4 Γ mụđun chộo bện và nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện
5.3. Phõn lớp cỏc mở rộng nhúm đẳng biến là mở rộng tõm
Π với A ⊂ ZE qua cỏc tự đồng cấu của Γ-nhúm phạm trự RΓ(Π, A,0). Để trỡnh bày kết quả này, ta ký hiệu ExtcΓ(Π, A) là tập cỏc lớp tương đương của cỏc mở rộng nhúm Γ-đẳng biến AE Π với A⊂ZE.
5.3.1 Định lý. (Lý thuyết Schreier cho cỏc mở rộng tõm của cỏc nhúm đẳng biến) Giả sử Π là Γ-nhúm và A là Π-mụđun Γ-đẳng biến. Khi đú tồn tại song ỏnh ExtcΓ(Π, A)↔EndidΓ Z Γ (Π, A,0) ,
trong đú EndidΓ RΓ(Π, A,0) là tập cỏc lớp đồng luõn của cỏc hàm tử monoidal phõn bậc (F,Fe) từ R
Γ(Π, A,0) đến chớnh nú thỏa món
F(x) =x, x∈Π, F(b,1) = (b,1), b∈A.
Chứng minh. Giả sử (F,Fe)∈EndidΓ RΓ(Π, A,0). Khi đú (F,Fe) xỏc định hàm
ϕ: (ΠìΠ)∪(ΠìΓ)→A
với
(ϕ(x, y),1) =Fex,y, (ϕ(x, σ), σ) =F(x−−−→(0,σ) σx),
trong đú ϕ(x,1Γ) = 0. Tớnh tương thớch của (F,Fe) với cỏc ràng buộc kộo theo
ϕ(x,1) = 0 =ϕ(1, y) và
ϕ(x, y) +ϕ(xy, z) =x(ϕ(y, z)) +ϕ(x, yz). (5.3.1) Tớnh tự nhiờn của Fe và tớnh hàm tử của F lần lượt suy ra
σϕ(x, y) +ϕ(xy, σ) = ϕ(x, σ) + (σx)ϕ(y, σ) +ϕ(σx, σy), (5.3.2)
ϕ(x, τ σ) =σϕ(x, τ) +ϕ(τ x, σ), (5.3.3) với mọi x, y, z ∈G, σ, τ ∈Γ.
Từ hàm ϕ ta dựng được tớch chộo Eϕ =AìϕΠ với phộp toỏn
(a, x) + (b, y) = (a+xb+ϕ(x, y), xy).
Hệ thức (5.3.1) và tớnh chuẩn tắc của hàm ϕsuy ra cấu trỳc nhúm của Eϕ. Cỏc hệ thức (5.3.2) và (5.3.3) đảm bảo rằng Eϕ là Γ-nhúm với Γ-tỏc động
σ(a, x) = (σa+ϕ(x, σ), σx).
Khi đú tồn tại dóy khớp
với i(a) = (a,1) và q(a, x) =x. Hơn nữa, dễ thấy A⊂ZEϕ. Ngược lại, giả sử ta cú mở rộng đẳng biến
0→A−→i E −→q Π→1
với A⊂ZE. Khi đú với mỗi x∈ Π, ta chọn phần tử đại diện ux∈ E với u1 = 0. Hệ đại diện {ux} cảm sinh hàm chuẩn tắc ϕ, nhận giỏ trị trong A sao cho
ux+uy =ϕ(x, y) +uxy, σux=ϕ(x, σ) +uσx.
Cỏc hệ thức
ux+ (uy+uz) = (ux+uy) +uz, σ(ux+uy) = σ(ux) +σ(uy), τ(σux) =τ σux
lần lượt kộo theo cỏc hệ thức (5.3.1)-(5.3.3). Do đú ta cú thể xỏc định hàm tử monoidal phõn bậc (F,Fe)∈EndidΓ RΓ(Π, A,0) như sau:
F x=x, F(b,1) = (b,1),
F(x−−−→(0,σ) σx) = (ϕ(x, σ), σ), Fex,y = (ϕ(x, y),1).
Hơn nữa, mỗi mở rộng tõm E tương đương với một mở rộng tớch chộo Eϕ liờn kết với hàm tử monoidal phõn bậc (F,Fe) bởi đẳng cấu α:a+ux7→(a, x).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh hai mở rộng thuộc ExtcΓ(Π, A) tương đương khi và chỉ khi hai hàm tử monoidal phõn bậc tương ứng đồng luõn. Giả sử F, F0 :
R
Γ(Π, A,0) → RΓ(Π, A,0) là hai hàm tử monoidal phõn bậc đồng luõn bởi đồng luõn ε:F →F0 được xỏc định εx = (x−−−−→(e(x),1) x), x ∈Π với e : Π→A. Vỡ ε là một đồng luõn và cỏc hệ thức (1.3.1), (1.3.2) nờn e(1) = 0, (5.3.4) ϕ(x, σ) +e(σx) =σe(x) +ϕ0(x, σ), (5.3.5) ϕ(x, y) +e(xy) =e(x) +xe(y) +ϕ0(x, y) (5.3.6) với x, y ∈Π và σ∈Γ. Khi đú tương ứng
β :Eϕ →Eϕ0
là một tương đương giữa hai mở rộng tõm nếu và chỉ nếu cỏc điều kiện (5.3.4)- (5.3.6) được thỏa món.
Mặt khỏc, nếu β :Eϕ→Eϕ0 là một đẳng cấu thỡ
β(a, x) = (a+e(x), x),
trong đú e : Π→ A là một hàm thỏa món e(1) = 0. Do vậy, từ cỏc lập luận như trờn ta cú εx= (e(x),1) là một đồng luõn của F và F0.
5.4. Hợp thành của nhúm phạm trự phõn bậc với Γ-đồng cấuTheo S. MacLane [26, tr. 113], với đồng cấu nhúm γ : Π0→Π và mở rộng