3 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân
3.2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường
Phương pháp chiếu cơ bản chỉ hội tụ khi F có tính tự bức, nó làm hạn chế phạm vi ứng dụng của phương pháp này. Trong phương pháp đạo hàm tăng cường ta sử dụng tính giả đơn điệu để thay thế tính đồng bức. Xét thuật toán.
Thuật toán đạo hàm tăng cường (EgA).
Cho x0 ∈ C, τ > 0. Bước 0: Cho k = 0
Bước 1. Tính
xk+12 ≡ PC xk −τ F xk.
Bước 2: Nếu xk+12 = xk thì dừng, xk là nghiệm. Trái lại, đặt xk+1 ≡ PCxk −τ F xk+12
,
Cho k ←k + 1 quay trở lại bước 1.
Ta nói rằng hàm F : C → Rn là giả đơn điệu trên C đối với tập SOL(C, F), nếu với mọi x∗ ∈ SOL(C, F) ta có
Để chứng minh sự hội tụ ta cần đến bổ đề sau.
Bổ đề 3.3. (xem[4]) Giả sử C ⊂Rn là tập lồi đóng và F : C → Rn là giả
đơn điệu trên C đối với SOL(C, F) và liên tục Lipchits trên C với hằng số L > 0.
Cho x∗ ∈ SOL(C, F). Khi đó với mọi k ta có
xk+1 −x∗ 2 ≤ xk −x∗ 2 − 1−τ2L2 xk+12 −xk 2 .
Định lý sau thiết lập sự hội tụ của thuật toán (EgA)
Định lí 3.9. (xem[4]) Cho C ⊂ Rn là tập lồi đóng và F : C →Rn là giả
đơn điệu trên C đối với SOL(C, F) và liên tục Lipchits trên C với hằng số L > 0.
Khi đó nếu τ < 1/L thì dãy xk được tạo bởi thuật toán đạo hàm tăng cường sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán (3.1).
Chứng minh.
Cho x∗ là phần tử bất kỳ của SOL(C, F). Đặt ρ ≡1−τ2L2, theo giả thiết ta có ρ ∈ (0,1).
Từ bổ đề 3.3 ta có dãy xk bị chặn , vì thế có ít nhất một điểm tụ x¯
của xk trên C. Giả sử xk → x¯ với k ∈ κ, k → +∞. Cần chứng minh
¯ x ∈ SOL(C, F). Từ bổ đề trên và ρ ∈ (0,1) ta có: ρ ∞ X k=0 xk −xk+12 2 ≤ x0 −x∗ 2 < +∞. Suy ra lim k→∞ xk+12 −xk = 0. Do vậy x¯ cũng là giới hạn của dãy con nxk+12
o
tức là:
lim
k(∈K)→∞xk+12 = ¯x.
của hàm F và của PC, ta có ¯ x = lim k(∈K)→∞xk+12 = lim k(∈K)→∞PC xk −τ F xk = PC(¯x−τ F (¯x)).
Điều này chứng tỏ rằng x¯ ∈ SOL(C, F). Áp dụng bổ đề 3.3 với x¯ = x∗, ta có dãy xk−x¯ là đơn điệu giảm và hội tụ, bởi vì:
lim k→∞ xk −x¯= lim k(∈K)→∞ xk −x¯ = 0.
Kết luận
Luận văn nghiên cứu về một số phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân. Những vấn đề chính được trình bày trong luận văn là:
• Một số khái niệm và tính chất của giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân,các định lý tách của tập lồi, đồng thời, trình bày khái niệm về hình chiếu và một số tính chất của nó.
• Chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất và một số tính chất cơ bản của toán tử chiếu.
• Phát biểu bài toán quy hoạch lồi (P), sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán và điều kiện tối ưu. Sử dụng phương pháp chiếu với dưới gradient xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch lồi không trơn.
• Giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (V IP), các bài toán liên quan, sự tồn tại nghiệm của bài toán (V IP ) và trình bày một số thuật toán chiếu cơ bản để giải bất đẳng thức biến phân có tính đơn điệu.
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (sẽ ra), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nxb Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội.
[2] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn các phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội
[3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thu Thủy (2010),Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[4] Facchinei S. and Pang J. (2003), Finite-Dimensional Variational- Inequalities and Complementarity Problems, Springr - Verlag, New- York.
[5] Konnov I. V. (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer-Verlag, Berlin.
[6] Konnov I. V. (2007), Equilibrium Models and Variational Inequalities, Mathematics in Science and Engineering.
[7] Paulo Santos and Susana Scheimberg (2011), An inexact subgradi- ent algorithm for Equilibrium Problems, Computational and Applied Mathematics, 91-107.