Kiểm chang ba dink luật Kepler 116

4, KIEMNGHIEMLALBA ĐỊNH.LUẬT KEPLER-~ BÀI TOÁN BAI VẬT

Chatong 3: Kiểm chang ba dink luật Kepler 116

ng dụng Matlab kháe vat một sb kiện tang cơ hee

quỹ đạo theo thời gian. ta

a eet.

Như vậy theo thời gian, bin kính quỹ đạo có thay đổi

(I,475x10''m =I,$209xI10''m), Nói cách khác, quỹ đạo này không tuyệt đối tròn. Còn đối với Mật Trời, nếu ta vẽ đổ thị biểu điển tọa độ, ta thấy rầng Mặt Trời không phải đứng yên tại một chỗ.

Trong chuyển động của các thiên thể trong hệ Mặt Trời, chúng ta sẽ bỏ qua chuyển động của Mặt Trời, nghĩa là xem như Mặt Trời đứng yên. Do đó, hệ mười hai

phương trình vi phần rút gon lại còn sáu phương trình viết cho vật thể m; và vì m chỉ chuyển động trong mặt phẳng, mà ta chọn là xOy, nên ta bỏ luôn hai phương trình viết theo phương Oz. Cuối cùng, ta còn lại bốn phương trình vi phần.

Ngoài ra, chúng ta cũng không cắn quan tâm đến khối lượng m, bởi vì chúng ta xem rằng Mặt Trời đứng yên, giá trị của m sẽ không ảnh hưởng đến kết quả khảo sát!

Ta có thể dùng chương trình này, kết hợp với các kết luận trên để khảo sát quỹ

đạo sao chối Halley, một sao chổi rất nổi tiếng, nhưng khối lượng của nó vẫn còn là một ẩn số (chỉ có các giá trị ước chừng, khoảng 3x10"*ke , không chắc chin), chu kỳ khoảng 76 năm (khoảng 27740 ngày). Khoảng cách gắn Mặt Trời nhất là 0,87829xL0!!m , vận tốc tại điểm này là $4,445x10'm/s . Kết quả thu được bên đưới với h=S ngày,

N=27000; nghĩa là hình ảnh thu được trong 27000 ngày (khoảng 74 năm) mà sao chối

Halley chuyển động trên quỹ đạo.

©kuastg 31 Kiém chưng ba dink luật Kepler 117

đống dụng Matlab khảo st mật vế hign tạng cơ hge

3. Định luật 1 Kepler

Nội dung của định luật 1 Kepler là: Các hành tỉnh chuyển động trên những quỹ đạo elip mà Mặt Trời là một trong hai tiêu điểm.

Một clip có tâm sai e rất nhỏ thì sẽ trở nên gắn giống như đường tròn, đây là trường hợp của Trái Đất.

Trong chương trình trên, chúng ta vẫn chưa kiểm tra xem các quỹ đạo thu được có phải là các clip hay không. Matlab không cung cấp lệnh để xuất ra từ các số liệu nhập vào phương trình của một đường cong nào đó. Do vậy, ta sẽ kiểm tra lại các đổ thị

trên bằng cách sau:

* Xác định khoảng cách gần nhất, xa nhất từ các hành tỉnh đến Mặt Trời (điểm

cận nhật, điểm viễn nhậU).

một trong hai tiêu điểm.

3.1. Số liệu các hành tinh

nhậtcách | ứng trên quỹ

Mặt Trời | đạo (km/s)

m Trời (ng

‘Thy Tinh |4.6003⁄10°|3897 |02056 | 87.969

KimTinh |l074x10' |33424 | 0.0068 | 224,701 Trips ——ơll47ixI0" |3027 |0067 365,256 | HỏaTinh - |20665x10!|2649 |00934 |ó86980

ung 3: Kiểm chung ba địnk luật Kepler 118

dừng dụng Matlab khảo lát một vế kiệm tượng cố học

Mộc Tinh 140wxi0 | — Jong [ —]

Tu Tim — [Lai |iúio [o0 — [o9

Thiên Vương Tinh | 2,7297x10" | 7,128

Hii Vtg Tinh |44453xI”|S4 |0006 [603 —~

Diêm Vaong Tinh | 4.4363x10" [6.128 — |0240

3.2. Nhắc lại vài đặc điểm của elip

Một clip như hình bên, hai tiêu điểm là F, F’; bán trục lớn a, bán trục nhỏ b; sẽ

có phương tinh: SS== + 2; =I.

éa`—B` __y

Tâm sai e được xác định bởi biểu thức: e = a

Tưởng tượng rằng lúc này nếu Mặt Trời ở tại

tiêu điểm P, thì khoảng cách cận nhật (N), viễn nhật

(V) từ một hành nh tới Mật Trời là:

đ. =a(l=e)

lh =a(l+e).

Trong chương trình ta sẽ xác định được d_,d,.

Ti đó suy ngược ra a, c, b. Có a, b ta sẽ vẽ được một đường elip. So sánh elip này với quỹ đạo của hành

tinh trên cùng hình vẽ để rút ra kết luận.

. function DLIKepler

%⁄4Kiem tra dinh luat I Kepler global G M

Gr6.67e-11;

M=1.986¢30;

ele

°%——————— Dieu kien ban đau——————ọ

-a( 1) 1.471611; a(2)=0; a(3)=0;a(4)=30.27e3;

®%4——————————————————————`°s i=1;

. for t*0:86400:360%§6400 Yoh=1 ngay, N=360 TSPAN()=t

iit];

Sa 5(@DLI,TSPAN [a(1) a(2) a(3) a(4)].odeset(RelTof, !e-12));end

“-l;

%——Tinh ban truc lon, tam sai, ban truc nho, diem vien nhat—%

Rmax*a( Ì );

Rmin=a(1);

for iw 1:N

xi sti, 1);

y()“s(12);

r(i}“sqrt(x(i}*2+y()^2) if r( i}>Rmax

Ohutong 3: Kiém chiing ba dink luật Kepler 119

dừng dụng Matlab khảo tát một sd kiện trayng cơ học

_ Qua

if r(i)<Rmin

Rminer(i);

end

axis equal

piot(x()y()) — %—Quy dao Trai Dat

hold on

plot(0,0/g*) — %—Mat Troi

hold on

cnd

btl=(Rmax+Rmin)⁄2

e=(Rmax-Rmin)(Rmax+Rmin) btn=sqrt(Rmax*Rmin)

dvn=Rmax

% Ve Elip———ơ%

X=-Rmax;

while X<Rmin

Y1=btn®sqrt(I-(X/btl+e}^2);

Y2=-btn®sart(I-(X/btl+e}^2);

plot(X.Y1,v);

hold on

plot(X.Y2,v?.

hold on

X=X+b/100, cnd

. xlabel(x (m));

ylabel(*y (m)),

- gtext(Maẽt Trời','fontname','vni-times','fontsize', | 2); (

gtext(Quyư đạo Trái Đất ,'fontname','vni-times' 'fontsize', 12); |

gtext(Elip, maou hoang’,‘fontname’,‘vni-times’,'fontsize’,12); /

%————— he phuong trinh vi phan——————3⁄

function heằ DLI(t,s)

- global G M

r_lp=(s(1ˆ2+s(2)^2Y(3/2),

he=[s(3);s(4);-G*M*s(lXr_Ip;.G*M*s(2Mr_Ip];

————

Chương trình này chạy với các thông số của Trái Đất. Với điểu kiện đầu là hành tinh ở điểm cận nhật thì chúng ta không cẩn phải tìm khoảng cách ngắn nhất từ hành

tinh đến Mặt Trời. Và ở trên, chúng ta cũng chỉ xét hệ bốn phương trình vi phân, nghĩa

là xem Mặt Trời đứng yên.

Để áp dụng cho các hành tinh khác, ta thay các điểu kiện đầu, thay bước nhảy h, thay số lắn giải phương trình N. Cụ thể là đối với những trường hợp chu kỳ chuyển động lớn, ta phải tăng h đồng thời thay đổi N thích hợp để có thể thu được hình ảnh của hành

tinh trên toàn quỹ đạo, mà vẫn dim bảo máy tính không phải chạy lâu.

Chẳng hạn, với Diêm Vương Tinh, nếu h=1, N=90000 thì có thể máy sẽ chạy hàng giờ vẫn không ra hết kết quả! Khi này ta có thể chọn h=90, N=90000.

ung 3: Kiém chứng ba định (uật Kepler 20

(lag dụng Matlab khido tát mật cố hiện tượng eo hoe

Chú ý đến lệnh vẽ elip, ở đây, chúng ta chọn Mặt Trời làm gốc tọa độ, nên

(Y+OF} ¥?

phương trình elip trong hệ tọa độ mới sẽ có dạng ^——r—~ + 7" =1, mà OF=e.a nên:

C+2'+~=l, chuyển vế, lấy căn, ta thu được hai biểu thức Y1 và Y2. Và cũng vìP ?

vậy, khoảng chạy của X cũng thay đổi (từ Rmax đến Rmin).

Phương pháp Runge - Kutta bản chất đã là các phép tính gắn đúng, cho nên kết quả mà chúng ta thu được chỉ là kết quả gần đúng. Độ chính xác càng tăng nếu đối với

cùng một chu kỳ chuyển động. bước nhảy h được chọn càng nhỏ.

Lần lượt cho thử với chín hành tính, ta thu được bảng giá trị sau, và các hình ảnh

bên dudi:

kém so với số liệu a a

aban trước

Thủy Tinh =e 0,207 (+1,02%) - 0.2077 (+1,02%) | 5.805x10" acs

08140"

Hỏa Tinh E— TT” L22845xi0' | 2.2740" |25036xi0 |

i 8,2083x10"

Thốmh — |0850LL8HĐ —[LezaeioTM [ exona10? — 1,4995%10"

Thiên josie 2.864310" | 2,8611x10 2,9989x10'?Tinh

Tinh

Chatong 3: Kiém ching ba dink luật Kepler f2t

đống dung Matlab thio xát một số hitn higng oa hoe

=——...ẽ:...

Chitomg 3: %Xiếm ehuing ba djnk luật Kepler 122

Ung dung Matlab khảo sit một vế liệm tráng eo học

3.4. Nhận xét

Trong mọi trường hợp thu được từ chương trình các đường clip vẽ thêm luôn

trùng với quỹ đạo của hành tinh. Như vậy ta có thể kết luận: quỹ đạo của các hành tinh là đường clip mà Mặt Trời nim ở tại một tiêu điểm. Đây chính là định luật nội dung của

định luật I Kepler.

4. Định luật H và III Kepler

Định luật II liên quan đến vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo: Vectơ bán kính nối từ Mặt Trời đến hành tinh quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Điều này cũng có nghĩa rằng hành tinh sẽ có vận tốc càng

lớn khi nó ở càng gin Mặt Trời.

Định luật II] nói vể quan hé giữa chu kỳ chuyển đông của các hành tinh quanh Mật Trời với bán trục lớn của quỹ đạo: Bình phương chu kỳ chuyển động tỷ lệ với lập

phương bán trục lớn của quỹ đạo.

4.1. Phương pháp tính diện tích quét và chu kỳ

Xem hình vẽ bên cạnh. Giả sử ở thời điểm /,, hành tinh có toa độ (x,, y,). tại thời điểm 0, rất gắn 4, tọa độ sẽ là (x,, y,). Ỳ,

Gọi a, góc tạo bởi bán kính vectơ và

phương Ox: tga.

= 4g) =d(2)= _

©(I+w'aduư=*2=}£,

1... ....

* l*+#gœ xÝỶ+y

Ở thời điểm ban đẩu t=0, œ =0. Sau mỗi khoảng thời gian dt, ta sẽ tính giá trị

da một lin; cộng tất cả lại với nhau để có được œ tương ứng tại thời điểm t đang khảo

sát đến khi nào œ >360” thì đừng lại. Lúc này hành tinh đã chuyển động được một chu

kỳ và T=t chính là chu kỳ chuyển động của hành tinh,

Trong công thức tính đœ ở trên, ta thay x, y bởi các giá trị trung bình của chúng

trong khoảng thời gian này, nhằm làm ting độ chính xác của kết quả: ¿

y.ọ 3

Khoảng cách trung bình từ O đến vị trí của hành tinh trong khoảng thời gian này

là: ra +y ;

Như vậy: da = 20, = W205 =)

Cũng trong khoảng thời gian dt này, bán kính vecto quét được một diện tích có

giá trị bằng: dS == da.=

Chitong 3: “Kiểm ching ba dink luật Kepler 123

từng dụng Matlah khảo vát mật và kiện teting cứ học

4,2. Chương trình

Trong chương trình, ta dùng vòng lập while: while alpha<2*pi.. để kiểm tra diéu

kiện dừng lại Trong mỗi lin tính, ta tăng giá trị của |, tính giá trị của dS(i), tính alpha thằng phép gán: alpha= alpha+dalpha.

Cũng tương tự trong chương trình này, ta có thể thay các điểu kiện ban đấu tương

tứng khi áp dụng cho các hành tỉnh khác nhau.

ffunction dinhluat23Kepler

"% Cac thong so ung voi Trai Dat ele

G-6.67e-11;

\M=1.986c30;

%%————————-Dlieu kien ban dau————————⁄%ằ

a(1}=1.471el 1; a(2)=0; a(3)=9:a(4)=30.27e3;

kà/

p=);

for t=0;86400/2:370°86400 TSPAN(}“t

I=fH;

cnd

[t,s}rode45(@DL23, TSPAN, [a( 1) a(2) a(3) a(4)],odeset('ReTToY,Ie-12));

alpha=0;

I2;

x(l}ˆs(1,l);y(1}-s(I,2);

while alpha<2*pi

x(}=s(t,Ì);

y()}“s(i,2);

x_trungbinh^(x(1)+x(-1)⁄2;

y_ trungbinh=(y(1}+y(4-1))⁄2;

r_trungbinh=sqrt(x_trungbinh^2+y_trungbinh^2),

dalpha~abs(x_trungbinh*(y(i)-y(i-i)}-y_trungbinh*(x(i)-x(i-1))\/r_trungbinh*2;

alphn=alpha+dalpha;

dS(i)=r_trungbinh*2*dalpha/2;

iit;

end

Nei-l;

t(i-1 ¥86400 %chu ky

“%——Do thi bieu dien su phụ thuoc cua dS(i) vao thoi gian——% ..

for ¡=2:N :

plot(t{i)/86400,dS(i))

hold on end

xlabel("Théei Aicdm (ngasy)’,'fontname’,'vni-times’,'fontsize’, | 2) ylabel(Dieọn tớch qucựt (m*2)’,'fontname’,‘vni-times'’,'fontsize’,12)

%————————————————————*.‹

function he=DL23(t,s) global GM

1 Ipe(s(1)°2+s(2)°2)(3/2);

he=[s(3);s(4);-G*M*s(1)/r_Ip;-G°M*s(2)/r_ Ip};

ding dụng Matlab &&ủo vit một số ủệứt cot hge

Đồ thị biểu điển sự phụ thuộc của đS@) vào thời gian không phải là một đường

thẳng, nó có dạng sau:

Đối với các hành tỉnh khác, dạng cũng tương tự.

Giá trị của dS có thay đổi, nhưng rất ít, vào cỡ 1/10000 (nhân với một lũy thừa của 10) ở các thời điểm khác nhau (ta nhận được các kết quả này nếu thêm dòng lệnh để xuất các dS(i) trong chương trình). Do vậy, bên trục diện tích quét, ta chỉ thấy các

con số có cùng giá trị 9,6177(8).

Bảng bên dưới ghi lại giá trị các chu kỳ thu được sau khi đã thử cho cả 9 hành

tinh; đồng thời xác định các tỷ số 7, với a là bán trục lớn mà ta xác định trong phần

h là bước nhảy thời gi

Bi šbsi pisnunil. s27

ThủyTmh |025 |385 ——|s§039xo" l3. — KimTinh |0Ss |25S ——|i084x' 3463 ——

TráiÐĐấ |1 |36s — |i4@g2xi0U 3p — [HỏaTinh |! |úo - |228@3xi0' |334j — [MocTinh |4 |4360 |7808xig, lạag — ThIn |10 | 10720 |i422x10) lạng

|Thiên Vương Tinh |20 |30640 | 2,8643x10" lạ — [Hải Vuong Tinh |60 |ứ@@og | 4,4834x10" lạag;

| Diêm Vương Tinh |60 |92340 |s979xi0” 343g —

(Ung dụng Matlab khảo lát một vế kiện tayng ed hee

5. Kết luận

Thông qua các chương trình trên, chúng ta đã lắn lượt khảo sát, chứng minh 3 định luật Kepler, xuất phát từ định luật vạn vật hấp dẫn của Newton. Kết quả thu được không thể hoàn toàn chính xác 100%, nhưng là những kết quả chấp nhận được và nhất là thể hiện được các ý nghĩa vật lý quan trọng: nó khẳng định tính đúng đấn của các

định luật Kepler!

6. Mô phỏng chuyển động của các hành tính quanh Mặt Trời

Việc mô phỏng một lúc sự chuyển động của cả chín hành tinh quanh Mặt Trời là

không thể thực hiện được, nếu như ta muốn đảm bảo trên mô hình chuyển động đó sự chính xác về tỷ lệ khoảng cách! Những mô hình như thế này (thường thấy trên các trang

Web) chỉ mang tính biểu diễn.

Ở đây chỉ mô phỏng chuyển động của riêng lẻ từng hành tinh, Chương trình để

mô phỏng là chương trình kết hợp giữa các phắn tìm chu kỳ, diện tích quét, vị trí các

điểm cận nhật và viễn nhật. Ý tưởng như sau:

K=menu(‘Tén tiêu để ',"Chọn lựa 1',"Chọn lựa 2*„. "Chọn lựa n’);

K sẽ mang giá trị 1, 2,.. n ứng với Hin lượt các chọn lựa 1, 2,... n.

ô Với K=l,2_ ,9 ta sẽ cho gọi tương ứng cỏc hàm thuytinh, kimtinh, traidat, ..Cỏc

hàm này là những him dùng để mô phỏng tương ứng cho hành tinh mang tên

hàm.

¢ Trong mỗi him mô phỏng này, ví dụ thuytinh, ta lại xây dựng một ham con khắc

taoanh(V0,X0,heso,N). VO, XO là điểu kiện đầu (ta chọn ở điểm cận nhậu, heso

là bước nhảy thời gian tính theo đơn vị ngày, N là số ngày ước lượng trước, cũng chính là số vòng lập; N được chọn phải lớn hơn chu kỳ một ít Hàm

taoanh(V0,X0,heso,N) là hàm chính, trong hàm này ta sẽ Om chu kỳ, diện tích

quét, khoảng cách từ hành tinh đến Mặt Trời trong quá trình chuyển động .Và để

vẽ, ta xây đựng thêm các handle cần thiết.

quan sắt được mặc định trước, nhưng trong quá trình khảo sát ta vẫn có thể điểu

chỉnh lại để có được những góc nhìn thích hợp. tùy mục đích.

fi : Ea baasial

cle,

K=menu(‘CHON MOT TRONG CAC HANH TINH", Thuy Tinh /Kim Tính “Trai Dat... |

"Hoa Tinh',"Moc Tinh’, Tho Tinh’, Thien Vuong Tinh’...

"Hai Vuong Tinh’Diem Vuong Tinh’);

ifKeel

elseif K==2 kimtinh;

elseif K==3

traidat;

elseif K==4

hoatinh;

elseif Kee5S

KHA0.SÁT CÁC NHÂN HÚT LẠ