1. Gĩc giữa hai mặt phẳng • ( ) (( ),( )· ) ( )¶, ( ) a P P Q a b b Q ⊥ ⇒ = ⊥ • Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng ⊂ ⊂ab ( ),( ),Q b cP a c⊥⊥ ⇒ (( ),( )·P Q )=( )a b¶, Chú ý: 00≤(( ),( )·P Q )≤900
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = (( ),( )·P Q ). Khi đĩ: S′ = S.cosϕ
3. Hai mặt phẳng vuơng gĩc
• (P) ⊥ (Q) ⇔ (( ),( )·P Q ) =900
•Điều kiện để hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau: ⊥( )aP ( )⊃ ⇒ ⊥Qa ( ) ( )P Q 4. Tính chất • ⊂a( ) ( ),( ) ( )P ⊥( ),P a cQ P⊥ ∩ Q = ⇒ ⊥c a ( )Q • ( ) ( )( ) ( ) , ( ) P Q A P a P a A a Q ⊥ ∈ ⇒ ⊂ ∋ ⊥ • ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a P R a R Q R ∩ = ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ VẤN ĐỀ 1: Gĩc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp: Muốn tìm gĩc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta cĩ thể sử dụng một trong các cách sau:
• Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q). Khi đĩ: (( ),( )·P Q ) =( )a b¶, .
• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng ⊂ab ( ),( ),Q b cP a c⊥
⊂ ⊥
⇒ (( ),( )·P Q )=( )a b¶,
7.Cho hình chĩp SABC, cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. a) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính gĩc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
HD: a) ((·SAC SBC),( ))= 600 b) cos((· ),( )) 3
10
SEF SBC = .
8.Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD). Tính SA theo a để số đo của gĩc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600.
HD: SA = a.
9.Cho hình chĩp SABCD, cĩ đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3.
a) Tính gĩc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Tính gĩc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).
HD: a) tan((·SAD SBC),( ))= 7 b) cos((· ),( )) 10 5
SBC SCD = .
10. Cho hình vuơng ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3. Tính gĩc giữacác cặp mặt phẳng sau: các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
HD: a) 600 b) arctan 6 c) 300.
11. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = 33 3
a ; SA ⊥ (ABCD) và SO = 6 3
a .
a) Chứng minh ASC· vuơng.
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuơng gĩc. c) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
HD: c) 600.
12. Cho hình chĩp SABCD cĩ SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2, đáy ABCD là hìnhthang vuơng tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính gĩc giữa các cặp mặt thang vuơng tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính gĩc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
HD: a) 450 b) 600 c) arccos 6
3 .
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc. Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng.
* Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta cĩ thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh (( ),( )·P Q ) =900
* Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng
Để chứng minh d ⊥ (P), ta cĩ thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuơng gĩc với giao tuyến c của (P) và (Q).
• Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).
• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
10. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trênđường thẳng vuơng gĩc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6. đường thẳng vuơng gĩc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuơng gĩc với nhau.
11. Cho hình tứ diện ABCD cĩ hai mặt ABC và ABD cùng vuơng gĩc với đáyDBC. Vẽ các đường cao BE, DF của ∆BCD, đường cao DK của ∆ACD. DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của ∆BCD, đường cao DK của ∆ACD.
a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD).
b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuơng gĩc với mp(ADC). c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ⊥ (ADC).
12. Cho hình chĩp SABCD, đáy ABCD là hình vuơng, SA ⊥ (ABCD).a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD). a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
b) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE, DF là hai đường cao của ∆SBD. CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC).
HD: b) 900.
13. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA ⊥ (ABCD).Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM =
2a a , DN = 3 4 a . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuơng gĩc với nhau.
14. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Vẽ BB′ và CC′ cùng vuơng gĩc vớimp(ABC). mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB′) ⊥ (ACC′).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của ∆ABC và ∆AB′C′. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCC′B′) và (AB′C′) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (AHK).
15. Cho hình chĩp SABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAB là tamgiác đều và vuơng gĩc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB. giác đều và vuơng gĩc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI ⊥ (ABCD), AD ⊥ (SAB). b) Tính gĩc giữa BD và mp(SAD). c) Tính gĩc giữa SD và mp(SCI). HD: b) arcsin 6 4 c) arcsin 10 5
16. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng quaBC và vuơng gĩc với mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là BC và vuơng gĩc với mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chĩp cĩ 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai gĩc cĩ số đo lần lượt
là α và 2 −
π α. Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của S trên BC, AB, AC..
a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ.
b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đĩ hãy tìm giá trị của α.
HD: b) SHmax = 1 ; arctan 2 c bc b = α
17. Cho hình tứ diện ABCD cĩ AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìmhệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (BCD). b) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (ACD). HD: a) x2 – y2 + 2 2 b = 0 b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = 0
18. Cho hình chĩp SABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) ; Mvà N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y. và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y.
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuơng gĩc với nhau là MN ⊥ (SAM). Từ đĩ suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y. b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để gĩc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) cĩ số đo bằng 300 là a(x + y) + 3xy = a2
3.
HD: a) a2 – a(x + y) + x2 = 0
19. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và cĩ gĩc Abằng 600, cạnh SC = 6 bằng 600, cạnh SC = 6
2
a và SC ⊥ (ABCD). a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA tại K. Tính độ dài IK. c) Chứng minh ·BKD=900 và từ đĩ suy ra (SAB) ⊥ (SAD).
HD: b)
2
a IK = .
VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu của đa giác
Phương pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = (( ),( )·P Q ). Khi đĩ: S′ = S.cosϕ
1.Cho hình thoi ABCD cĩ đỉnh A ở trong mặt phẳng (P), các đỉnh khác khơng ởtrong (P), BD = a, AC = a 2. Chiếu vuơng gĩc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta trong (P), BD = a, AC = a 2. Chiếu vuơng gĩc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta được hình vuơng AB′C′D′.
a) Tính diện tích của ABCD và AB′C′D′. Suy ra gĩc giữa (ABCD) và (P). b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của CB, CD với (P). Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFD′B′.
HD: a) 450 b) SEFDB = 3 2 2 4 a ; S EFD′B′= 3 2 4 a
2.Cho tam giác cân ABC cĩ đường cao AH = a 3, đáy BC = 3a; BC ⊂ (P). Gọi A′ là hình chiếu của A trên (P). Khi ∆A′BC vuơng tại A′, tính gĩc giữa (P) và (ABC).
HD: 300
3.Cho tam giác đều ABC cạnh a, nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuơng gĩc với (P) vẽ từ B và C lấy các đoạn BD = 2
2
a , CE = a
2 nằm cùng một bên đối với (P).
a) Chứng minh tam giác ADE vuơng. Tính diện tích của tam giác ADE. b) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (P).
HD: a) 3 2
4
a b) arccos 33 3
4.Cho hình chĩp SABC cĩ các mặt bên hợp với đáy một gĩc ϕ.
a) Chứng minh hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường trịn nội tiếp ∆ABC.
b) Chứng minh: S∆SAB + S∆SBC + S∆SCA = ScosVABC ϕ
5.Cho tứ diện SABC cĩ SA, SB, SC đơi một vuơng gĩc. Gọi H là trực tâm của∆ABC. Chứng minh rằng: ∆ABC. Chứng minh rằng:
a) SH ⊥ (ABC).
b) (SSBC)2 = SABC.SHBC. Từ đĩ suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2.
6.Trong mặt phẳng (P) cho ∆OAB vuơng tại O, AB = 2a, OB = a. Trên các tia vuơng gĩc với (P) vẽ từ A và B và ở về cùng một bên đối với (P), lấy AA′ = a, BB′ = x.
a) Định x để tam giác OA′B′ vuơng tại O.
b) Tính A′B′, OA′, OB′ theo a và x. Chứng tỏ tam giác OA′B′ khơng thể vuơng tại B′. Định x để tam giác này vuơng tại A′.
c) Cho x = 4a. Vẽ đường cao OC của ∆OAB. Chứng minh rằng CA′ ⊥ A′B′. Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (OA′B′) và (P).
HD: a) x = 0 b) x = 4a c) arccos 39
26