Ch逢挨ng 2: M浦T S渦 K駅 THU一T A卯NH V卯 VÙNG
2.1. A鵜nh v鵜 vùng theo ph逢挨ng pháp hình thái h丑c
2.1.1. Các phép toán hình thái c￢ bＶn
Hình thái là thu壱t ng英 ch雨 s詠 nghiên c泳u v隠 c医u trúc hay hình h丑c topo e栄a 8嘘i t逢嬰ng trong 違nh. Ph亥n l噂n các phép toán c栄a "Hình thái" 8逢嬰c 8鵜nh ngh a t瑛 hai phép toán c挨 b違n là phép "giãn n荏" (Dilation) và phép "co"
(Erosion).
Các phép toán này 8逢嬰c 8鵜nh ngh a nh逢 sau: Gi違 thi院t ta có 8嘘i t逢嬰ng X và ph亥n t穎 c医u trúc (m磯u) B trong không gian Euclide hai chi隠u. Kí hi羽u Bx
là d鵜ch chuy吋n c栄a B t噂i v鵜 trí x.
2.1.1.1.Oじt sぐ"8おnh ngh a
§Phép giãn n荏 - Dilation: Phép "giãn n荏" c栄a X theo m磯u B là h嬰p e栄a t医t c違 các Bx v噂i x thu瓜c X. Ta có:
§ Phép co – Erosion: Phép "co" c栄a X theo B là t壱p h嬰p t医t c違 các 8k吋m x sao cho Bxp茨m trong X. Ta có:
X B = {x : Bx ⊆ X}
Ví d映: Ta có t壱p X nh逢 sau:
§ Phép toán m荏 - Open: Phép toán m荏 (OPEN) c栄a X theo c医u trúc B là t壱p h嬰p các 8k吋m c栄a 違nh X sau khi 8ã co và giãn n荏 liên li院p theo B. Ta có:
§ Phép toán 8óng – Close: Phép toán 8óng (CLOSE) c栄a X theo c医u trúc B là t壱p h嬰p các 8k吋m c栄a 違nh X sau khi 8ã giãn n荏 và co liên ti院p theo B. Ta có:
2.1.1.2.Oじt sぐ tính chＸt cてa phép toán hình thái
§ Tính gia t<ng
(i) (ii)
Chとng minh:
(i) X⊕ B = Y B1 ∪ YB1 = X B
x∈X x∈X’
X B = {x/Bx ⊆X}∪ {x/Bx⊆ X'} = X' B (ii) X⊕ B = YBx⊆ YBx = X B
Theo 8鵜nh ngh a:
X B’ = {x/ B'x ⊆ X}⊆ {x/ Bx ⊆ X} = X B .
§ Tính phân ph嘘i v噂i phép
(i) X ⊕ (B ∪ B') = (X⊕ B)∪ (X⊕ B') (ii) X (B ∪ B') = (X B)∪ (X B') Chとng minh:
(i) X⊕ (B ∪ B') = ( X⊕ B)∪ (X ⊕ B') Ta có: B∪ B'⊇ B
X ⊕ (B ∪ B')⊇ X ⊕ B (tính gia t<ng) V逢挨ng t詠:
X ⊕ ( B∪ B')⊇ X ⊕ B'
X ⊕ (B ∪ B')⊇ (X⊕ B)∪ (X⊕ B') (2.1) O員t khác,
∀ y∈ X⊕ (B∪ B') ⇒ ∃x ∈ X sao cho y∈ (B ∪ B')x
⇒ y∈ Bx ⇒ y∈ X⊕ B y∈ B'x y∈ X ⊕ B'
⇒ y∈ (X⊕ B)∪ (X ⊕ B')
X ⊕ (B ∪ B')⊆ (X⊕B )∪ (X ⊕B') (2.2)
x∈X x∈X’
V瑛 (2.1) và (2.2) ta có: X⊕ (B∪B') = (X⊕ B)∪ (X ⊕ B') (ii) X (B ∪ B') = (X B)∪ (X B')
Ta có: B∪ B'⊇ B
⇒ X (B ∪ B')⊆ X B (tính gia t<ng) V逢挨ng t詠 : X (B ∪ B')⊆ X B'
⇒ X (B ∪ B')⊆ (X B)∪ ( X B') (2.3) O員t khác,
Suy ra,
⇒ ( B∪ B’)x⊆ X
⇒x∈ X (B∪ B’)
⇒ X (B ∪ B’)⊇ (X B)∩ (X B’) (2.4) V瑛 (2.3) và (2.4) ta có: X (B ∪ B’) = (X B)∩ (X B’).
Ý ngh a: Ta có th吋phân tích cáco磯u ph泳cv衣p tr荏 thành cáco磯u8挨n gi違n thu壱n ti羽n cho vi羽c cài 8員t.
§ Tính phân ph嘘i v噂i phép
(X∩ Y) B = (X B)∩ (Y B) Chとng minh:
Ta có, X ∩ Y⊆ X
⇒ (X∩ Y) B ⊆ X B
V逢挨ng t詠: (X∩ Y) B⊆ Y B
⇒(X ∩ Y) B ⊆ (X B) ∩ (Y B) (2.5) O員t khác,
∀x ∈ (X B)∩ (Y B)
⇒Bx⊆ X∩ Y
⇒x∈ ( X∩ Y) B
⇒(X ∩ Y) B ⊇ (X B)∩ (Y B) (2.6) V瑛 (2.5) và (2.6) ta có: (X ∩ Y) B = (X B)∩ (Y B).
§ Tính k院t h嬰p
(i) (X ⊕ B)⊕ B' = X ⊕ (B ⊕ B') (ii) (X B) B' = X (B ⊕ B') Chとng minh:
(i) (X ⊕ B)⊕ B' = X⊕ (B'⊕ B) Ta có, (X ⊕ B)⊕ B' = (YBx)⊕ B'
= Y ( Bx⊕ B ) = Y ( B ⊕ B )x
= X ⊕ (B'⊕ B)
(i) (X B) B' = X (B ⊕ B')
Tr逢噂c h院t ta 8i ch泳ng minh: B ’x⊆X B u (B’ ⊕ B )x⊆ X.
Th壱t v壱y, do Bx'⊆ X B nên∀y∈ Bx'⇒ y∈ X B ⇒ By ⊆ X
x∈X
x∈X x∈X
y∈Bx
y∈Bx
⇒ Y By⊆ X
⇒ (B’⊕ B )x ⊆ X
O員t khác, (B⊕ B)x⊆ X u (Bx⊕ B) ⊆ X u Y By⊆ X
⇒ ∀y∈Bx ta có By⊆ X
hay∀y∈ Bx ta có y∈ X B Do 8ó, Bx⊆ X B Ta có, (X B) B’ = {x / Bx ⊆ X} B
= {x/ Bx⊆ X B}
= {x/ (B’⊕ B ) ⊆ X} (do ch泳ng minh 荏 trên)
= X (B ⊕ B') .
§ A鵜nh lý: X b鵜 ch員n b荏i các c壱n OPEN và CLOSE
Gi違 u穎, X lào瓜t 8嘘iv逢嬰ng 違nh, B là m磯u, khi 8ó, X s胤 b鵜 ch員n trên d荏iv壱p CLOSE c栄a X theo B và b鵜 ch員nf逢噂i b荏i t壱p OPEN c栄a X theo B.
V泳c là:
(X⊕ B) B⊇ X ⊇ (X B)⊕ B Chとng minh:
Ta có:∀ x ∈ X⇒ Bx⊆
X ⊕ B (Vì X⊕ B = YB ) X噂ix∈X
⇒ x∈ (X⊕ B) B (theo 8鵜nh ngh a phép co)
⇒(X ⊕ B) B ⊇ X (2.7) O員t khác,
x∈X⊕B
∀ y∈ (X B)⊕ B, suy ra:
∃ x∈ X B sao cho y∈ Bx (Vì (X B) ⊕ B = YBx)
⇒ Bx⊆ X⇒ y∈ X
Suy ra: X ⊇ (X B)⊕ B (2.8)
V瑛 (2.7) và (2.8) Ta có: (X⊕ B) B ⊇ X ⊇ (X B)⊕ B .
§ J羽 qu違: Tính b医t bi院n
(i) ((X ⊕ B) B)⊕ B = X⊕ B (ii) ((X B) ⊕ B) B = X B Chとng minh:
(i) Th壱t v壱y, t瑛"8鵜nh lý trên ta có X⊆ (X⊕ B) B
⇒ X⊕ B⊆ ((X ⊕ B) B)⊕ B (do tính ch医t gia t<ng) (2.9) O員t khác, c ng t瑛"8鵜nh lý trên ta có (X B) ⊕ B⊆ X ∀ X
Do 8ó, thay X b荏i X⊕ B ta có, ((X⊕ B) B)⊕ B⊆X⊕B (2.10) V瑛 (2.9) và (2.10) Ta có: ((X⊕ B) B)⊕ B = X⊕ B
(ii) Th壱t v壱y, t瑛"8鵜nh lý trên ta có (X B)⊕ B⊆ X
⇒ ((X B)⊕ B) B⊆ X B (do tính ch医t gia t<ng) (2.11) O員t khác, c ng t瑛"8鵜nh lý trên ta có X ⊆ (X⊕ B) B ∀X
Do 8ó, thay X b荏i X B ta có, X B⊆ ((X B)⊕B) B (2.12) V瑛 (2.11) và (2.12) Ta có: ((X B) B) B = X B (8pcm).
2.1.2. Phát hiうn biên dばa vào các phép toán hình thái 2.1.2.1. ZＸp xえ trên và xＸp xえ d⇔ずi 8ぐi t⇔ぢng Ｖnh
Biên là v医n 8隠 quan tr丑ng trong x穎 lý 違nh và nh壱n d衣ng, vì các 8員c 8k吋m trích ch丑n trong quá trình nh壱n d衣ng ch栄 y院u d詠a vào biên. Trong th詠c v院 ng逢運i ta th逢運ng dùng hai ph逢挨ng pháp pháp hi羽n biên c挨 b違n là: Phát hi羽n biên tr詠c ti院p và gián ti院p. Ph亥n này 8隠 c壱p 8院n m瓜t ti院p c壱n m噂i trong phát hi羽n biên d詠a vào các phép toán hình thái thông qua các k悦 thu壱t x医p x雨 trên và x医p x雨 d逢噂i 8嘘i t逢嬰ng.
Các k悦 thu壱t phát hi羽n biên tr詠c ti院p, gián ti院p và d詠a vào các phép toán hình thái k吋 trên 8隠u xu医t phát t瑛 quan 8k吋m biên c栄a 8嘘i t逢嬰ng là m瓜t v壱p h嬰p con c栄a 8嘘i t逢嬰ng. Trong th詠c t院 chúng ta th逢運ng hi吋u 8逢運ng biên là khu v詠c ranh gi噂i bao g欝m c違 hai ph亥n thu瓜c 8嘘i t逢嬰ng và không thu瓜c 8嘘i v逢嬰ng. 雲 ph亥n d逢噂i 8ây, chúng tôi 8隠 xu医t m瓜t k悦 thu壱t phát hi羽n biên d詠a vào phép toán hình thái theo quan ni羽m này, xu医t phát t瑛 c挨 s荏"8鵜nh lý 8ã 8逢嬰c ch泳ng minh 荏 trên.
Biên (hay 8逢運ng biên) có th吋 hi吋u 8挨n gi違n là các 8逢運ng bao c栄a các 8嘘i t逢嬰ng trong 違nh chính là ranh gi噂i gi英a 8嘘i t逢嬰ng và n隠n. Vi羽c xem ranh gi噂i là ph亥n 8逢嬰c t衣o l壱p b荏i các 8k吋m thu瓜c 8嘘i t逢嬰ng và thu瓜c n隠n cho phép ta xác 8鵜nh biên d詠a trên các phép toán hình thái.
Theo 8鵜nh lý 8ã ch泳ng minh 荏 trên ta có: (X⊕B) B⊇ X∀B
Nh逢 v壱y, t壱p CLOSE(X,B) = (X⊕B) B có th吋"8逢嬰c xem nh逢 là x医p z雨 trên c栄a t壱p X theo m磯u B (Hình 2.1).
n
Hình 2.1 X医p x雨 trên và x医p x雨 d逢噂i c栄a X E ng theo 8鵜nh lý 荏 trên ta có, (X B)⊕B⊆ X ∀B
Do v壱y, t壱p OPEN(X,B) = (X B)⊕B có th吋" 8逢嬰c xem nh逢 là x医p x雨 f逢噂i c栄a t壱p X theo m磯u B.
V瑛"8ó, t壱p CLOSE(X,B)\ OPEN(X,B) có th吋" 8逢嬰c xem nh逢 là x医p x雨 biên c栄a t壱p X theo m磯u và quá trình x医p x雨 biên c栄a X theo m磯u B kí hi羽u là X© B.
A吋 t<ng 8瓜 chính xác, ng逢運i ta th逢運ng xem B là dãy các ph亥n t穎 c医u trúc.
B = {Bi, 1≤ i≤ n }
Và x医p x雨 biên c栄a X theo t壱p c医u trúc B 8逢嬰c xác 8鵜nh:
X©B = Y(X©Bi)
2.1.2.2. Thuｆt toán phát hiうn biên dばa vào phép toán hình thái Vào: 謂nh X và dãy m磯u B= {Bi, 1≤ i≤ n };
Ra: Biên c栄a 8嘘i t逢嬰ng theo m磯u B Ph逢挨ng pháp:
D逢噂c 1: Tính X © Bi∀ i=1,n
i=1