3 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân
3.1.3Các bài toán liên quan
Các kiến thức trong phần này chủ yếu được lấy từ tài liệu ([4]).
Bài toán bất đẳng thức biến phân có liên hệ mật thiết với nhiều bài toán khác như: Bài toán quy hoạch lồi, bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động....Ta xét các bài toán sau
Bài toán quy hoạch lồi
Cho C ⊂Rn là tập lồi đóng và f :C → R khả vi. Đặt F (x) =∇f (x)
(Đạo hàm của f).
Định lí 3.5. Giả sử tồn tại x ∈ C sao cho:
f (x) := min{f (y) : y ∈ C}.
thì x là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
x ∈ C : hF (x), y−xi ≥ 0, y ∈ C.
Chứng minh.
Nếu y ∈ C, do C là hàm lồi nên ta đặt z = x + λ(y −x) = λy + (1−λ)x ∈ C với 0≤ λ ≤ 1.
Vì vậy hàm ϕ(λ) = f (x+λ(y −x)), 0 ≤ λ ≤ 1 đạt cực tiểu khi λ = 0
nên
0 ≤ ϕ0(0) = h∇f (x), y−xi = hF (x), y−xi.
2
Điều đảo lại cũng đúng nếu f là hàm lồi, cụ thể ta có định lý sau.
Định lí 3.6. Giả sử f là hàm lồi khả vi và thỏa mãn:
x ∈ C : hF (x), y −xi ≥ 0, ∀y ∈ C,
thì
Chứng minh.
Thật vậy vì f lồi nên f (y) ≥ f (x) + hF (x), y−xi, với mọi y ∈ C. Nhưng
hF (x), y −xi ≥ 0,
Vì vậy f (y) ≥ f (x). 2
Bài toán điểm bất động Brouwer.
Cho C là tập lồi đóng trong Rn và T : C → C, bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = T(x∗). (3.5) Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa bài toán (V IP) với bài toán điểm bất động (3.5).
Mệnh đề 3.4. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi
F(x) := x−T(x), ∀x ∈ C.
Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân (V IP) tương đương với bài toán điểm bất động (3.5).
Chứng minh . Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (V IP) và F(x) =
x−T(x), tức là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C.
Do F(x∗) = x∗ −T(x∗) nên tồn tại ξ∗ = T(x∗) sao cho F(x∗) =x∗ −ξ∗. Ta có
hF(x∗)−ξ∗, x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C.
Cho x = ξ∗ ta được
||x∗ −ξ∗|| ≤ 0.
Suy ra x∗ = ξ∗ hay x∗ = T(x∗). Vậy nên x∗ là nghiệm của bài toán (3.5).
Bài toán bù phi tuyến
Chú ý rằng khiC là một nón lồi trong Rn thì bài toán (V IP) trở thành bài toán bù:
Tìm x∗ ∈ C, F(x∗) ∈ C0 sao cho hF(x∗), x∗i = 0, (CP)
trong đó
C0 := {y ∈ Rn | hx, yi ≥ 0, ∀x ∈ C}
là nón đối ngẫu của C. Khi đó, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.5. Nếu C là một nón lồi, đóng trong Rn thì bài toán bù (CP)
tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân (V IP), theo nghiã tập nghiệm của các bài toán này trùng nhau.
Chứng minh.
Nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (V IP) thì
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C. (3.6) Do C là nón lồi, x∗ ∈ C nên
(x∗ +x) ∈ C, ∀x ∈ C.
Trong bất đẳng thức trên, thay x bởi (x∗ +x) ta được
hF(x∗), x∗ +x−x∗i = hF(x∗), xi ≥ 0, ∀x ∈ C. Suy ra F(x∗) thuộc nón đối nhẫu C0.
Còn nếu thay x = 0 vào (3.6), ta được
hF(x∗), x∗i ≤ 0.
Suy ra hF(x∗), x∗i = 0, hay x∗ ∈ C, F(x∗) ∈ C0 là nghiệm của bài toán bù (CP).
Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bù thì
Vì F(x∗) ∈ C0 nên hF(x∗), xi ≥ 0,∀x ∈ C. Ta có
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C,
hay x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (V IP). 2