Chương 3 CẬP NHẬT TẬP XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN XẤP XỈ PHỦ ĐỘNG
3.1 Khảo sát về hàm thành viên thô và các tập xấp xỉ phân bậc trong không
3.1.1 Hàm thành viên thô
Hàm thành viên thô đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tập thô để đo lường tính không chắc chắn của tập hợp trong hệ thống thông tin. Hàm thành viên thô được đề xuất bởi Pawlak và được ông cùng với Skowron xây dựng hàm thành viên, hàm thành viên yếu và hàm thành viên mạnh trong tập thô [63]. Greco và các cộng sự đã trình bày mô hình tập thô được tham số hóa bằng khái niệm hàm thành viên thô tương đối và tuyệt đối [32]. Các hàm thành viên thô được Pawlack đề xuất không chỉ thể hiện các đặc tính số học của các xấp xỉ tập mà còn thể hiện mối quan hệ giữa các tập thô của Pawlak và các tập mờ hoặc các tập thô xác suất. Tuy nhiên, hàm thành viên thô này có những hạn chế đối với các hệ thống có dữ liệu không đầy đủ tồn tại rộng rãi trong thực tế. Xuất phát từ thực tế này, Ge và các cộng sự đã đề xuất một loại hàm thành viên thô trong không gian xấp xỉ phủ áp dụng trong trường hợp dữ liệu không đầy đủ [31]. Hàm thành viên này được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 3.1.[31] Cho 𝐶𝐴𝑆 = (𝑈, 𝒞) là một không gian xấp xỉ phủ.
Với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈), dạng thứ tư của hàm thành viên thô được xác định như sau:
𝜑𝒞(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥 | ∩ |
| | 𝑥 ∈ 𝐶, 𝐶 ∈ 𝒞 (3.1) Theo định nghĩa này, hàm thành viên thô của 𝑥 thuộc 𝑋 đối với 𝒞 chỉ liên quan đến các khối bao phủ 𝑥.
Nhận thấy rằng 𝑁𝒞(𝑥) có khả năng mô tả các đối tượng cao hơn các khối bao phủ, Yang và các cộng sự đã đề xuất dạng thứ nhất của hàm thành viên thô [88] như sau:
Định nghĩa 3.2.[84] Cho 𝐶𝐴𝑆 = (𝑈, 𝒞) là một không gian xấp xỉ phủ.
Với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈), dạng thứ nhất của hàm thành viên thô được xác định như sau:
𝜎𝒞 (𝑥) = | ∩ 𝒞( )|
| 𝒞( )| (3.2)
Theo định nghĩa này ta thấy rằng, nếu một đối tượng 𝑥 không chỉ liên quan đến lớp phủ 𝒞 mà còn liên quan đến 𝑋, thì điều quan trọng là phải đo độ thành viên thô của 𝑥 trong 𝑋 đối với 𝒞. Thực tế, dạng thứ nhất của hàm thành viên thô của 𝑥 trong 𝑋 đối với 𝒞 trong 𝐶𝐴𝑆 là tỷ số giữa |𝑋 ∩ 𝑁𝒞(𝑥)| và
|𝑁𝒞(𝑥)|.
Khái quát hóa hàm thành viên thô dạng thứ nhất, được dạng thứ hai của hàm thành viên thô.
Định nghĩa 3.3.[88] Cho 𝐶𝐴𝑆 = (𝑈, 𝒞) là một không gian xấp xỉ phủ.
Với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈), dạng thứ hai của hàm thành viên thô được xác định như sau:
𝜙𝒞(𝑥) = 0, 𝑋 = ∅
| ∩ 𝒞( )|
| | , 𝑋 ≠ ∅ (3.3) Khái quát hóa hàm thành viên thô dạng thứ tư, được dạng thứ ba của hàm thành viên thô.
Định nghĩa 3.4. [88] Cho 𝐶𝐴𝑆 = (𝑈, 𝒞) là một không gian xấp xỉ phủ.
Với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈), dạng thứ ba của hàm thành viên thô được xác định như sau:
𝒱𝒞 (𝑥) = 0, 𝑋 = ∅ 𝑚𝑎𝑥 | ∩𝒞|
| | 𝑥 ∈ 𝐶, 𝐶 ∈ 𝒞 , 𝑋 ≠ ∅ (3.4) Dạng thứ ba của hàm thành viên thô của 𝑥 trong 𝑋 đối với 𝒞 trong 𝐶𝐴𝑆 thể hiện tỷ số cao nhất giữa |𝑋 ∩ 𝒞| và |𝑋|. Nếu 𝑥 ∈ 𝑋 và 𝑋 ≠ ∅ thì 𝒱𝒞 (𝑥) > 0.
Ta thấy rằng, với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈) thì 𝜙𝒞(𝑥) < 𝒱𝒞 (𝑥) còn khi 𝒞 là một phân hoạch của 𝑈 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈) thì 𝜎𝒞 (𝑥) = 𝜑𝒞(𝑥).
3.1.2 Các tập xấp xỉ phân bậc
Xuất phát từ hàm thành viên thô dạng ba, nhóm của nhà toán học Yang đã xây dựng mô hình tập thô phân bậc dựa trên phủ (graded covering-based rough set model) [88]. Có thể nói mô hình tập thô này là khái quát của mô hình tập thô xác suất phân bậc. Từ các tập xấp xỉ, họ cũng đã xây dựng ba miền quyết định phân bậc trong hệ thông tin không đầy đủ.
Định nghĩa 3.5.[88] Cho 𝐶𝐴𝑆 = (𝑈, 𝒞) là một không gian xấp xỉ phủ.
Với 0 ≤ 𝜌 ≤ 1 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈), Các tập xấp xỉ dưới phân bậc (graded covering based lower approximation) và xấp xỉ trên phân bậc (graded covering-based upper approximation) dựa trên phủ của 𝑋 đối với (𝑈, 𝒞) dựa trên tham số 𝜌 được định nghĩa tương ứng như sau:
𝒞 (𝑋) = 𝑥 ∈ 𝑈 𝒱𝒞(~ )(𝑥) ≤ 𝜌 (3.5) 𝒞 (𝑋) = 𝑥 ∈ 𝑈 𝒱𝒞( )(𝑥) > 𝜌 (3.6) Trong đó ~𝑋 ký hiệu tập bù của tập 𝑋.
Theo định nghĩa trên, miền dương (positive region), miền âm (negative region), miền biên trên (upper boundary region), miền biên dưới (lowers boundary region), và miền biên (boundary region) của 𝑋 được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 3.6.[88] Cho 𝐶𝐴𝑆 = (𝑈, 𝒞) là một không gian xấp xỉ phủ.
Với 0 ≤ 𝜌 ≤ 1 và 𝑋 ∈ 𝒫(𝑈), Miền dương, miền âm, miền biên trên, miền biên dưới và miền biên được định nghĩa tương ứng như sau:
𝑃𝑂𝑆 (𝑋) = 𝒞 (𝑋) ∩ 𝒞 (𝑋) (3.7) 𝑁𝐸𝐺 (𝑋) = 𝑈 − 𝒞 (𝑋) ∪ 𝒞 (𝑋) (3.8) 𝐿𝐵𝑁𝐷 (𝑋) = 𝒞 (𝑋) − 𝒞 (𝑋) (3.9) 𝑈𝐵𝑁𝐷 (𝑋) = 𝒞 (𝑋) − 𝒞 (𝑋) (3.10) 𝐵𝑁𝐷 (𝑋) = 𝐿𝐵𝑁𝐷 (𝑋) ∪ 𝑈𝐵𝑁𝐷 (𝑋) (3.11) 𝑃𝑂𝑆 (𝑋), 𝑁𝐸𝐺 (𝑋), 𝐿𝐵𝑁𝐷 (𝑋), 𝑈𝐵𝑁𝐷 (𝑋), 𝐵𝑁𝐷 (𝑋) được gọi là miền dương phân bậc, miền âm phân bậc, miền biên dưới phân bậc, miền biên trên phân bậc và miền biên phân bậc dựa trên phủ tương ứng.
Các tập xấp xỉ dưới phân bậc và tập xấp xỉ trên phân bậc có các tính chất sau [88]:
(i) 𝒞 (𝑈) = 𝑈;
(ii) 𝒞 (∅) = ∅;
(iii) 𝒞 (~𝑋) = ~𝒞 (𝑋);
(iv) 𝒞 (~𝑋) = ~𝒞 (𝑋);
(v) Nếu ∃∁∈ 𝒞 sao cho 𝑋 ⊆ ∁, thì 𝑋 ⊆ 𝒞 (𝑋);
(vi) Nếu ∃∁∈ 𝒞 sao cho ~𝑋 ⊆ ∁, thì 𝒞 (𝑋) ⊆ 𝑋;
(vii) 𝒞 (𝑋) ⊆ 𝒞 𝒞 (𝑋) ; (viii) 𝒞 𝒞 (𝑋) ⊆ 𝒞 (𝑋);
(ix) 𝒞 (𝑋) = {𝑥 ∈ 𝑈|∁⊆ 𝑋, 𝑥 ∈ ∁∈ 𝒞},
𝒞 (𝑋){𝑥 ∈ 𝑈||𝑋 ∩ ∁| ≠ ∅, ∃∁∈ 𝒞, 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑥 ∈ ∁};
(x) Nếu 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝜌 < 1, thì 𝒞 (𝑋) ⊆ 𝒞 (𝑋);
𝒞 (𝑋) ⊆ 𝒞 (𝑋).
3.1.3 Khảo sát các phương pháp cập nhật các tập xấp xỉ phân bậc Trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu đã mở rộng các nghiên cứu về các phương pháp cập nhật gia tăng trong không gian xấp xỉ phủ. Lang và các cộng sự đã cung cấp một số phương pháp để tính toán các ma trận đặc trưng loại 1 và loại 2 của các phủ động khi các đối tượng thay đổi [47]. Trong nghiên cứu này, các tác giả đã đề xuất các thuật toán gia tăng để tính các tập xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới thứ hai và thứ sáu. Cai và các cộng sự đã đề xuất phương pháp cập nhật các tập xấp xỉ thứ hai và thứ sau trong không gian xấp xỉ phủ động khi giá trị thuộc tính của đối tượng thay đổi [13]. Nghiên cứu này cũng sử dụng các phương pháp gia tăng để tính toán các ma trận đặc trưng loại 1 và loại 2 trong không gian phủ động như trong nghiên cứu của Lang [47], nhưng trong trường hợp các giá trị thuộc tính của đối tượng thay đổi theo thời gian. Từ đó, các tác giả đã sử dụng các ma trận này để tính các tập xấp xỉ dưới và xấp xỉ trên thứ hai và thứ sáu của không gian xấp xỉ phủ. Cuối cùng, họ thử nghiệm trên mười không gian xấp xỉ phủ động được tạo ngẫu nhiên để chứng minh hiệu quả của thuật toán. Hu và các cộng sự đề xuất một phương pháp để cập nhật các xấp xỉ dựa trên ma trận quan hệ tương đương, ma trận đường chéo và ma trận cắt trong tập thô đa hạt (Multigranulation rough set) khi một cấu trúc hạt đơn lẻ thay đổi theo thời gian [41]. Trong công bố này, trước hết các tác giả đã trình bày các định nghĩa về ma trận quan hệ tương đương, ma trận đường chéo và ma trận cắt cho một cấu trúc hạt đơn trong tập thô đa hạt và đề xuất một biểu diễn ma trận của các phép xấp xỉ đa hạt trong tập thô đa hạt lạc quan và bi quan. Sau đó họ đề xuất các phương pháp tiếp cận để cập nhật các tập xấp xỉ dựa trên các ma trận đó. Cuối cùng họ đề xuất các thuật và đánh giá thử nghiệm để chúng minh tính hiệu quả của phương pháp. Các phương pháp này đã chứng minh được rằng các phương
pháp gia tăng có hiệu quả hơn các phương pháp không gia tăng đối với các hệ thông tin động.
3.1.4 Nhận xét
Ta nhận thấy rằng, đối với bảng quyết định không đầy đủ 𝐼𝐼𝑆 = (𝑈, 𝐶 ∪ 𝐷, 𝑉, 𝑓) với 𝑃 ⊆ 𝐶, thì 𝒞 = {𝑇 (𝑥)|𝑥 ∈ 𝑈} là một phủ đặc trưng đặc biệt của 𝑈. Vì vậy hoàn toàn có thể xây dựng mô hình tập thô phân bậc dựa trên phủ này đối với các hệ thông tin có dữ liệu không đầy đủ. Do đó, có thể đề xuất một phương pháp cập nhật các tập xấp xỉ phân bậc dựa trên việc tính toán sự thay đổi của hàm thành viên thô dạng ba.
Ngoài ra, đối với các tập xấp xỉ phân bậc trong hệ thông tin động, các phương pháp cập nhật chúng chủ yếu dựa trên ma trận ma trận đặc trưng [47], [13], hoặc ma trận quan hệ tương đương [41].
Lấy cảm hứng từ điều này, luận án đề xuất một phương pháp để cập nhật các tập xấp xỉ phân cấp dựa trên hàm thành viên thô dạng ba. Phương pháp này được công bố trong [CT2].