Bài 1: Vào những ngày nắng to, mặt đường nhựa hấp thụ mạnh ánh sáng mặt trời nên bị nung nóng và làm nóng phần khí sát mặt đường. Kết quả là nhiệt độ của không khí thay đổi theo độ cao. Giả thiết rằng chiết suất của không khí phụ thuộc vào nhiệt độ theo biểu thức a
n 1= + T. Người ta tìm được mối liên hệ của T theo độ cao z tính từ mặt đường có dạng như sau:
( )
2 2
1 bT
z 1
k T a
= −
+
. Trong đó a, b và k là các hệ số dương (b > 1).
1. Một nguồn sáng điểm nằm trên mặt đường (z = 0) phát ánh sáng theo mọi phương. Mặt đường được coi là mặt phẳng nằm ngang. Xác định dạng đường truyền của một tia sáng phát ra từ nguồn theo phương ban đầu hợp với phương ngang một góc α0.
2. Xác định khoảng cách xa nhất để một người còn có thể nhìn thấy nguồn sáng, biết mắt người đó ở độ cao h so với mặt đường.
Lời giải:
1. Biến đối được n b
= 1 kz
− .
- Chia không khí thành các lớp rất mỏng có độ dày dz, gọi α(z) là góc hợp giữa tia sáng với phương ngang ở độ cao h, định luật Snell cho:
0 0
n(z)cos (z) const n(0)cosα = = α =cosα b cos cos 0 1 kz
⇒ α = α −
- Từ đó
2
2 2
0 0
1 cos 2cos sin
z 1 dz d
k cos k cos
α α α
= − α ÷⇒ = α α,
- Mặt khác tan dz
α =dx 22
0
dx 2cos d k cos
⇒ = α α
α
- Tích phân hai vế cho ta
( ) ( )
0
0 0
2 2
0 0
1 1 1
x sin 2 2 sin 2 2 sin 2
k cos 2 2k cos
α α
= α α + α÷ = α α + α − α + α
- Cuối cùng:
( )
( )
2 0 0
0 0
2 2
0 0
z 1 cos 2 cos2
2k cos
1 2 sin 2
x 2 sin 2
2k cos 2k cos
= α − α
α
α + α
= α + α −
α α
- Đây chính là phương trình tham số của đường cycloid với 2 0
R 1
2k cos
= α
2. – Đường truyền các tia sáng bị giới hạn bởi tia ứng với α =0 0, hay
( )
( )
z 1 1 cos 2 2k
x 1 2 sin 2
2k
= − α
= α + α
- Khoảng cách xa nhất L thoả:
( )
( ) ( ( ) ( )2)
1 1 cos 2 h cos 2 1 2kh
2k1 2 sin 2 L 2k1 arccos 1 2kh 1 1 2kh L 2k
− α = α = −
⇒
− + − − =
α + α =
- Với trường hợp kh <<1 thì L 4h
= k
Bài 2: Vào những ngày trời nắng to mặt đường nhựa hấp thụ ánh sáng mạnh nên lớp không khí càng gần mặt đường càng nóng. Giả thiết nhiệt độ không khí ở sát mặt đường là 57oC và giảm dần theo độ cao, đến độ cao lớn hơn 0,5 m thì nhiệt độ của không khí được coi là không đổi và bằng 34oC. Áp suất của không khi là không đổi po = 105 Pa. Chiết suất của không khí phụ thuộc vào khối lượng riêng ρ của không khí theo biểu thức n 1 a.= + ρ, với a là hằng số.
Không khí được coi là khí lí tưởng. Biết chiết suất của không khí ở nhiệt độ 15oC là 1,000276; khối lượng mol của không khí là μ = 0,029 kg/mol; hằng số R = 8,31 J/mol.K.
1. Thiết lập biểu thức sự phụ thuộc của chiết suất không khí vào nhiệt độ tuyệt đối, tính hằng số a.
2. Một người có mắt ở độ cao 1,5 m so với mặt đường, nhìn về phía đằng xa có cảm giác như có một mặt nước. Nhưng khi lại gần thì “nước” lại lùi ra xa sao cho khoảng cách từ người đó đến “nước” luôn không đổi (hiện tượng ảo ảnh). Tính khoảng cách từ người đó đến “nước” theo phương ngang.
3. Giả sử ở độ cao dưới 0,5 m, nhiệt độ tuyệt đối T của không khí phụ
thuộc vào độ cao y tính từ mặt đất theo biểu thức
o o
o
T ap
R (1 ap ) 1 b.y 1 RT
= à
+ à + −
với b là hằng số, To là nhiệt độ tuyệt đối ở sát mặt đường. Lập phương trình xác định đường truyền của một tia sáng xuất phát từ mặt đường, trong lớp không khí có độ cao nhỏ hơn 0,5 m. Biết ban đầu tia sáng hợp với phương thẳng đứng một góc α và hướng lên.
Lời giải:
1. Theo phương trình C – M ta có:
o
p V= mRT
à mà m
ρ = V => po RT ρ = à Như vậy ta có biểu thức: po
n 1 a RT
= + à (1)
Ở 15 oC tức là T = 288 K thì n = 1,000276 nên ta có:
10 .0,0295
1,000276 1 a
8,31.288
= +
=> a = 2,28.10-4 (m3/kg) (2)
2. Từ biểu thức (1) và giá trị hằng số a (2) ta tính được chiết suất của không khí ở sát mặt đường:
5 4 o
10 .0,029
n 1 2,28.10 1,000241
8,31.330
= + − =
Chiết suất của không khí ở độ cao lớn hơn 0,5m là:
5
410 .0,029
n ' 1 2,28.10 1,000259
8,31.307
= + − =
Chia không khí ở độ cao dưới 0,5m thành nhiều lớp rất mỏng bằng các mặt phẳng song song nằm ngang sao cho chiết suất của không khí trong
n1
n2
n3
n4
i2
i2
i3
i3
i4
i1
một lớp coi như là không đổi. Theo định luật khúc xa ánh sáng khi có tia sáng truyền từ lớp này sang lớp khác là
n1sini1 = n2sini2 = n3sini3 = ….. const
Để nhìn thấy “nước” thì các tia sáng tới mắt phải bị phản xạ toàn phần ở mặt đường lúc đó góc tới của lớp sát mặt đường bằng 90o.
Ta có nosin90o = n’sini’
=> sini’ = no/n’ = 0,99998 => i’ = 89,64o Khoảng cách từ người đó đến “nước” là:
L = 1,5.tani’ = 238 m.
3. Thay
o o
o
T ap
R (1 ap ) 1 b.y 1 RT
= à
+ à + −
vào (1) ta được:
o o
n 1 a p 1 by
RT
à
= + ÷ +
(3)
Chọn trục tọa độ Oxy với gốc O tại vị trí chiếu tia sáng (sát mặt đường), trục Ox nằm ngang sát mặt đường, theo hướng chiếu tia sáng, trục Oy thẳng đứng hướng lên. Chia lớp không khí có độ cao dưới 0,5 m thành những lớp rất mỏng nằm ngang có độ cao dy, sao cho có thể coi
chiết suất của lớp đó gần như không đổi, và tia sáng đi trong đó coi như thẳng. Giả sử tia sáng tới điểm M(x,y) dưới góc tới i và tới điểm M’(x+dx, y+dy) trên lớp tiếp theo.
Tương tự trên ta có: nosinα = nsini => no sini sin
= n α (4) Thay (3) vào (4): sin
sini 1 by
= α + Ta có: dx
tan i
dy = với sin i 2
tan i
1 sin i
= −
=> dx sin2
dy cos by
= α
α + => sin2
dx dy
cos by
= α
α +
i ' i '
L
1,5m
dy α
i
dx x y
O
Tích phân hai vế ta có:
y x
0 0 2
dx sin dy
cos by
= α
∫ ∫ α + => x 2= sinbα cos2α +by |y0
=> sin 2
x 2 ( cos by cos )
b
= α α + − α
=> 2 bx
cos by cos
α + = α + 2sin
α
Bình phương hai vế ta có: b2 2 cos
y x x
4sin sin
= + α
α α
Như vậy đường truyền của tia sáng trong lớp không khí có độ cao nhỏ hơn 0,5 m là một phần của đường parabol.