4, KIEMNGHIEMLALBA ĐỊNH.LUẬT KEPLER-~ BÀI TOÁN BAI VẬT
B., KHA0.SÁT CÁC NHÂN HÚT LẠ
Các đặc điểm của chaos không phụ thuộc vào hệ mà nó xuất hiện đó là: nhãn
hút lạ; cấu trúc toán học không bến vững giữa sự trật tự và không trật tự; các hằng số Feigenbaum luôn luôn xuất hiện.
I. NHÂN HUT LA LA GÌ?
Đẫu tiên, ta xét một ý tưởng cơ bản thuộc về toán học: ta xây dựng các vòng lập có hiệu lực trở vé trước (gọi ngấn gọn là vòng lặp), giống như các vòng lặp trong các
chương trình tin học. Vòng lặp là một quá trình mà kết quả thu được sau lan thực hiện thứ n được sử dụng với tư cách là đầu vào của chính nó (vòng lập) để thực hiện chu trình thứ (n+1). Ví dụ, âm thanh của một dàn ampli được truyền ra bên ngoài, thông qua
một micro trở về lại đầu vào của ampli.
Vòng lặp đơn giản nhất trong số những vòng lặp như vậy có thể sinh ra những cấu trúc quy tắc hoặc những cấu trúc chaos. Bản chất của cấu trúc này phụ thuộc duy
nhất vào giá trị của một thông số.
Với một hàm số f(x), ta sẽ gọi x là “nguồn”, vòng lặp đối với hàm này là
chuỗi những giá trị sau: f(x), f( f(x), ƒ(/(ƒ(x)))...Ta nói đây là những sự lặp lại của
f(x).
Có hai bài toán khá hấp dẫn liên quan đến sự lặp lại của một hàm như sau:
© Tim một hàm p(x) sao cho đối với bất kỳ giá trị thực nào của x, ta có p(x)
thực và: p(p(x)) = -x?
â Tim một hàm q(x) sau cho với moi x khỏc 0, ta luụn cú: 4(4(x)) = ơ
Trong bài toán thứ nhất điểu kiện p(x) thực nhằm ting tính phức tạp. Vì nếu p(x)
có thể ảo thì p(x) = ix là một nghiệm phải tìm.
Chúng ta chú ý rằng việc tìm p, q sẽ phụ thuộc vào nguồn xuất phát. Sự lặp lại sé dẫn đến một chu trình bậc 4 (ta tim lại x sau khi đã 4p dụng hàm 4 lin vào nó).
Tổng quát hơn, đâu là ham, qua sự lặp lại sẽ có sự thể hiện chu trình hoặc bán chu trình? Một hàm kiểu như 3x hay x’ không thể hiện tí xíu nào các tính chất này; vì sau n vòng lặp, một cái sẽ có giá trị 3°x,, còn một cái là x” ; các giá trị ngày càng tăng;
không có một chu trình nào trong đó.
Chúng ta cẩn phải có một hàm không đơn điệu, một hàm mà đổ thị của nó “bị gấp lại”: đổ thị bất đầu tăng, cong lại, rồi giảm.
uương 4: Chass 158
ng dụng Matlab khảo tát một sb kiệm lgng cơ hoe
Hình a Hình b
Như ở hai hình trên, ta thấy ban dau chúng đều tăng đến một giá trị A, sau đó
giảm xuống.
Đối với đường parabol (hình b), phương trình của nó có dạng ; y=4Äx(l=x).
Chúng ta chỉ cho phép x chạy từ 0 đến 1. Như minh họa trên hình vẽ, bất kỳ giá trị nào của x trong khoảng này, y sẽ luôn thuộc (0,A). Sự giới hạn của đổ thị bảo dim những
hiện tượng đáng chú ý được sinh ra khi có quá trình lặp lại; như ta sẽ thấy.
Những hình ảnh khác nhau về mức độ quy tắc của cấu trúc phụ thuộc vào A, ta
gọi là “con trượt 2”. Tùy vào vị trí của con trượt, hình ảnh thu được sẽ không thể ngờ
được. Đặc biệt với A =1, những dé thị sẽ hoàn toàn không quy tắc. Chúng ta sẽ nhận
được các hiện tượng chaos đù với bất kỳ giá trị của nguồn (x). Trong trường hợp của
parabol, vai trò của con trượt A được liệt kê bởi P.Myrbcrg vào những năm 1960, tuy nhiên bài viết của ông đã không thu hút được người đọc lúc bấy giờ. Mãi đến 10 năm
sau, Nicolas Metropolis, Paul Stein, Myron Stein đã phát hiện lại tim quan trọng của con trượt  cho hàm parabol cũng như cho nhiều hàm khác; dưới những diéu kiện của
hình học vị tướng (hình hoc topo), chỉ duy nhất giá trị của A là quan trọng, và bản chất
của hàm thì lại không quan trọng. Với lý đo này ta gọi nói chaos có tính phổ biến.
Chúng ta sẽ khảo sát một ví dụ để thấy được bằng trực giác tác động của con trượt À lên sự lặp lại của hàm /(x) sẽ sinh ra chaos như thế nào.
Giả sử ta chọn A =0,7. Vẽ thêm một đường thẳng y=x. Giao điểm của parabol và đường thẳng này có hoành độ: x=0; x =0,643. Khi đó ta nhận xét rằng f(x)=x;ƒ(x')=x`, do vậy sự lặp lại hàm f(x) với một trong hai giá trị nguồn trên
luôn cho ta cùng một kết quả; nghĩa là; x= f(x) = /(ƒ(x))= /(/(/ƒ(z))) =....Nhưng có
sự khác biệt quan trọng giữa hai nguồn này, Cụ thể ta sẽ chọn nguồn khác x, ở gần nguồn x= 0 hơn . Và hãy xem điểu gì sẽ xảy ra?
Từ x,, ta vẽ đường thẳng đứng cắt parabol tại điểm thứ nhất (xạ, ƒ(x,)). DE thực hiện quá trình lặp lại của f(x), ta sẽ tính /(/(x,)). Để làm điểu này, từ điểm thứ nhất, ta vẽ đường nằm ngang cắt đường thẳng y= x; ta thấy giao điểm thu được có hoành độ /(x,), từ giao điểm này, ta lại vẽ một đường thẳng đứng cất đường parabol..
Cứ tiếp tục như vẫy, ta sẽ thu được hình ảnh của quá trình lặp lại của hàm f(x).
Ohutemg 4: Chaos 159
Ung dựng Matlab khháo sat suốt vế kiệm ltgng cơ hee
Qua hình vẽ, ta thấy /(x)sẽ càng lúc càng tiến về điểm x". Ngoài ra đường
thẳng đã vẽ tạo thành một hình xoắn ốc xoáy vào +”, Khí này x” trở thành một loại điểm đặc biệt của hàm số. ta gọi là “nhân hút", hay điểm cố định bến bởi vì mọi nguồn
xuất phát đều hội tụ về điểm này;
Đây là ví dụ đơn giản nhất của một nhân hút. Ngược lại điểm x= 0 gọi là “nhân đẩy”, hay điểm cố định không bến, vì với mọi nguồn xuất phát đều bị phân kỳ khỏi ra
xa điểm này.
Chateng 4: Chaos 160
Ung dung Matlab khio sit mbt 6 hign frdyng eo hoe
II HAM SỐ MÔ TẢ SU TANG DÂN SỐ y=4kx(1—x)
1. Giới thiệu
Sự phát triển dân số thay đổi theo chủng loài và theo thời gian mà ta khảo sát.
Ví dụ như dân số của loài người, vào khoảng 250 triệu trước Công Nguyên cho đến thế kỷ XVI hấu như không đổi. Nhưng sau đó lại tăng rất nhanh, gắn như tăng theo hàm
mũ.
Với động vật, tùy vào từng loài mà sự gia tăng dân số là một hàm có tính chu kỳ
hay hỗn loạn. Sự phát triển dân số theo hàm mũ là sự phát triển đơn giản nhất, dễ dự đoán: sự phát triển sau một đơn vị thời gian tỷ lệ với số dân có ở thời điểm ban đấu.
Thật vậy, người ta đã khảo sát sự phát triển din số ở vài loài trong khoảng thời gian ngắn như tảo, vi khuẩn và thấy rằng cứ sau một thời gian nhất định thì số lượng của chúng lại tăng lên gấp đôi. Tuy nhiên với thời gian khảo sát dài, sự phat triển theo lũy thừa không còn thực tế: số dân sẽ tiến ra vô hạn. Chính không gian sinh sống, nguồn thức ân đã làm chậm sự phát triển. Năm 1840, nhà toán học người Bỉ Pierre Francois Verhulst đã đưa ra một quy luật phát triển tính cả hiệu ứng bão hòa, nhằm giới hạn số dân tiến về vô cực. Quy luật mà ông đưa ra diễn tả mối quan hệ giữa số đân hiện có
x cia năm thứ n và số dân x,,của năm thứ (n+l): x,„,=4&x (l—x„). Giá trị của x,
thay đổi từ 0 (khi số đân bằng 0) đến 1 (khi số dân đạt trang thái tới hạn), còn hệ số 4k là hệ số tăng ứng với một cá nhân, nó thể hiện sự tăng theo lũy thừa; hệ số l—x„ có tác dụng làm cho dân số có thể đạt được trạng thái bão hòa. Hàm số này tuy đơn giản, nhưng lại có một vai trò quan trọng trong khảo sát các hiện tượng chaos, và luôn xuất hiện trong phắn lớn các sách viết về chaos. Ta đi khảo sát các nhân hút lạ của hầm này
ứng với các giá trị khác nhau của con trượt.
2. Khảo sát nhân hútla _
function hamgiatangdanso
_% Khao sat các nhan hut cua ham gia tang dan so cle
- %Dieu kien ban dau
k*ằinput('Gia trị cua con truot (0,1 ):");
a=input(Gia trí cua nguon (0,1),
N=input(Gia tn cua N (so vong lap):’);
im;
x(i}a;
y(i}=0;
for i=2:N
if mod(i2)==0 x(i)=x(i-l}
v{0)=4*k*x(i-1)*(1-x(i-L));
else
x(1)=4*k*x(i-l)*(1-x(i-L));
y()*y(t-1),
end end
for X=9:0.01:1
Y=4*k*X.*(1-X);
plowX,Y)