Nhúm phạm trự đó được nõng lờn ở mức độ cao hơn với tờn gọi nhúm phạm trự phõn bậc bởi A. Frăohlich và C. T. C. Wall trong [19]. Một số ứng dụng đại
số của lý thuyết nhúm phạm trự phõn bậc được trỡnh bày trong [9]. Sau đú, cấu trỳc này được nghiờn cứu sõu sắc bởi A. M. Cegarra và cỏc đồng tỏc giả [11]. Mục này nhắc lại một số khỏi niệm và kết quả về nhúm phạm trự phõn bậc theo [11].
Giả sử Γ là một nhúm. Ta xem Γ như một phạm trự với một vật ∗, mũi tờn là cỏc phần tử của Γ và phộp hợp thành là phộp toỏn nhúm. Khi đú phạm trựC
cựng với hàm tửgr :C → Γ được gọi là mộtphạm trự Γ-phõn bậc (hayphạm trự phõn bậc khi khụng cần chỉ rừ Γ). Hàm tử gr : C −→Γ được gọi là một Γ-phõn bậc trờn C. Nếu f :X −→Y là một mũi tờn của phạm trự C và gr(f) = σ thỡ σ
được gọi là bậc của mũi tờn f và f được gọi là σ-mũi tờn. Γ-phõn bậc gr được gọi là Γ-phõn bậc ổn định nếu với mỗi X ∈ C và mỗi σ∈Γ, tồn tại một mũi tờn đẳng cấu u trong C với nguồn X sao cho gr(u) =σ.
Giả sử (C, gr) là một phạm trự Γ-phõn bậc. Ta ký hiệu C ìΓC là một phạm trự con của phạm trự tớch C ì C mà cỏc vật là cỏc vật (X, Y) của C ì C và cỏc mũi tờn là cỏc cặp mũi tờn (f, g) củaC ì C sao cho gr(f) =gr(g).
Khi đú C ìΓC cựng với hàm tử gr0 :C ìΓC →Γ cũng là một phạm trựΓ-phõn bậc với gr0(f, g) =gr(f) =gr(g).
1.3.1 Định nghĩa. Phạm trự monoidal Γ-phõn bậc C = (C, gr,⊗,a, I,l,r) bao gồm một phạm trựC, mộtΓ-phõn bậc ổn địnhgr:C →Γ,cỏc hàm tửΓ-phõn bậc
⊗:C ìΓC → C và I : Γ→ C, và cỏc đẳng cấu tự nhiờn bậc 1: a= (aX,Y,Z),l= (lX)
và r= (rX), trong đú
aX,Y,Z : (X⊗Y)⊗Z →∼ X⊗(Y ⊗Z), lX :I⊗X →∼ X,
rX :X⊗I →∼ X,
sao cho với mọi vật X, Y, Z, T ∈ C, cỏc biểu đồ (1.1.2) và (1.1.1) giao hoỏn. Giả sử C và C0 là hai phạm trự monoidal phõn bậc. Một hàm tử monoidal phõn bậc từ C đến C0 là một bộ ba (F,F , Fe ∗) bao gồm:
(i) Một hàm tử phõn bậc F :C → C0,
(ii) Một đẳng cấu tự nhiờn bậc 1: Fe= (FeX,Y) với
e
(iii) Một mũi tờn đẳng cấu bậc 1: F∗ : F I → I0 sao cho với mọi X, Y, Z ∈ C, cỏc biểu đồ (1.1.3) và (1.1.4) giao hoỏn.
Một hàm tử monoidal phõn bậc (F,F , Fe ∗) từ phạm trự monoidal phõn bậc
C đến phạm trự monoidal phõn bậc C0 được gọi là tương đương monoidal phõn bậc nếuF :C → C0 là một hàm tử tương đương phõn bậc. Khi đú ta cũng núi hai phạm trự monoidal phõn bậc C và C0 tương đương monoidal phõn bậc với nhau. Giả sử rằng(F,F , Fe ∗)và(F0,Fe0, F∗0)là hai hàm tử monoidal phõn bậc từ phạm trự monoidal phõn bậcC đến phạm trự monoidal phõn bậcC0. Một mũi tờn hàm tử monoidal phõn bậc θ : (F,F , Fe ∗) → (F0,Fe0, F∗0) là mũi tờn hàm tử phõn bậc
θ:F →F0 thỏa món cỏc biểu đồ giao hoỏn trong (1.1.5) với mọi X, Y ∈Ob(C). Mũi tờn hàm tử monoidal phõn bậc θ của hai hàm tử monoidal phõn bậc
(F,F , Fe ∗)và (F0,Fe0, F∗0)được gọi là đẳng cấu hàm tử monoidal phõn bậc nếu mũi tờn hàm tử phõn bậc θ:F →F0 là một đẳng cấu hàm tử phõn bậc.
1.3.2 Định nghĩa. Một nhúm phạm trự phõn bậc là một phạm trự monoidal phõn bậc trong đú mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tờn đều là đẳng cấu.
Khi đú phạm trự con KerG của nhúm phạm trự phõn bậc G bao gồm cỏc vật của G và cỏc mũi tờn bậc 1 trong G là một nhúm phạm trự.
A. M. Cegarra và cỏc đồng tỏc giả [11] đó chỉ ra rằng mỗi nhúm phạm trự
Γ-phõn bậc G= (G, gr,⊗, I,a,l,r) xỏc định một bộ ba (π0G, π1G, h), trong đú: 1. Tập π0G cỏc lớp vật 1-đẳng cấu của G là một Γ-nhúm,
2. Tập π1G cỏc 1-tự đẳng cấu của vật đơn vị I là mộtΠ-mụđun Γ-đẳng biến, 3. Bất biến thứ ba là một lớp đối đồng điều đẳng biến h ∈ HΓ3(π0G, π1G), trong đú HΓ3(π0G, π1G) là nhúm đối đồng điều Γ-toỏn tử (xem A. M. Cegarra và cỏc đồng tỏc giả [12]).
Ngược lại, từ một bộ ba (Π, A, h) bất kỳ, trong đú Π là một Γ-nhúm, A là
Π-mụđun Γ-đẳng biến và h là một 3-đối chu trỡnh thuộc ZΓ3(Π, A), cỏc tỏc giả của [11] đó xõy dựng một nhúm phạm trự Γ-phõn bậc, ký hiệu là RΓ(Π, A, h). Sau đõy, chỳng tụi nhắc lại một cỏch ngắn gọn phộp dựng này để tiếp tục sử dụng trong những phần sau.
Cỏc vật của RΓ(Π, A, h) là cỏc phần tử x∈Π và mũi tờn của chỳng là cỏc cặp
(a, σ) : x → y bao gồm phần tử a ∈ A và σ ∈ Γ sao cho σx= y. Hợp thành của hai mũi tờn (x−−−→(a,σ) y−−−(b,τ→) z) được xỏc định
Tớch tenxơ trờn cỏc vật là phộp nhõn trong Π và tớch tenxơ trờn hai mũi tờn được cho bởi
(x(a,σ→) y)⊗(x0 (→b,σ) y0) = (xx0 (a+yb+h(x,x
0
,σ),σ)
−−−−−−−−−−−−→yy0). (1.3.2) Cỏc ràng buộc đơn vị là chặt chẽ, nghĩa là lx= (0,1) =rx :x→x và ràng buộc kết hợp ax,y,z = (h(x, y, z),1) : (xy)z →x(yz). Γ-phõn bậc ổn định xỏc định bởi gr(a, σ) =σ. Hàm tử phõn bậc đơn vị I : Γ → R Γ(Π, A, h) cho bởi I(∗−→ ∗σ ) = (1−−−→(0,σ) 1).
Trong trường hợpΠ =π0G và A=π1G,RΓ(Π, A, h)tương đương với G và được ký hiệu là G(h), và để thuận tiện chỳng tụi sẽ gọi nú là nhúm phạm trự phõn bậc thu gọn của G.