CẤU TRÚC TINH THỂ
1.1.5. Định luật nhiễu xạ Vulf-Bragg
Chúng ta biết rằng các nguyên tử trong tinh thể sắp xếp một cách có trật tự tuần hoàn, khoảng cách giữa các nguyên tử cỡ vài  nghĩa là cỡ bước sóng của tia X, của tia điện tử. Chính vì vậy tinh thể chất rắn có thể đóng vai trò như một cách tử nhiễu xạ đối với tia X và tia điện tử. Mặt khác hiện tượng nhiễu xạ tia X và nhiễu xạ điện tử được sử dụng làm phương pháp nghiên cứu cấu trúc của chất rắn.
Chúng ta tìm điều kiện nhiễu xạ tia X theo Laue, bằng cách xét sự tán xạ tia X trên hai nguyên từ ở điểm o và A cách nhau một vectơ cơ sở ã ị như ở hình 1-6. Giả sử tia tới lan truyền theo hướng vectơ ĩĩỉ (với m =1) từ các điểm IK nằm trên mặt sóng đồng pha và bị tán xạ bởi hai nguyên tử theo mọi phương. Xét tia tán xạ về phía các điểm RS theo hướng xác định bởi vectơ m' (với m ’ = 1), trong đó
IAR và KOS tăng cường lẫn nhau do giao thoa, nghĩa là đáp ứng điều kiện giao thoa. Điều kiện đó trong ví dụ ở hình 1 -6 là:
BO + o c = g|A,
trong đó gị là một số nguyên bất kỳ.
Nếu biểu diễn BO và o c dưới dạng tích hai vectơ ta có điều kiện giao thoa dưới dạng:
- aun + aim' = ai(m- m) = g|A.
Trong mạng tinh thể ba chiều, điều kiện giao thoa sẽ là:
ai(m'-m) = giẰ a 2(m-m) = g2A.
ă 3(m'-m) = g3Ằ ( 1-2)
trong đó gi là các số nguyên. Chúng ta gọi vectơ sóng của tia tới là K , vectơ sóng của tia tán xạ là K ', nghĩa là
K = - Y Ĩ n ; K ' = ^ m ' (1-3)
H ình 1-6: Tán xạ tia X trôn tinh thể.
24 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Chương 1: Cấu trúc tinh thể
Bây giờ chúng ta đưa ra một khái niệm - vectơ mạng đảo b , sao cho: ^ b . ã i = 2 7igj; b . ã 2 = 27ĩg2; b . a 3=27ĩg3 (1-4) Có thể chứng minh rằng vectơ mạng đảo b có dạng:
b = g j b i + g 2b 2 + g3b 3 (1-5) trong đó b i , b 2 , b3 là ba vectơ cơ sở của mạng đảo đó, được xác định từ ba vectơ cơ sở của mạng tinh thể (mạng thuận) theo các nguyên tắc sau:
b, = ^ [ 8 2 * 83]
b2 = v ^ x ã l ] v0
b 3= v L [âi>' S2] ( 1-6)
v0
trong đó V0 = (ãi.[a2 X 83]) là thể tích ô nguyên thuỷ của mạng tinh thể.
Sử dụng các biểu thức (1-4) (1-5), từ điểu kiện giao thoa (1-2) ta có:
^ ( m ’ - m ) . ẫ ] = 27i g ,
^ ( m ’ - m ) . ã 2 = 27tg2
2 jr . ,
k (m - m ) .a 3=27tg3 và rút ra được: b = ( m ’ - m ) hay là
5 = ( ^ S ’ - ^ f S ) = g , b i + g 2b 2 + g 3b 3 = K ’ - K Vậy điều kiện giao thoa Laue có thể viết dưới dạng:
K ’ - K = 6 hay K ’ = K + 6 Vì K’ = K s u y r a ( K ’)2 = K 2 = (ĩc + b )2 Kết quả là:
( K ’)2 = b 2 + ÌC2 + 2(6 .ĨC)
hay là ị b 2 + b . ĩ c = 0 (1-7)
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 25
VẬT LIỆU BÁN DẪN
Như vậy điều kiện giao thoa theo Laue cuối cùng có thể biểu diễn bằng mối quan hệ giữa vectơ sóng K của tia X và vectơ mạng đảo được định nghĩa bằng (1-5) và (1-6). Từ các vectơ cơ sở của mạng đảo được định nghĩa bằng ( 1-6) ta có thể xây dựng ô nguyên thuỷ của mạng đảo và toàn bộ mạng đảo như một khái niệm toán học liên quan đến mạng tinh thể.
Có thể chứng minh được rằng vectơ mạng đảo b = gi bi + g 2b 2 + g 3b3
vuông góc với mặt mạng (h, k, 1) nếu:
gi : g2 : g3 = h : k : 1 Nếu ký hiệu khoảng cách giữa hai mặt mạng gần nhất trong họ mặt song song (h, k, 1) là d^ị thì ta có:
^ _ V
trong đó bhkl là độ lớn của vectơ mạng đảo
b = hbi + k t>2 + 1B3 Hình 1-7: Biểu diễn điều kiện nhiễu xạ Laue bằng hình học trong không gian mạng đảo.
Chúng ta có thể biểu diễn điều kiện nhiễu xạ Laue bằng hình học trong không gian mạng đảo. Để đơn giản ta thể hiện điều này trong mạng hai chiều trình bày ở hình 1 -7 theo các bước sau:
1- Dựng mạng đảo ứng với mạng tinh thể. Trong mạng đảo đó chọn một nút mạng đảo o bất kỳ và vẽ vectơ K .
2- Từ điểm đầu của vetơ K (điểm R) vẽ một mặt cầu (ở đây là đường tròn) bán kính bằng K = ^ , đây là mặt cầu Ewald.
3- Tìm những nút mạng đảo nằm trên mặt cầu, ví dụ điểm s trên hình 1-7.
Vectơ RS = K ’ là vectơ sóng của tia tán xạ phù hợp điều kiện giao thoa. Vectơ o s bằng b là một vectơ mạng đảo đáp ứng điều kiện
K ’ = K + b
Như vậy dùng hình cầu Ewald trong không gian mạng đảo có thể xác định hướng của các cực đại giao thoa.
26 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Chương 1: Cấu trúc tinh thể
Điều kiện Laue cũng có thể biểu diễn bằng cách khác sau đây: Dựng một mặt phảng trung trực của b = os (trên hình (1-7) là đường thẳng PQ). Mặt phẳng vuông góc với vectơ mạng đảo
b = g , b i + g2b 2 + g 3b 3
chính là mặt mạng có chỉ số Miller (h, k, 1) liên hệ với g I, g2, g3 theo hệ thức:
h : k : 1 = gj : g2 : g3 Gọi m là thừa sô' chung của gị, g2, g3 ta có:
b = I b I = m.bhkl
Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa các mặt gần nhau trong họ mạt (h, k, 1) là:
J _ 1 _ 2ĩĩ _ 27E Q — dhki — 1 — m. 1
hkl b hkI "■ b
Xét tam giác ORS trên hình (1-7), gọi góc QRằ là 0, ta có OS = 2RS sin 0 hay b = 2Ksin0 = 2( - ÿ ) sinG
b = 2 n - ^ - = 271^ = 2( ^ E)sin0
d hkl d X
Kết quả cuối cùng ta có
2dsin0 = mX
trong đó m là một số nguyên. Đây chính là công thức Vulf-Bragg biểu diễn điều kiện phản xạ tia X.