1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: ar≠0r là VTCP của d nếu giá của ar songsong hoặc trùng với d. song hoặc trùng với d.
2. Gĩc giữa hai đường thẳng:
• a′//a, b′//b ⇒ ( )a b¶, =(a b·', ')
• Giả sử ur là VTCP của a, vr là VTCP của b, ( , )u vr r =α.
Khi đĩ: ( )¶ 0 0 0 0 0 180 0 , 180 90 180 nếu a b nếu ≤ ≤ = − < ≤ α α α α
• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì ( )a b¶, =00
Chú ý: 00≤( )a b¶, ≤900
3. Hai đường thẳng vuơng gĩc:
• a ⊥ b ⇔ ( )a b¶, =900
• Giả sử ur là VTCP của a, vr là VTCP của b. Khi đĩ a b⊥ ⇔u vr r. =0.
• Lưu ý: Hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau cĩ thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc
Phương pháp: Cĩ thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh gĩc giữa hai đường thẳng đĩ bằng 900.
2. Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đĩ vuơng gĩc với nhau. 3. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).
6.Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ SA = SB = SC và ·ASB BSC CSA=· =· . Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
HD: Chứng minh SA BCuur uuur. = 0
7.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BCD. a) Chứng minh AO vuơng gĩc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính gĩc giữa AC và BM.
HD: b) cos(· , ) 3 6
AC BM = .
8.Cho tứ diện ABCD cĩ AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuơng gĩc với 2 cạnh đĩ.
b) Tính gĩc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.
HD: b) arccos a2 2c2 ; arccos b2 2c2 ; arccos a2 2b2
b a c
− − − .
9.Cho hình chĩp SABCD, cĩ đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuơng cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M ≠ A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuơng.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
10. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ cĩ tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minhrằng AC ⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′. rằng AC ⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′.