trên mức thứ j
có dạng như sau
-9,), (2.7)
va
L;|L,.U3)= \(L, FG )(L, £6, +1)|L,.L, #1). (2.8)
Yếu tố ma trận kết cặp của (2.6) được xác định bởi hai thành phan bao gồm đường chéo
chính có dạng như sau [22]
và thành phần ngoải đường chéo chính có dạng như sau
- HỈ N„—s,)(2,„—s,~M„+2)(20,—s,—N,)(N,—s, +2) |”.
Việc chéo hóa ma trận kết cặp (2.9) — (2.10) giúp chúng ta thu được các trị riêng £, và hàm riêng |s}. Đây chính là lời giải chính xác cho bài toán kết cặp tại nhiệt độ 7 = 0.
Tóm lại, trong phương pháp EP, hiệu ứng kết cặp chỉ được áp dụng đúng cho các mức đơn hạt nằm xung quanh mức năng lượng Fermi, nơi mà hiệu ứng kết cặp chiếm ưu thé. Mức Fermi trong phương pháp EP được tính nằm phía trên mức chiếm đóng hai hạt kết cặp trên cùng và năm phía dưới mức chiếm dong hạt lẻ. Việc chi sử đụng được cho một số lượng hạn chế của các mức đơn hạt như vậy được lý giải là do
sự giới hạn của kích thước ma trận kết cặp trong hệ cơ sở (s N ,)18. 47], tức làSys
không gian trạng thái của hàm sóng bị giới hạn do sự tăng lên theo hàm mũ của các
trạng thái riêng làm tiêu tốn quá nhiều thời gian tính toán. Hiện nay, nhược điểm này của phương pháp EP vẫn chưa được khắc phục. Tuy nhiên, đo hiệu ứng kết cặp chỉ ảnh hưởng mạnh mẽ nhất đến các mức nằm xung quanh Fermi cho nên phương pháp EP
vẫn có thê áp dụng tốt cho các hạt nhân khi có tính đến hiệu ứng kết cặp [8. 47. 48].
17
2.2. Mô tả hạt nhân tại nhiệt độ hữu hạn
Khi sử đụng phương pháp EP, ta phải thực hiện chéo hóa ma trận kết cặp Hamiltonian đề đưa ra các giá trị của số chiếm đóng lượng tử ƒ trên các mức don hat vả năng lượng
kết cặp ¢,,,,- Khi nhiệt độ tăng lên, các tính chất nhiệt động và tính chất kết cặp của hạt nhân thay đổi và ảnh hưởng của hiệu ứng nhiệt là đáng kể. Nhằm khảo sát các tính chất đó. ta cần tính toán và biểu điển các đại lượng nhiệt động, số chiếm đóng đơn hạt và khe năng lượng kết cặp trong hệ nhiệt động lực học chính tắc (Canonical ensemble). Dựa vào trị riêng năng lượng kết cặp thu được từ việc chéo hóa ma trận ta có thẻ xây dựng hàm phân chia (Partition function) của hệ nhiệt động có dang
như sau [8, 23. 47]
Z(T)= 2e“, (2.11)
trong đó s là tông số hạt bị phá vỡ kết cặp, 2“ là bậc suy biến và £, là trị riêng
năng lượng của trạng thái lượng tử |s) thu được từ việc chéo hóa ma trận. Thông qua
hàm phân chia Z(7). ta có thé mô tả được các hàm nhiệt động như năng lượng tự do F (Free energy), năng lượng toàn phan của hệ ¢ (Total energy), entropy S, nhiệt dung C (Heat capacity) cũng như khe năng lượng kết cặp A va nang lượng kết cặp épair tai
nhiệt độ hữu han, cụ thé là:
F=-TinZ(T), (2.12)
e=F+TS, (2.13)
S=-—, 2.14or (2.14)
c=, (2.15)
él
ee (2.16)
e. -2-250,(¢,-£y)s, (2.17)G
; 2
với số chiếm đóng đơn hat phụ thuộc vào nhiệt độ được xác định boi
18
1209, (2.18)
Dựa vào giá trị số chiếm đóng thu được tại nhiệt độ hữu hạn, sự hiện điện của các
nucleon trên các mức năng lượng đơn hạt được mô tả. Thông qua đại lượng này,
chúng ta cũng có thé quan sát thấy sự suy yêu của hiệu ứng khóa mức Pauli trên mức lẻ.
Dối với phương pháp FTEP, số hạt của hệ được bảo toàn tại nhiệt độ bằng không và nhiệt độ hữu hạn. Ngoài ra, khác với phương pháp FTBCS, khe năng lượng kết cặp trong
phương pháp FTEP chỉ giám đi khi nhiệt độ tăng lên và không bị triệt tiêu thậm chi tại
nhiệt độ lớn hơn 4 MeV [8. 9, 23]. Điều này mô tả đúng bản chất của tương quan kết cặp trong các hệ hữu hạn hạt như hạt nhân nguyên tử. Đặc biệt, đối với các hạt nhân lẻ hiện tượng tái kết cặp xuất hiện khi nhiệt độ tăng lên. Điều này làm tăng cường giá trị khe năng lượng kết cặp trong vùng nhiệt độ thấp. Hiện tượng này được phát hiện lần đầu bởi Kamuri [17] và Moretto [18]. Cụ thê là, đối với các hạt nhân lẻ, sự tái kết cặp được giải thích là do sự suy yếu của hiệu ứng khóa mức Pauli (Pauli blocking effect), Theo quan điểm truyền thong đối với các hệ hạt nhân lẻ ở nhiệt độ 7 = 0, nucleon lẻ sẽ chiếm đóng mức năng lượng trên cùng và mức đó bị khóa lại do hiệu ứng
khóa mức Pauli (15, 33]. Khi nhiệt độ tăng lên, hiệu ứng này sẽ ngăn can sự tán xa
kết cặp từ các nucleon bị phá vỡ kết cặp ở các mức chiếm đóng phía dưới. Tuy nhiên, các nghiên cứu gần đây cho thấy rằng mức lẻ này sẽ trở nên lỏng lẻo hơn khi nhiệt độ tăng lên và gây ra sự tái kết cặp trong các hạt nhân lẻ tại nhiệt độ hữu hạn [30].
Hiệu ứng tái kết cặp có đóng góp quan trọng trong việc tính toán các đại lượng mô tả cấu trúc hạt nhân như tiết điện hap thy photon, mật độ mức và hàm lực bức xạ hạt nhân.
Trong khuôn khô khóa luận này, chúng tôi sử dụng mô hình lý thuyết tính toán lời giải chính xác cho bài toán kết cặp cho cầu hình thử nghiệm có N nucleon lẻ chiếm đóng Q mức năng lượng suy biến bậc hai (N <Q) xung quanh mức Fermi và
tương tác với nhau bởi lực kết cặp có hằng số cường độ kết cặp G. Dỗi với mô hình có
N=9, Q = I0 và G được chọn sao cho khe năng lượng kết cap A = 1 MeV tại nhiệt độ T=0, với các mức don hạt là E, =k MeV (k= 1, 2,3, ..., Q), khe nang lượng két cp, nhiệt dung C, entropy S và số chiếm đóng đơn hat được trình bay lần lượt trong
Hình | - 4.
19
0,4
0 1 2 3 a
T (MeV)
Hình 1. Khe nang lượng kết cặp của cầu hình thử nghiệm theo nhiệt độ.
1,00
0,75
2S
Số chiếm đóng đơn hạt °b
°8
Hình 2. Số chiếm đồng đơn hạt của cau hình thử nghiệm theo nhiệt độ.
Khe năng lượng kết cặp của cấu hình thử nghiệm được tính toán theo phương pháp
FTEP như Hình | mô ta hiệu ứng tái kết cặp thông qua việc xuất hiện một đỉnh cực đại trong vùng nhiệt độ thấp (7< 1 MeV). Các kết quả thu được từ phương pháp FTEP cho thay sự suy yếu của hiệu ứng khóa mức Pauli đối với mức hạt lẻ, cụ thé là số chiếm đóng mức lẻ giảm dan theo nhiệt độ (như Hình 2). Điều này cho phép hat lẻ có thé tái kết cặp với các nucleon khác và dan đến khe năng lượng kết cặp có sự tăng nhẹ và đạt đến giá trị cực đại trong khoảng vùng nhiệt độ thấp 7 < 1 MeV. Đông thời, phương pháp FTEP cũng có xem xét đến các dao động nhiệt khi nhiệt độ tăng lên. Kết quả là khe năng
lượng kết không bị biến mat hoàn toàn như lý thuyết BCS tại nhiệt độ giới hạn Tc, mà chỉ giảm một cách đơn điệu và thậm chí còn tồn tai khi nhiệt độ 7 ~ 4 MeV. Hình 2 cho thay rằng số chiếm đóng đơn hạt có sự giảm (tăng) đôi với các mức dưới (trên) mức năng lượng Fermi, đồng thời mức hạt lẻ màu đỏ có sự giảm nhẹ khi nhiệt độ tăng lên.
20
0 1 2 3 a
T (MeV)
Hình 3. Nhiét dung cua cau hình thứ nghiệm theo nhiệt độ.
12
10
0 1 2 3 4
T (MeV)
Hình 4. Entropy của cau hình thứ nghiệm theo nhiệt độ.
Hình 3 trình bay đại lượng nhiệt dung C của cấu hình thử nghiệm thu được từ
phương pháp FTEP. Lúc này, nhiệt dung C tồn tại có cấu hình S-shape tại nhiệt độ tới hạn chứ không thăng giáng một cách gián đoạn như được mô tả trong lý thuyết siêu dẫn BCS [30, 49]. Điều này cho thấy rằng quá trình chuyển pha từ trạng thái siêu dan sang trạng thái bình thường có sự thay đôi dan trong phương pháp FTEP. Hình 4 trình bay đại lượng entropy $ của cầu hình thử nghiệm theo phương pháp EP. Độ dốc của Entropy S trong các tính toán FTEP nhỏ hơn trong lý thuyết BCS tại vùng chuyên pha SN do có sự chuyên pha liên tục gây ra bởi các dao động nhiệt trong hệ
hữu han {30].